2023屆福建省三明市高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先寫出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性得到在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到，從而得到其共軛復(fù)數(shù).【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，則.故選：A2．已知集合，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得集合對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域和值域，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系和集合運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】，，故，，不包含于，，則ACD錯(cuò)誤，B正確.故選：B.3．設(shè)a，b∈R，則使a＞b成立的一個(gè)充分不必要條件是(　　)A．a3＞b3 B．log2(a－b)＞0C．a2＞b2 D．【答案】B【分析】使得a＞b成立的充分不必要條件，即是一個(gè)條件能夠使得a＞b成立，但是反之不成立．【詳解】要求a＞b成立的一個(gè)充分不必要條件，即要求一個(gè)條件能夠使得a＞b成立，但是反之不成立．選項(xiàng)A是充要條件，選項(xiàng)B等價(jià)于a－b＞1，是充分不必要條件，選項(xiàng)C，D既不充分又不必要，故選B.【點(diǎn)睛】注意充分條件和充分不必要條件的區(qū)別在于前者可以逆推，后者不能逆推或者是子集與真子集的關(guān)系．4．有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為某流感在一段時(shí)間沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)15人”．根據(jù)過(guò)去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（    ）A．甲地：總體均值為4，中位數(shù)為3B．乙地：總體均值為5，總體方差為12C．丙地：中位數(shù)為3，眾數(shù)為2D．丁地：總體均值為3，總體方差大于0【答案】B【分析】根據(jù)均值，中位數(shù)，眾數(shù)，方差這些數(shù)字特殊可以一一判斷，或者用排除法也容易解此題.【詳解】解：對(duì)于A，均值為4，中位數(shù)為3，不能保證10個(gè)數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都不超過(guò)15，∴A不符合該標(biāo)志；對(duì)于B，均值為5，方差為12時(shí)，假設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)分別是，則有，，而能成立，沒(méi)有矛盾，即所有數(shù)據(jù)不超過(guò)15，B符合該標(biāo)志；同理，對(duì)于C、D，都不能保證10個(gè)數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)不超過(guò)15，∴C、D也不符合題意．故選：B．5．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由和差角公式以及輔助角公式即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】根據(jù)題意，，即，故，故選：A6．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，它是由正方體的各條棱的中點(diǎn)連接形成的幾何體.它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（    ）A．該二十四等邊體的外接球的表面積為B．該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E，滿足關(guān)系式C．直線與的夾角為60°D．平面【答案】D【分析】將二十四等邊體補(bǔ)齊成正方體，根據(jù)空間幾何相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷.【詳解】由已知，補(bǔ)齊二十四等邊體所在的正方體如圖所示記正方體體心為，取下底面中心為 ，二十四等邊體的棱長(zhǎng)為2易知，則外接球半徑所以外接球的表面積，故A正確.由歐拉公式可知：頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)2，故B正確.又因?yàn)?/span>∥，易知直線與的夾角即為 直線與的夾角為，故C正確.又因?yàn)?/span>∥，∥，易知直線與直線的夾角為可知直線與直線不垂直，故直線與平面不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：D7．已知雙曲線，為雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線的兩條浙近線的垂線，垂足分別為，，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得其漸近線方程，再利用點(diǎn)線距離公式及雙曲線的幾何性質(zhì)求得的范圍從而得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以雙曲線的漸近線方程為，設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，則，所以，則，由點(diǎn)線距離公式得，，所以，即的最小值為.故選：A.8．已知函數(shù)，，設(shè)為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求解函數(shù)的值域，根據(jù)存在實(shí)數(shù)，使得成立，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)， ．令 ，由于 且 ，所以 或，所以的取值范圍是；當(dāng)時(shí)， ，的取值范圍是，；綜上可得的取值范圍是，；要存在實(shí)數(shù)，使得成立，則函數(shù)，即，即，解得：．故選：D 二、多選題9．如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，在線段上，則下列說(shuō)法中正確的有（    ）A．平面B．平面C．存在點(diǎn)，滿足D．的最小值為【答案】AD【分析】對(duì)于A，在平面找一條直線，使其與平行即可；對(duì)于B，先由證明四點(diǎn)共面，再證四點(diǎn)共面，進(jìn)而能判斷直線與平面的位置關(guān)系；對(duì)于C，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算即可；對(duì)于D，把三棱錐的正面和上底面展開(kāi)，即能找到的最小值，構(gòu)造直角三角形求解即可.【詳解】對(duì)于A，連接，分別是棱的中點(diǎn)，且，四邊形為平行四邊形， ，又平面，平面在平面內(nèi)，所以平面，故A正確；對(duì)于B，易知，所以四點(diǎn)共面，又點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，平面，而平面，直線平面，故B不正確；對(duì)于C，以為正交基底，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，若，則，，在線段延長(zhǎng)線上，而不在線段上，故C不正確；對(duì)于D，把圖1的正面和上底面展開(kāi)如圖2所示，連接即為所求，過(guò)做PG垂直于且與其相交于，與相交于，易得，，，，在中，，，故D正確.故選：AD10．