2024屆四川省成都市第七中學（高新校區(qū)）高三上學期入學考試數(shù)學（理）試題 一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)定義域得到，進而求出.【詳解】，解得或，故，，故.故選：D2．復數(shù)，則（    ）A． B．5 C． D．3【答案】C【分析】由復數(shù)的運算求解即可.【詳解】，.故選：C3．若平面向量滿足，．則（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)、模長與數(shù)量積的關(guān)系運算即可.【詳解】由于，又，平方可得，所以.故選：B.4．若，則（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式可得出關(guān)于的二次方程，結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】因為，即，即，因為，所以，或.故選：C.5．已知，則的最小值為（    ）A． B．6 C． D．4【答案】D【分析】先利用“1”的代換把已知化為，然后利用三元的基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，當且僅當時，等號成立.故選：D6．數(shù)列的通項公式．設為前項的和，若，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】推導出數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，以及，，即可得解.【詳解】因為，當時，，則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，，當時，，因此，若，則的最小值為.故選：A.7．通過斜截圓柱可得到一橢圓截面．現(xiàn)將圓柱的側(cè)面從任意處展開成長方形，所得的橢圓截面的截線始終為平滑的曲線．則該截線在展開圖上的方程最可能為下列哪種曲線的一部分（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】沿著橢圓短軸端點所在的某條母線展開，作出其展開圖，觀察圖象可得出結(jié)論.【詳解】如下圖所示：  沿著橢圓短軸端點所在的某條母線展開如下圖所示：  結(jié)合圖形可知，該截線在展開圖上的方程最可能為曲線的一部分.故選：B.8．在沒有其他因素影響時，飛機的航線往往選取的是兩地之間的最短距離．設地球為一半徑為R的球體，一架飛機將從A地東經(jīng)飛至B地東經(jīng)，且A，B兩地緯度都為．若飛機始終在地球球面上運動，則該飛機飛行的最短路程為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出A，B兩地對于地球球心所成的角，再求出弧長作答.【詳解】依題意，A，B兩地對于地球球心所成的角，所以該飛機飛行的最短路程為.故選：C9．某地盛行糕點有n種，該地的糕點店從中準備了m（）種糕點供顧客選購．已知某顧客喜好的糕點有k（）種，則當其隨機進入一家糕點店時，會發(fā)現(xiàn)該店中有若干種糕點符合其喜好．記隨機變量X為該顧客發(fā)現(xiàn)符合其喜好的糕點的種數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知服從超幾何分布，然后利用超幾何分布的期望公式求解即可.【詳解】由題意可知從含有顧客喜好的k（）種糕點的n種糕點中，任取m（）種糕點，其中恰有種顧客喜好的糕點，則服從超幾何分布，所以，其中，所以，故選：A10．若在時恒成立，則a的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的特點，去絕對值號轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，然后利用分離參數(shù)法即可解決.【詳解】在時恒成立，當時，恒成立；當時，恒成立，即為恒成立，所以恒成立，而，當且僅當，即時取等號，所以；當時，恒成立，即為恒成立，所以恒成立，而在上單調(diào)遞增，所以所以；綜上，.故選：B.11．定義：若直線將多邊形分為兩部分，且使得多邊形在兩側(cè)的點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”．已知雙曲線（a，b為常數(shù)）和其左右焦點，P為C上的一動點，過P作C的切線分別交兩條漸近線于點A，B，已知四邊形與三角形有相同的“等線”．則對于下列四個結(jié)論：①；②等線必過多邊形的重心；③始終與相切；④的斜率為定值且與a，b有關(guān)．其中所有正確結(jié)論的編號是（    ）A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③【答案】D【分析】對于①，利用導數(shù)的幾何意求出過點的切線方程，再與漸近線方程聯(lián)立可求出的橫坐標，然后與比較可得答案，對于②，由“等線”的定義結(jié)合重心的定義分析判斷，對于③④，由多邊形重心的定義可知四邊形，其重心H必在與重心連線上，也必在與重心連線上，重心設為，則即為直線GH，然后由重心的性質(zhì)可證得∥，從而可得結(jié)論.【詳解】解：①：設，當時，設，則由，得，所以，所以切線的斜率為，所以切線方程為，因為點在雙曲線上，所以，得，，所以，所以，所以，所以，同理可求出當時的切線方程為，當時，雙曲線的切線方程為，滿足，所以過P點切線方程為，漸近線方程為聯(lián)立兩直線方程得，故有，故②：設多邊形頂點坐標為，其中設“等線”方程為，則到等線的距離為：又因為等線將頂點分為上下兩部分，則有從而整理得即等線必過該多邊形重心．③④：考察重心，設，則重心．對于四邊形，其重心H必在與重心連線上，也必在與重心連線上，則即為直線GH．設與重心分別為，則，所以∥，因為為的重心，所以，所以∥，所以三點共線，因為在上，所以∥，過，因為直線為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得，所以直線方程，由①的求解過程可知該方程為切線方程，所以③正確，④錯誤，故①②③正確．  故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查雙曲線的性質(zhì)和導數(shù)的幾何意義的應用，考查新定義，解題的關(guān)鍵是對“等線”定義的正確理解和重心的找法，考查計算能力，屬于難題.12．