1. 5的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號，求解即可．
【詳解】解：5的相反數(shù)是-5，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號：一個正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．不要把相反數(shù)的意義與倒數(shù)的意義混淆．
2. 下列圖形是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
3. 如圖，直線，被直線所截，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴∠1+∠C=180°，
∵，
∴∠1=130°．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
4. 如圖，曲線表示一只蝴蝶在飛行過程中離地面高度隨飛行時間的變化情況，則這只蝴蝶飛行的最高高度約為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可直接得出答案．
【詳解】解：∵函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)表示一只蝴蝶在飛行過程中離地面的高度，
∴由函數(shù)圖象可知這只蝴蝶飛行的最高高度約為13m，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息的能力，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，相似比為．若的周長為4，則的周長是（ ）
A. 4B. 6C. 9D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)周長之比等于位似比計算即可．
【詳解】設(shè)的周長是x，
∵ 與位似，相似比為，的周長為4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的周長之比等于位似比是解題的關(guān)鍵．
6. 用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數(shù)為（ ）
A. 32B. 34C. 37D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】第1個圖中有5個正方形，第2個圖中有9個正方形，第3個圖中有13個正方形，……，由此可得：每增加1個圖形，就會增加4個正方形，由此找到規(guī)律，列出第n個圖形的算式，然后再解答即可．
【詳解】解：第1個圖中有5個正方形；
第2個圖中有9個正方形，可以寫成：5+4=5+4×1；
第3個圖中有13個正方形，可以寫成：5+4+4=5+4×2；
第4個圖中有17個正方形，可以寫成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n個圖中有正方形，可以寫成：5+4（n-1）=4n+1；
當(dāng)n=9時，代入4n+1得：4×9+1=37．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，通過歸納與總結(jié)結(jié)合圖形得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．
7. 估計的值應(yīng)在（ ）
A. 10和11之間B. 9和10之間C. 8和9之間D. 7和8之間
【答案】B
【解析】
【分析】先化簡，利用，從而判定即可．
【詳解】 ，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式混合運(yùn)算及無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)估算方法是解題的關(guān)鍵．
8. 小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】平均增長率為x，關(guān)系式為：第三天攬件量＝第一天攬件量×（1＋平均增長率）2，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【詳解】解：由題意得：第一天攬件200件，第三天攬件242件，
∴可列方程為：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，得到三天的攬件量關(guān)系式是解決本題的突破點(diǎn)，難度一般．
9. 如圖，在正方形中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用正方形的性質(zhì)得到，，，利用角平分線的定義求得，再證得，利用全等三角形的性質(zhì)求得，最后利用即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，，，
∵平分交于點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，是的切線，B為切點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接．若，且，則的長度是（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用＝tan30°，即可求出AB的長度．
【詳解】解：連接OB，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等腰三角形，
∴∠OBD＝∠D，
∵∠AOB是△OBD的一個外角，
∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，
∵是的切線，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵，
∴∠A＋∠ABO＝∠A＋2∠D＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∴AO＝2OB＝AC＋OC，
∵OB＝OC，
∴OB＝AC＝3，
∵＝tan30°，
∴AB＝．
故選：C
【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，求出∠A＝30°是解決此題的關(guān)鍵．
11. 若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解是負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是（ ）
A. －26B. －24C. －15D. －13
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式組的解集，確定a＞-11，根據(jù)分式方程的負(fù)整數(shù)解，確定a＜1，根據(jù)分式方程的增根，確定a≠-2，計算即可．
【詳解】∵ ，
解①得解集為，解②得解集為，
∵ 不等式組的解集為，
∴，
解得a＞-11，
∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是負(fù)整數(shù)，
∴a＜1且a≠-2，
∴-11＜a＜1且a≠-2，
故a=-8或a=-5，
故滿足條件的整數(shù)的值之和是-8-5=-13，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的解集，分式方程的特殊解，增根，熟練掌握不等式組的解法，靈活求分式方程的解，確定特殊解，注意增根是解題的關(guān)鍵．
12. 對多項式任意加括號后仍然只含減法運(yùn)算并將所得式子化簡，稱之為“加算操作”，例如：，，…，給出下列說法：
①至少存在一種“加算操作”，使其結(jié)果與原多項式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其結(jié)果與原多項式之和0；
③所有的“加算操作”共有8種不同的結(jié)果．