首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.現(xiàn)有下列個(gè)命題，其中是真命題的有（    ）A．若，則B．若，則使的最大的為C．若，，則中最大D．若，則【答案】BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)依次分析即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A,若，則，那么.故A不正確；對(duì)于B,中若，則，又因?yàn)?/span>，所以前8項(xiàng)為正，從第9項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)，因?yàn)?/span>，所以使的最大的為15.故B正確；對(duì)于C,中若，，則，，則中最大.故C正確；對(duì)于D，中若，則，而，不能判斷正負(fù)情況.故D不正確.故選：BC11．以下四個(gè)命題表述正確的是（    ）A．若、相互獨(dú)立，B．已知兩個(gè)隨機(jī)變量，，其中，，，若，且，則C．圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1D．橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】ABD【分析】利用條件概率公式判斷A；利用二項(xiàng)分布與正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B；利用直線與圓的位置關(guān)系判斷C；設(shè)直線與橢圓相切，求出切線方程，利用平行線距離公式判斷D.【詳解】若事件與互相獨(dú)立，可得，，故正確；，，，，，，故B正確；圓的圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離，而圓的半徑等于2，所以圓上只有3個(gè)點(diǎn)到直線距離等于1，C錯(cuò)誤；設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立方程，得：，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，解得，當(dāng)時(shí)，直線與距離最大，最大距離為，故D正確；故選：ABD.12．已知是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值可能為（    ）A． B． C．1 D．【答案】BCD【分析】求導(dǎo)得，由在上單調(diào)遞增，可得，即恒成立，即恒成立，只需，即可得出答案.【詳解】，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?/span>，所以恒成立，所以，令，令，所以，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以，則，即，，所以，解得.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵構(gòu)造的新函數(shù)的處理，函數(shù)中既有指數(shù)函數(shù)也有對(duì)數(shù)函數(shù)，利用冪指恒等代換，利用整體代換，可得其最值. 三、填空題13．展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是      .（答案用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)化簡(jiǎn)得常數(shù)項(xiàng)滿足，即可代入求解.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 ， ,令,則 或，或 ，所以常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：14．在第24屆北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上，一朵朵六角雪花飄拂在國(guó)家體育場(chǎng)上空，暢想著“一起向未來(lái)”的美好愿景.如圖是“雪花曲線”的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，若第1個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為3，則第4個(gè)圖形的周長(zhǎng)為      .  【答案】【分析】根據(jù)題意，分別求得每個(gè)“雪花曲線”的邊長(zhǎng)和邊數(shù)，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，第1個(gè)圖中的三角形的邊長(zhǎng)為，三角形的周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，第2個(gè)圖中“雪花曲線”的邊長(zhǎng)為，共有條邊，其“雪花曲線”周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，第3個(gè)圖中“雪花曲線”的邊長(zhǎng)為，共有條邊，其“雪花曲線”周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，第4個(gè)圖中“雪花曲線”的邊長(zhǎng)為，共有條邊，其“雪花曲線”周長(zhǎng)為.故答案為：.15．若實(shí)數(shù)，，滿足條件，且，則的最小值為      .【答案】2【分析】由可將變形，然后利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，令，令，有，則，則，因此，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，即，所以，所以的最小值為.故答案為： 四、雙空題16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，在處的切線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則      ；面積的最小值為      ．【答案】     5     4【分析】由題意可得拋物線方程，設(shè)在第二象限，由，可得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立可得，設(shè)切線的方程為，與聯(lián)立可得，，從而可求；最后利用點(diǎn)到直線距離公式及面積公式即可求解面積的最小值.【詳解】解：因?yàn)榻裹c(diǎn)為，所以拋物線，不妨設(shè)在第二象限，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立并消去，得，設(shè)，，則，，所以，設(shè)切線的方程為，與聯(lián)立并消去，得，因?yàn)?/span>，所以，所以，，即，，，，若，則，，．又到直線的距離，所以，令，所以，所以當(dāng)時(shí)，的面積最小，最小值為4．故答案為：5；4. 五、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）推導(dǎo)出，則，兩式相減得，再由累乘法能求出的通項(xiàng)公式；（2）分奇數(shù)偶數(shù)兩種情況討論，利用并項(xiàng)求和能求出.【詳解】（1）由題意可知，整理可得，①則②由②①可得，整理可得，因?yàn)?/span>，所以由累乘法可得，因?yàn)?/span>，所以，（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，  當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，  所以，.18．2022年卡塔爾世界杯于北京時(shí)間11月20日在卡塔爾正式開(kāi)賽，該比賽吸引了全世界億萬(wàn)球迷觀看.