已知的內(nèi)角A，B，C滿足．設面積為S，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r．記，則當時，（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】利用正弦定理，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，三角形的面積公式可得，代入可得，從而可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理①又由②聯(lián)立①②整理得③由內(nèi)切圓得④聯(lián)立①④整理得⑤又由下圖易知⑥    由③⑤⑥有⑦將⑦代入y整理有且由⑦結(jié)合已知條件有故，令，設，則，當且僅當時取等號，所以在上為凸函數(shù)，所以，所以，當取等號，所以 ，又由，當且僅當時取等號，故有，所以，所以y的唯一整數(shù)解為7．故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查正弦定理的應用，考查三角形的面積公式，考查三角形內(nèi)切圓和外接圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意用不同的形式表示出三角形的面積，然后代入中化簡即可，考查計算能力，屬于難題. 二、填空題13．的展開式中項的系數(shù)為      （用數(shù)字作答）．【答案】16【分析】先因式分解，再直接利用二項式定理展開求解即可.【詳解】,所以展開式中項的系數(shù)為.故答案為：16.14．《孫子算經(jīng)》給出了“物不知數(shù)”問題，原文如下：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問物幾何？即一個正整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，則這個正整數(shù)的最小值為      ．【答案】【分析】列舉出被三整除余數(shù)為二、被五整除余數(shù)為三、被七整除余數(shù)為二的正整數(shù)，即可得解.【詳解】被三整除余數(shù)為二的正整數(shù)由小到大依次為：、、、、、、、、，被五整除余數(shù)為三的正整數(shù)由小到大依次為：、、、、、、，被七整除余數(shù)為二的正整數(shù)由小到大依次為：、、、、、、，因此，滿足條件的正整數(shù)的最小值為.故答案為：.15．定義表示不超過x的最大整數(shù)，例如．則方程的解的個數(shù)為      ．【答案】3【分析】由題意解得，然后分，和三種情況求解即可【詳解】因為，所以方程可化為，解得，當時，，所以原方程化為，解得或（舍去），當時，，所以原方程化為，解得或（舍去），當時，，滿足方程，所以綜上，該方程解為．共3個解．故答案為：316．集合，其中為單位向量，兩兩之間夾角為120°．現(xiàn)從A中任選一個向量，選取n次，并將所選取的向量合成為一個向量，則最終得到的不同向量有      個（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，按選取的向量是否為分類，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式求解作答.【詳解】依題意，從A中任選一個向量，選取n次，并將所選取的向量合成為一個向量，當選取時，選取次數(shù)無論為多少，和向量均為，當選取的向量不為時，相當于在集合中任選一個向量，再選取1，2，…，n次，所得到的不同向量的和，現(xiàn)在一六邊形格點中表示所述情況如下圖所示．圖中所標數(shù)字i（）即為選取i次向量時所新增的不同的向量，則第i次選取增加3i個向量，所以總共有個不同向量.故答案為： 三、解答題17．已知正項等差數(shù)列滿足，且．(1)求的公差的最小值；(2)當取最小值時，若也取最小值，求前項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知等式可得，可得出或，其中，分兩種情況討論，結(jié)合等差數(shù)列的定義可求得的最小值；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，求出的最小值，及其對應的的最小值，可求得的表達式，再利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）解：因為等差數(shù)列各項均為正數(shù)，且，則，又因為，故有或，其中，當時，則，則；當時，則，①則，②②①可得，則，因為，且，則，則，即，故，當且僅當時成立．綜上所述，的公差的最小值為.（2）解：由題意知，當取最小值時，，此時，，則，所以，若取最小值，且，則，則，，則，③，④④③可得，，所以，，其中．18．現(xiàn)有如圖所示的八面體，八面體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示．  (1)證明：面BEC；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由三角形三角形得出，進而由線面平行的判定證明即可；（2）以O為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】（1）解：由正視圖、側(cè)視圖可知，BD，AC，EF兩兩垂直且交于一點O．又知，三角形三角形，，故．由面BEC，故有面BEC．  （2）以O為原點，為x軸正方向，為y軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系．  則C（2，0，0），D（0，3，0），E（0，0，1），F（0，0，－3）．，，面CDE法向量；面DEF法向量；故有圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為．19．已知函數(shù)有三個零點（）.(1)求a的取值范圍；(2)過點與分別作的切線，兩切線交于M點，求M點到y軸的距離.【答案】(1)(2)0 【分析】（1）求出導函數(shù)，分類討論，利用二次方程根的分布列不等式即可求解；（2）先求出，然后求出兩條切線方程，聯(lián)立方程即可求解交點的橫坐標，得解.