2024屆四川省瀘縣第一中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，從而得到，再由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則即可求出．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：B.2．設(shè)集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式的解法化簡(jiǎn)集合，求解函數(shù)定義域求出集合，再利用集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算即可得出結(jié)論．【詳解】由，即，解得，所以，又，，，故選：C．3．若x，y滿足約束條件，則的最小值為（    ）A．1 B．7 C．9 D．10【答案】A【分析】作出可行域，作直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖，作直線，直線中是直線的縱截距，代入得，即．平移直線，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最小值1．故選：A．4．已知命題，命題，則下列命題是真命題的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別判斷命題與命題的真假，從而結(jié)合“且或非”的真假性即可得解.【詳解】對(duì)于命題，將代入，得，滿足要求，故為真命題，為假命題；對(duì)于命題，取，則，不滿足要求，故為假命題，為真命題；所以為假命題，為假命題，為真命題，為假命題.故選：C.5．近期，我國(guó)多地紛紛進(jìn)入“甲流”高發(fā)期，某地、兩所醫(yī)院因發(fā)熱就診的患者中分別有、被確診為“甲流”感染，且到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)是到醫(yī)院的四倍.現(xiàn)從到這兩所醫(yī)院就診的發(fā)熱患者中任選一人，則此人未感染“甲流”的概率是（    ）A．0.785 B．0.666 C．0.592 D．0.235【答案】B【分析】設(shè)到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，因?yàn)?/span>、兩所醫(yī)院因發(fā)熱就診的患者中分別有、被確診為“甲流”感染，所以從到這兩所醫(yī)院就診的發(fā)熱患者中任選一人，則此人未感染“甲流”的概率.故選：B6．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列．若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有一個(gè)“三角垛”，共有40層，各層小球個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)二階等差數(shù)列，第一層放1個(gè)小球，第二層放3個(gè)小球，第三層放6個(gè)小球，第四層放10個(gè)小球，，則第40層放小球的個(gè)數(shù)為（    ）A．1640 B．1560 C．820 D．780【答案】C【分析】首先由二階等差數(shù)列的定義，得到，再求和得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求.【詳解】設(shè)第層放小球的個(gè)數(shù)為，由題意，，……，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以．故，故．故選：C．7．已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，可得對(duì)稱軸為，且在上單調(diào)遞減.根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，可得只需即可，解出不等式即可.【詳解】由題意可得，對(duì)稱軸為，且在上單調(diào)遞減.則由，可得出，即，即，解得或.所以，不等式的解集為.故選：B.8．“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為時(shí)，學(xué)習(xí)率為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（    ）A．75 B．74 C．73 D．72【答案】C【分析】由已知可得，再由，結(jié)合指對(duì)數(shù)關(guān)系及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】由題設(shè)可得，則，所以，即，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為次．故選：C．9．已知銳角滿足，則（    ）A． B． C． D．1【答案】D【分析】先根據(jù)求出，再利用二倍角得正切公式求出，再根據(jù)兩角和得正切公式即可得解.【詳解】由，得，即，解得，又為銳角，所以，又，即，解得（舍去），所以，所以.故選：D.10．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的坐標(biāo)，根據(jù)得出的坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上列方程求解即可.【詳解】  不妨設(shè)在第一象限，由題意，的橫坐標(biāo)為，令，解得，即.設(shè)，又，，，由可得：，解得，又在橢圓上，即，整理得，解得.故選：A11．已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，若過(guò)點(diǎn)和的直線在軸上的截距為，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A．2 B． C．或 D．或2【答案】B【分析】由題意有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則求參數(shù)a范圍，再根據(jù)代入、確定已知點(diǎn)所在直線，進(jìn)而求截距并列方程求參數(shù)值.【詳解】由題意有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則，所以，即或，由，即，而，同理有，所以、均在上，令，則，得，綜上，（舍）故選：B12．若，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，由，可得，再由，再作商法，得，從而得解.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以，又，，所以，所以，故，因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>，故，從而有，綜上所述：.故選：B. 二、填空題13．的展開(kāi)式中的系數(shù)是          （用數(shù)字作答）．【答案】【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】的通項(xiàng)為，令，得的展開(kāi)式中的系數(shù)是．故答案為：14．若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為        ．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個(gè)變量后，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】令，，則，，設(shè)，則曲線在處切線為，設(shè)，則曲線在處切線為，由題意，消去得，由題意，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，又當(dāng)時(shí)，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，  由圖可知當(dāng)，即時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，曲線與曲線有兩條公切線時(shí)，的值為．故答案為：．15．在中，，D為BC邊上一點(diǎn)，且，則的最小值為           .【答案】【分析】將用表示，再平方可求得，再由結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解.【詳解】由，得，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將用表示，再平方是解決本題的關(guān)鍵.16．已知，給出以下命題：①當(dāng)時(shí)，存在，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，存在，有三個(gè)不同的零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱④當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)其中所有正確的命題序號(hào)是      .【答案】①②③【分析】當(dāng)，時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可求得在時(shí)的單調(diào)性，確定，利用導(dǎo)數(shù)可求得，可確定時(shí)在上有唯一零點(diǎn)；代回時(shí)驗(yàn)證，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可確定在定義域內(nèi)共有兩個(gè)不同零點(diǎn)，知①正確；當(dāng)，時(shí)，易知為在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，取，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可說(shuō)明在定義域內(nèi)共有三個(gè)不同零點(diǎn)，知②正確；根據(jù)解析式驗(yàn)證知，知③正確；當(dāng)時(shí)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可知時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，通過(guò)反例時(shí)，有三個(gè)不同零點(diǎn)可知④錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；，即當(dāng)時(shí)，，則在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，，，，使得，在有唯一零點(diǎn)；則當(dāng)，時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞減；又，在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，；令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；不妨取，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，，，，使得，即在上存在兩個(gè)不同零點(diǎn)和；則當(dāng)，時(shí)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，，對(duì)于任意的，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，若，，；則恒成立，在上單調(diào)遞增，又，在上有唯一零點(diǎn)；若，，；則恒成立，在上單調(diào)遞減，又，在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，，；令，解得：（舍）或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；不妨取，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；又，，使得，又，恒成立，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)分類討論的方式，結(jié)合變量的范圍討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到結(jié)論. 