以上說法中正確的個數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】給添加括號，即可判斷①說法是否正確；根據(jù)無論如何添加括號，無法使得的符號為負(fù)號，即可判斷②說法是否正確；列舉出所有情況即可判斷③說法是否正確．
【詳解】解：∵
∴①說法正確
∵
又∵無論如何添加括號，無法使得的符號為負(fù)號
∴②說法正確
∵當(dāng)括號中有兩個字母，共有4種情況，分別是、、、；
當(dāng)括號中有三個字母，共有3種情況，分別、、；
當(dāng)括號中有四個字母，共有1種情況，
∴共有8種情況
∴③說法正確
∴正確的個數(shù)為3
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，認(rèn)真閱讀，理解題意是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題
13. 計算：_________．
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)絕對值和零指數(shù)冪進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值和零指數(shù)冪的計算，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
14. 有三張完全一樣正面分別寫有字母A，B，C的卡片．將其背面朝上并洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的字母后放回洗勻，再從中隨機(jī)抽取一張，則抽取的兩張卡片上的字母相同的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出圖表得出所有等情況數(shù)和抽取的兩張卡片上的字母相同的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意列表如下：
共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次抽出的卡片上的字母相同的有3種情況，
所以P（抽取的兩張卡片上的字母相同）＝＝．
【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．
15. 如圖，菱形中，分別以點(diǎn)，為圓心，，長為半徑畫弧，分別交對角線于點(diǎn)，．若，，則圖中陰影部分的面積為_________．（結(jié)果不取近似值）
【答案】
【解析】
【分析】連接BD交AC于點(diǎn)G，證明△ABD是等邊三角形，可得BD＝2，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理求出AC，再由S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案．
【詳解】解：連接BD交AC于點(diǎn)G，
∵四邊形是菱形，
∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∵，
∴△ABD是等邊三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，
∴BD＝2，
∴BG＝，
∴，
∴AC＝，
∴S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積公式等，在求陰影部分面積時，能夠?qū)⑶蟛灰?guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵．
16. 為進(jìn)一步改善生態(tài)環(huán)境，村委會決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓．初步預(yù)算，這三座山各需兩種樹木數(shù)量和之比為，需香樟數(shù)量之比為，并且甲、乙兩山需紅楓數(shù)量之比為．在實(shí)際購買時，香樟的價格比預(yù)算低，紅楓的價格比預(yù)算高，香樟購買數(shù)量減少了，結(jié)果發(fā)現(xiàn)所花費(fèi)用恰好與預(yù)算費(fèi)用相等，則實(shí)際購買香樟的總費(fèi)用與實(shí)際購買紅楓的總費(fèi)用之比為_________．
【答案】
【解析】
【分析】適當(dāng)引進(jìn)未知數(shù)，合理轉(zhuǎn)化條件，構(gòu)造等式求解即可．
【詳解】設(shè)三座山各需香樟數(shù)量分別為4x、3x、9x．甲、乙兩山需紅楓數(shù)量、．
∴，
∴，
故丙山的紅楓數(shù)量為，
設(shè)香樟和紅楓價格分別為、．
∴，
∴，
∴實(shí)際購買香樟的總費(fèi)用與實(shí)際購買紅楓的總費(fèi)用之比為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了未知數(shù)的合理引用，熟練掌握未知數(shù)的科學(xué)設(shè)置，靈活構(gòu)造等式計算求解是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
17. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先計算乘法，再合并，即可求解；
（2）先計算括號內(nèi)的，再計算除法，即可求解．
【小問1詳解】
解：原式
小問2詳解】
解：原式
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18. 在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明遇到了一個問題：在矩形中，是邊上的一點(diǎn)，試說明的面積與矩形的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過點(diǎn)作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：
證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為（只保留作圖?跡）．
在和中，
∵，
∴．
又，
∴__________________①
∵，
∴__________________②
又__________________③
∴．
同理可得__________________④
∴．
【答案】、、、
【解析】
【分析】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，分別利用AAS證得，，利用全等三角形的面積相等即可求解．
【詳解】證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為（只保留作圖?跡）．
如圖所示，
在和中，
∵，
∴．
又，
∴①
∵，
∴②
又③
∴．
同理可得④
∴．
故答案為：、、、
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．
19. 公司生產(chǎn)、兩種型號的掃地機(jī)器人，為了解它們的掃地質(zhì)量，工作人員從某月生產(chǎn)的、型掃地機(jī)器人中各隨機(jī)抽取10臺，在完全相同條件下試驗(yàn)，記錄下它們的除塵量的數(shù)據(jù)（單位：），并進(jìn)行整理、描述和分析（除塵量用表示，共分為三個等級：合格，良好，優(yōu)秀），下面給出了部分信息：
10臺型掃地機(jī)器人的除塵量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10臺型掃地機(jī)器人中“良好”等級包含的所有數(shù)據(jù)為：85，90，90，90，94
抽取的、型掃地機(jī)器人除塵量統(tǒng)計表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：_________，_________，_________；
（2）這個月公司可生產(chǎn)型掃地機(jī)器人共3000臺，估計該月型掃地機(jī)器人“優(yōu)秀”等級的臺數(shù)；