【詳解】（1）由得，當時，，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個零點，不符合題意；當時，由題意只需使在有兩個異號根即可，所以，解得；綜上，.（2）當時，.又，故，.又知當時，有，所以，即，故.又，所以在處的切線方程為，所以在處的切線方程為，聯(lián)立整理得兩直線交點橫坐標.故M點到y軸的距離0.20．已知，．(1)證明：總與和相切；(2)在（1）的條件下，若與在y軸右側(cè)相切于A點，與在y軸右側(cè)相切于B點．直線與和分別交于P，Q，M，N四點.是否存在定直線使得對任意題干所給a，b，總有為定值？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析 【分析】（1）先求出橢圓在處的切線方程為，雙曲線上一點的切線方程為，從而得到在點的切線方程為，故設曲線在點的切線方程為，結(jié)合求出，則，得到曲線C與相切；（2）設直線，與聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，從而得到的值，結(jié)合題意得到為定值與a無關(guān)，為定值與b無關(guān)．分與時，兩種情況推出矛盾，故不存在，使為定值對任意a，b均成立．【詳解】（1）下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當時，故切線的斜率存在，設切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當時，此時或，當時，切線方程為，滿足，當時，切線方程為，滿足，所以橢圓在處的切線方程為；上一點的切線方程為，理由如下：設過點的切線方程為，與聯(lián)立得，，由，化簡得，因為，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因為，，所以，聯(lián)立，兩式相乘得，，從而，故，即，令，則，即，解得，即，所以上一點的切線方程為，綜上：在點的切線方程為.故曲線且在點的切線方程為．當時，，聯(lián)立得，，解得，則，當時，，，滿足，當時，，，滿足，即曲線C與相切，而此時且．故總與和相切．（2）設直線．設與交于和，  聯(lián)立得，由韋達定理得，，由題意，，代入整理得，因為為定值對任意a，b均成立，故為定值與a無關(guān)，為定值與b無關(guān)．當時，必有，此時．故有，代入解得，矛盾．當時，且時成立．此時直線，由（1）知與曲線僅有1個交點，矛盾．故不存在，使為定值對任意a，b均成立．【點睛】結(jié)論點睛：過圓上一點的切線方程為：，過圓外一點的切點弦方程為：.過橢圓上一點的切線方程為，過雙曲線上一點的切線方程為21．在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標表示，其中．而在n維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的項點坐標可表示為n維坐標，其中．現(xiàn)有如下定義：在n維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標差的絕對值之和，即為．回答下列問題：(1)求出n維“立方體”的頂點數(shù)；(2)在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離①求出X的分布列與期望；②證明：在n足夠大時，隨機變量X的方差小于．（已知對于正態(tài)分布，P隨X變化關(guān)系可表示為）【答案】(1)(2)①分布列見解析，；②證明見解析 【分析】（1）根據(jù)乘法原理，即可確定頂點個數(shù)；（2）①首先確定，再結(jié)合組合數(shù)公式求概率，即可求解分布列和數(shù)學期望；②由①可知，n足夠大時，，可得正態(tài)分布，正態(tài)分布曲線為，并設題中分布列所形成的曲線為，則當與均在處取最大值，說明當時，且，則可認為方差．【詳解】（1）對于n維坐標有兩種選擇（）．故共有種選擇，即個頂點（2）①對于的隨機變量，在坐標與中有k個坐標值不同，即，剩下個坐標值滿足．此時所對應情況數(shù)為種．即故分布列為：012……數(shù)學期望倒序相加得即．②當n足夠大時，．設正態(tài)分布，正態(tài)分布曲線為，由定義知該正態(tài)分布期望為，方差為．設題中分布列所形成的曲線為．則當與均在處取最大值，若當時，且，則可認為方差．    I．：當時，有即．II．    當n足夠大時，有當時，當時，故．綜上所述，可以認為．【點睛】思路點睛：本題考查立體幾何新定義和排列組合，概率，分布列，正態(tài)分布相結(jié)合的綜合應用問題，屬于難題，本題的關(guān)鍵是理解題意，能正確理解隨機變量取值的意義，并能利用正態(tài)分布的意義，進行求解.22．已知極坐標系中極點與直角坐標原點均為O，曲線，．(1)求C的直角坐標方程與和C的交點到O的距離；(2)已知直線，，．若分別與C交于P，Q，R點，求的最小值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）將，，代入求解，將代入求解；（2）由題意得到，令，得到，再利用導數(shù)法求解.【詳解】（1）解：因為，，且，所以，化簡得：，當時，，因為極坐標系中極點與直角坐標原點均為O，所以和C的交點到O的距離為.（2），，，，，令，整理得，令，則，當或時，，當時，，故在上遞減，在上遞增，在遞減．所以最小即最大，即時取得，此時.23．已知正實數(shù)、、、．(1)證明：，并確定取等條件．(2)證明：，并確定取等條件．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）利用作差法證明出，再結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立，并可得出等號成立的條件；（2）利用分析法可得出所證不等式等價于，再由（1）中的證明過程可證得結(jié)論成立，并可得出等號成立的條件.【詳解】（1）解：因為、、、均為正實數(shù)，因為，所以，，則，當且僅當時，等號成立.因此，當、、、均為正實數(shù)時，.（2）證明：欲證即證即為，因為，所以，，則，當且僅當時，等號成立.因此，當、、、均為正實數(shù)時，. 