三、解答題17．如圖，平面四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，，.  (1)求的面積；(2)求的值及的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合再根據(jù)面積公式求解即可；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，再用同角三角函數(shù)的關(guān)系與二倍角公式可得，然后根據(jù)，利用兩角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.【詳解】（1）∵，，，，;（2），，，則.，，，，又，在中，，由正弦定理可知，，.18．2018年12月8日，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭成功發(fā)射嫦娥四號(hào)探測(cè)器，開(kāi)啟了月球探測(cè)的新旅程.為了解廣大市民是否實(shí)時(shí)關(guān)注了這一事件，隨機(jī)選取了部分年齡在20歲到70歲之間的市民作為一個(gè)樣本，將此樣本按年齡，，，，分為5組，并得到如圖所示的頻率分布直方圖.  (1)求圖中實(shí)數(shù)的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中市民年齡的眾數(shù)；(2)為進(jìn)一步調(diào)查市民在日常生活中是否關(guān)注國(guó)家航天技術(shù)發(fā)展的情況，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從，，三組中抽取了6人.從這6人中任意抽取3人了解情況.記這3人中年齡在的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，眾數(shù)為(2)分布列見(jiàn)解析， 【分析】（1）根據(jù)概率之和等于即可求得，由頻率分布直方圖即可得出眾數(shù)；（2）先根據(jù)分層抽樣求出各區(qū)間的人數(shù)，再寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.【詳解】（1）由，解得，眾數(shù)為；（2）的人數(shù)為，的人數(shù)為，的人數(shù)為，則可取，，，，，所以分布列為（人）.19．圖1是直角梯形，，，，，，四邊形為平行四邊形，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2．  (1)求證：平面平面；(2)在線段上存在點(diǎn)使得與平面的正弦值為，求平面與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）連接，交于，可證，平面，所以，平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出的位置，再用空間向量求平面與所成角的余弦值．【詳解】（1）證明：在圖1中，連接，交于，   ，所以，所以，四邊形是菱形，所以，且．在圖2中，滿足，所以，所以，，又平面，所以，平面，又平面，所以，平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，  則，所以，設(shè)平面的法向量為，則即，取，得，設(shè)，在線段上存在點(diǎn)使得與平面的正弦值為，所以解得或（舍），所以，設(shè)平面的法向量為，則即，取，得，設(shè)平面與平面的平面角為，所以，平面與所成角的余弦值為20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn).(1)設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，求取值范圍；(2)設(shè)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）易知，設(shè)，有，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解；（2）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，不妨令點(diǎn)在軸右側(cè)，由是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得到直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立求解；（2）當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得到，則，結(jié)合韋達(dá)定理線求得，再由BD的中垂線，由斜率關(guān)系得到求解.【詳解】（1）在橢圓中，，設(shè)，則有，即，于是，顯然，所以的取值范圍是.（2）①顯然直線不垂直于軸，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，不妨令點(diǎn)在軸右側(cè)，因?yàn)?/span>是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則直線方程為：，由消去得：，于是得，點(diǎn)，直線的方程為，（2）當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去得：，則，即，，可得因?yàn)?/span>是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，有，而，于是，  即，整理得，從而，化為，解得，又線段的中垂線過(guò)點(diǎn)及點(diǎn)，因此，即，解得，而當(dāng)時(shí)，成立，即，因此直線的方程為.21．設(shè)函數(shù).(1)從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；①當(dāng)時(shí)，；②在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且隨著的增大而增大.【答案】(1)選①；選②(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）若選①，可得在上單調(diào)遞增，然后討論當(dāng)時(shí)，不符合要求，即可得到結(jié)果；若選②，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，先證得函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，然后構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性即可得到證明.【詳解】（1）令，則，所以，則，令，則，選①：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不符合題意；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.選②：在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，從而，由在上恒成立，得，令，說(shuō)明在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明在上單調(diào)遞減，所以為極大值點(diǎn).由（1）有，則，所以當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)，，所以使得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為極小值點(diǎn)，綜上，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；其中滿足，所以，設(shè)，則，由（1）知，所以單調(diào)遞增，所以隨著的增大而增大，又，所以，故隨著的增大而增大.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)，不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，極（最）值問(wèn)題處理.22．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為軸，取同樣的單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系xoy，已知曲線的普通方程為.(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，且曲線與曲線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可求解；（2）設(shè)出曲線的參數(shù)方程，與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為可化為，即，將代入可得，的直角坐標(biāo)方程為.又因?yàn)榍€的普通方程為可化為，將代入可得，的極坐標(biāo)方程，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將（為參數(shù)）代入得：.顯然，設(shè)點(diǎn)在直線上對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，與的夾角為，.23．已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)若函數(shù)的最小值為m，且正數(shù)a，b，c滿足，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）去絕對(duì)值后，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得答案；（2）利用絕對(duì)值三角不等式求出，再根據(jù)基本不等式可證不等式成立.【詳解】（1）由題意得：，∴，即，∴，∴不等式的解集為．（2）∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴函數(shù)的最小值為1，即．∴，因?yàn)?/span>，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.∴不等式得證． 

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