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該公司生產(chǎn)的哪種型號的掃地機(jī)器人掃地質(zhì)量更好？請說明理由（寫出一條理由即可）．
【答案】（1）95；90；20
（2）900臺 （3）型號更好，在平均數(shù)均為90的情況下，型號的平均除塵量眾數(shù)大于B型號的平均除塵量眾數(shù)90
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求出a，b，根據(jù)型掃地機(jī)器人中“優(yōu)秀”等級所占百分比和“良好”等級包含的數(shù)據(jù)可求出m；
（2）用總數(shù)乘以型掃地機(jī)器人“優(yōu)秀”等級所占百分比即可；
（3）可從眾數(shù)的角度進(jìn)行分析判斷．
【小問1詳解】
解：型中除塵量為95的有3個，數(shù)量最多，
所以眾數(shù)a＝95；
B型中“良好”等級包含的數(shù)據(jù)有5個，則所占百分比為50%，
所以m%＝1－50%－30%＝20%，即m＝20；
因?yàn)锽型中“合格”等級所占百分比為20%，
所以B型中“合格”的有2個，
所以B型中中位數(shù)b＝；
故答案為：95；90；20；
【小問2詳解】
（臺），
答：估計該月型掃地機(jī)器人“優(yōu)秀”等級的臺數(shù)有900臺；
【小問3詳解】
型號更好，
理由：在平均數(shù)均為90的情況下，型號的平均除塵量眾數(shù)大于B型號的平均除塵量眾數(shù)90．
【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)，中位數(shù)，用樣本估計總體等知識，能夠從不同的統(tǒng)計圖或統(tǒng)計表中獲取有用信息是解題的關(guān)鍵．
20. 已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個一次函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集；
（3）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，，求的面積．
【答案】（1），圖見解析
（2）或
（3）12
【解析】
【分析】（1）把，分別代入得到m，n的值，得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的表達(dá)式，并畫出圖象即可；
（2）由函數(shù)圖象可知，當(dāng) 或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象的上方，即可得到答案；
（3）根據(jù)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到BC的長，進(jìn)一步求出三角形的面積即可．
【小問1詳解】
解：把，分別代入得，
，，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴ 點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（﹣2，﹣2），
把點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（﹣2，﹣2）代入一次函數(shù)得，
，
解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式是y＝2x＋2，
這個一次函數(shù)的圖象如圖，
【小問2詳解】
解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng) 或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象的上方，
∴不等式的解集為或；
【小問3詳解】
解：∵點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣2，﹣2），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，﹣2），
∴BC＝2－（﹣2）＝4，
∴．
【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題、三角形的面積，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21. 在全民健身運(yùn)動中，騎行運(yùn)動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從地沿相同路線騎行去距地30千米的地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；
（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達(dá)地，求甲騎行的速度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)乙的速度為，則甲的速度為，根據(jù)甲出發(fā)半小時恰好追上乙列方程求解即可；
（2）設(shè)乙的速度為，則甲的速度為，根據(jù)甲、乙恰好同時到達(dá)地列方程求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)乙的速度為，則甲的速度為，
由題意得：，
解得：，
則，
答：甲騎行的速度為；
【小問2詳解】
設(shè)乙的速度為，則甲的速度為，
由題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，
則，
答：甲騎行的速度為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，三角形花園緊鄰湖泊，四邊形是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，米．點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向．點(diǎn)，在點(diǎn)的正北方向，米．點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東．
（1）求步道的長度（精確到個位）；
（2）點(diǎn)處有直飲水，小紅從出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，也可以經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】（1）283米
（2）經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)較近
【解析】
【分析】（1）過作的垂線，垂足為，可得四邊形ACHE是矩形，從而得到米，再證得△DEH為等腰直角三角形，即可求解；
（2）分別求出兩種路徑的總路程，即可求解．
【小問1詳解】
解：過作的垂線，垂足為，
∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，
∴四邊形ACHE是矩形，
∴米，
根據(jù)題意得：∠D=45°，
∴△DEH為等腰直角三角形，
∴DH=EH=200米，
∴（米）；
小問2詳解】
解： 根據(jù)題意得：∠ABC=∠BAE=30°，
在中，
∴米，
∴經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，總路程為AB+BD=500米，
∴（米），
∴（米），
∴經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，總路程為，
∴經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)較近．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
23. 若一個四位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是去掉個位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個四位數(shù)為“勾股和數(shù)”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和數(shù)”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和數(shù)”．