相關(guān)試卷

2024屆四川省成都市第七中學高三上學期入學考試數(shù)學（文）試題含答案：

這是一份2024屆四川省成都市第七中學高三上學期入學考試數(shù)學（文）試題含答案，共19頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024屆四川省成都市第七中學高三上學期入學考試理科數(shù)學試題PDF版含答案：

這是一份2024屆四川省成都市第七中學高三上學期入學考試理科數(shù)學試題PDF版含答案，文件包含24屆高三理科數(shù)學上期入學考試試卷pdf、24屆高三理科數(shù)學上期入學考試試卷答案pdf等2份試卷配套教學資源，其中試卷共8頁， 歡迎下載使用。

2024屆四川省成都市第七中學高三上學期入學考試文科數(shù)學試題PDF版含答案：

這是一份2024屆四川省成都市第七中學高三上學期入學考試文科數(shù)學試題PDF版含答案，文件包含24屆高三文科數(shù)學上期入學考試試卷pdf、24屆高三文科數(shù)學上期入學考試試卷答案pdf等2份試卷配套教學資源，其中試卷共8頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

四川省成都市第七中學（高新校區(qū)）2024屆高三上學期入學考試數(shù)學（理科）試題

四川省成都市第七中學（高新校區(qū)）2024屆高三上學期入學考試數(shù)學（理科）試題
精品解析：四川省成都市樹德中學高三上學期入學考試數(shù)學（理）試題

精品解析：四川省成都市樹德中學高三上學期入學考試數(shù)學（理）試題
2023屆四川省成都市樹德中學高三上學期入學考試數(shù)學（理）PDF版含答案

2023屆四川省成都市樹德中學高三上學期入學考試數(shù)學（理）PDF版含答案
2023屆四川省成都市樹德中學高三上學期入學考試數(shù)學（理）含答案

2023屆四川省成都市樹德中學高三上學期入學考試數(shù)學（理）含答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
開學考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部