為了了解喜愛(ài)觀看世界杯是否與性別有關(guān)，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取男女各100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中男的喜愛(ài)觀看世界杯的有60人，女的喜愛(ài)觀看世界杯的有20人.(1)完成下面列聯(lián)表， 男女合計(jì)喜愛(ài)看世界杯   不喜愛(ài)看世界杯   合計(jì)   試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，并判斷能否認(rèn)為喜愛(ài)觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián)？(2)在喜愛(ài)觀看世界杯的觀眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取2人參加某電視臺(tái)的訪談節(jié)目，設(shè)參加訪談節(jié)目的女性觀眾與男性觀眾的人數(shù)之差為，求的數(shù)學(xué)期望和方差.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，喜愛(ài)觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián)(2)，. 【分析】（1）由題可得列聯(lián)表，計(jì)算的值，由此作出判斷. （2）根據(jù)分布列的求法求得的分布列，進(jìn)而可得期望.【詳解】（1）由題意得到如下列聯(lián)表： 男女合計(jì)喜愛(ài)看世界杯602080不喜愛(ài)看世界杯4080120合計(jì)100100200零假設(shè)為喜愛(ài)觀看世界杯與性別無(wú)關(guān)聯(lián).根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為喜愛(ài)觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián).（2）按照分層抽樣的方式抽取8人，其中男觀眾6人，女觀眾2人，則的可能取值為，0，2，，，，所以的分布列為02，.19．如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.  (1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)存在， 【分析】（1）連接與相交于點(diǎn)，連接，分別根據(jù)菱形的和等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)得到和，再利用線面垂直的判定即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用法向量表示平面與平面的夾角的正弦值，求出的值即可.【詳解】（1）連接與相交于點(diǎn)，連接，如圖所示：  四邊形為菱形，，為等邊三角形，是的中點(diǎn)，有，、面，，面，又面，則，又已知，，平面，所以平面.（2），分別為，的中點(diǎn)，連接，，由（1）平面，所以平面面，作，所以有平面，又因?yàn)?/span>為等邊三角形，，平面以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系    則，，，，由，，  設(shè)，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令，則，  易取平面的一個(gè)法向量為  ，由已知平面與平面的夾角的正弦值為，則平面與平面的夾角的余弦值為，則有，，由解得.所以，點(diǎn)存在，.20．非等腰的內(nèi)角、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，且.(1)證明：；(2)若，證明：.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解 【分析】（1）根據(jù)正余弦定理角化邊，整理即可；（2）根據(jù)正弦定理推得，即可得到.通過(guò)分析，可得，代入，整理可得到，可以用分析法證明，也可以構(gòu)造，求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞減.進(jìn)而得到.【詳解】（1）由正弦定理，得，，由，則.（2）由，則為銳角，，則，去分母得，則，由則.由（1）有，得.解方程組，消元，則，可得，要證，即證，只需證，即證，即證，由，此不等式成立，得證.另解：令，，又，求導(dǎo)得，則在遞增，則，得證.21．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，左右頂點(diǎn)分別為、，是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，、斜率之積為，且的面積最大值為.  (1)求橢圓的方程；(2)直線交橢圓于另一點(diǎn)，分別過(guò)、作橢圓的切線，這兩條切線交于點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）設(shè)出，表達(dá)出，結(jié)合求出，根據(jù)的面積最大值求出，，求出橢圓方程；（2）設(shè)處橢圓的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程，有根的判別式等于0得到切線方程，同理得到處的切線方程為，聯(lián)立兩切線方程，得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可設(shè)點(diǎn)，得到直線的方程為，得到，證明出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由，，知，因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，即，則，.因?yàn)?/span>的面積最大值為，，，，即橢圓.（2）下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當(dāng)時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡(jiǎn)得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，綜上：橢圓在處的切線方程為；  所以處的切線方程為，同理可得處的切線方程為，由得交點(diǎn)橫坐標(biāo)，可設(shè)點(diǎn)，則有，所以直線的方程為，知，又，所以，所以，即證.【點(diǎn)睛】過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為：，過(guò)圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為：.過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為22．已知函數(shù)，.(1)求證：在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)在的取值范圍，從而證明的單調(diào)性；（2）由題意可得，分離參數(shù)得到 ，求出導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)區(qū)間，找出最小值即可.【詳解】（1），，，由，有，，則，又，則.當(dāng)時(shí)，，，所以  所以當(dāng)時(shí)，，綜上，在上單調(diào)遞增.（2）.化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，  設(shè)，.，，，在上單調(diào)遞增，又由，所以當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，所以，故.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題在定義域內(nèi)，若恒成立，即；在定義域內(nèi)，若恒成立，即. 

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