（1）判斷2022，5055是否是“勾股和數(shù)”，并說明理由；
（2）一個“勾股和數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，記，．當(dāng)，均是整數(shù)時，求出所有滿足條件的．
【答案】（1）2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；理由見解析
（2）8109或8190或4536或4563．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“勾股和數(shù)”的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（2）由“勾股和數(shù)”的定義可得，根據(jù)，均是整數(shù)可得，為3的倍數(shù)，據(jù)此得出符合條件的c，d的值，然后即可確定出M．
【小問1詳解】
解：2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；
理由：∵，，
∴1022不是“勾股和數(shù)”；
∵，
∴5055是“勾股和數(shù)”；
【小問2詳解】
∵為“勾股和數(shù)”，
∴，
∴，
∵為整數(shù)，
∴，
∵為整數(shù)，
∴為3的倍數(shù)，
∴①，或，，此時或8190；
②，或，，此時或4563，
綜上，M的值為8109或8190或4536或4563．
【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用以及學(xué)生應(yīng)用知識的能力，解題關(guān)鍵是要理解新定義，能根據(jù)條件找出合適的“勾股和數(shù)”．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點(diǎn)，．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，求的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對稱軸上一點(diǎn)．在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．
【答案】（1）
（2），
（3）；；
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線中求出b，c即可；
（2）設(shè)交于，可得，求出直線AB的解析式，設(shè)，則，，表示出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后拋物線解析式及點(diǎn)E、F坐標(biāo)，設(shè)，，分情況討論：①當(dāng)為對角線時，②當(dāng)為對角線時，③當(dāng)為對角線時，分別根據(jù)對角線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同列式計算即可．
【小問1詳解】
解：將點(diǎn)，代入得：，
解得：，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；
【小問2詳解】
如圖，設(shè)交于，
∵，，
∴OA＝OB＝4，
∴，
∵PC∥OB，PD∥OA，
∴，，
∴，
設(shè)直線AB的解析式為，
則，解得：，
∴直線AB的解析式為，
設(shè)，則，，
∴，
∴當(dāng)時，取得最大值，此時；
【小問3詳解】
由題意得：平移后拋物線解析式為，，
∴，
∵拋物線的對稱軸為，
∴設(shè)，，
分情況討論：
①當(dāng)為對角線時，
則，
解得：，此時，
∴；
②當(dāng)為對角線時，
則，即，
此時，
∴；
③當(dāng)為對角線時，
則，即，
此時，
∴，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值以及利用平行四邊形的性質(zhì)列方程．
25. 如圖，在銳角中，，點(diǎn)，分別是邊，上一動點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)．
（1）如圖1，若，且，，求的度數(shù)；
（2）如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．在點(diǎn)，運(yùn)動過程中，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）若，且，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接．在點(diǎn)，運(yùn)動過程中，當(dāng)線段取得最小值，且時，請直接寫出的值．
【答案】（1）
（2），證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）在射線上取一點(diǎn)，使得，證明，求出，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得出答案；
（2）證明，求出，倍長至，連接，PQ，證明，求出，在CF上截取FP＝FB，連接BP，易得為正三角形，然后求出，證，可得PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，則可得為正三角形，然后由得出結(jié)論；
（3）根據(jù)可知軌跡為如圖3-1中圓弧，O為所在圓的圓心，此時AO垂直平分BC，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，取得最小值，設(shè)，解直角三角形求出PL、PH，再用面積法求出PQ計算即可．
【小問1詳解】
解：如圖1，在射線上取一點(diǎn)，使得，
∵，BC＝BC，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問2詳解】
，
證明：∵，，
∴△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠DBC＝60°，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
倍長至，連接，PQ，
∵CN＝QN，∠QNF＝∠CNM，NF＝NM，
∴（SAS），
∴，∠QFN＝∠CMN，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC＝CM，
∴，
在CF上截取FP＝FB，連接BP，
∵，
∴，
∴為正三角形，
∴∠BPF＝60°，，
∴，
∵∠QFN＝∠CMN，
∴FQ∥CM，
∴，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，
∴為正三角形，
∴，即；
【小問3詳解】
由（2）知，
∴軌跡為如圖3-1中圓弧，O為所在圓的圓心，此時AO垂直平分BC，
∴、、三點(diǎn)共線時，取得最小值，
∵∠PAO＝∠PAB＋∠BAO＝90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
如圖3-2，作HL⊥PK于L，
設(shè)，
在Rt△HLP中，，即，
∴，
∴，，
設(shè)PQ與HK交于點(diǎn)R，則HK垂直平分PQ，
∵S△PHK＝，
∴，
∴，
∴，
∵BC＝AP＝2，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，綜合性較強(qiáng)，能夠作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC
型號
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
“優(yōu)秀”等級所占百分比
90
89
26.6
90
90
30

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