2022-2023學(xué)年河南省南陽市宛城區(qū)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列代數(shù)式中，屬于分式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  經(jīng)測算，一個水分子的直徑約為納米，納米米，數(shù)據(jù)納米用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A. 米 B. 米 C. 米 D. 米3.  下列解為的分式方程是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列分式中，最簡分式是(    )A.  B.  C.  D. 5.  若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，則與的大小關(guān)系是(    )A.  B.  C.  D. 6.  若、的值均擴大為原來的倍，則下列分式的值保持不變的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如圖是某教室學(xué)生座位平面示意圖，老師把王明的座位“第列第排”記為若小東的座位為，則以下四個座位中，與小東相鄰且能比較方便地討論交流的同學(xué)的座位是(    )
A.  B.  C.  D. 9.  物理實驗證實：在彈性限度內(nèi)，某彈簧長度與所掛物體質(zhì)量間有下表的關(guān)系下列說法不正確的是(    )  A. 因變量是自變量的一次函數(shù)
B. 當(dāng)彈簧長度為時，所掛物體的質(zhì)量為
C. 隨著所掛物體重量的增加，彈簧長度逐漸變長
D. 所掛物體的重量每增加，彈簧長度增加10.  如圖，已知，，，將先向左平移個單位，再繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.  函數(shù)中自變量的取值范圍是______ ．12.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點在軸正半軸上，以點為圓心，長為半徑作弧，交軸正半軸于點，則點的坐標(biāo)為______．
 13.  化簡的結(jié)果是______ ．14.  反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點，當(dāng)時，，寫出符合條件的的值          答案不唯一，寫出一個即可．15.  數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法如圖，在長方形中，動點從點出發(fā)，沿方向勻速運動至點停止，已知點的運動速度為，設(shè)點的運動時間為，的面積為，若關(guān)于的函數(shù)圖象如圖所示，則長方形的面積為______ ．
 三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.  本小題分
計算或解方程：；．17.  本小題分
根據(jù)物理學(xué)知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強是它的受力面積的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示．
關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為______ ．
求當(dāng)時，物體所受的壓強是______ ．
當(dāng)時，求受力面積的變化范圍．
18.  本小題分
先化簡，然后從中選出一個合適的整數(shù)作為的值代入求值．19.  本小題分
如圖，是雙曲線上的任意一點，是的中點，過點作軸的垂線，垂足為，交雙曲線于點，若的面積，求反比例函數(shù)的解析式．
20.  本小題分
“孔子周游列國”是流傳很廣的故事有一次他和弟子顏回等到離所住驛站里的書院講學(xué)，弟子們步行出發(fā)小時后，孔子坐牛車出發(fā)，已知牛車的速度是步行的倍，結(jié)果孔子和弟子們同時到達(dá)書院，求孔子及其弟子們的速度各是多少里小時．21.  本小題分
通過實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學(xué)生興趣激增，中間一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散學(xué)生注意力指標(biāo)隨時間分鐘變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)和時，圖象是線段；當(dāng)時，圖象是反比例函數(shù)的一部分．
求點對應(yīng)的指標(biāo)值；
張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要分鐘，他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，使學(xué)生在聽這道綜合題的講解時，注意力指標(biāo)都不低于？請說明理由．
22.  本小題分
小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究下面是小東的探究過程，請補充完整：
化簡函數(shù)解析式：當(dāng)時， ______ ；當(dāng)時， ______ ；
如表是與的幾組對應(yīng)值，表中 ______ ； 在圖的平面直角坐標(biāo)系中，描出以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，并根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；

結(jié)合函數(shù)的圖象，解決問題：
寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：______ ；
若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，直接寫出的取值范圍．23.  本小題分
某水果店購進(jìn)甲、乙兩種蘋果的進(jìn)價分別為元、元，這兩種蘋果的銷售額單位：元與銷售量單位：之間的關(guān)系如圖所示．
寫出圖中點表示的實際意義；
分別求甲、乙兩種蘋果銷售額單位：元與銷售量單位：之間的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；
若不計損耗等因素，當(dāng)甲、乙兩種蘋果的銷售量均為時，它們的利潤和為元，求的值．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：分母中含有未知數(shù)的式子叫分式，只有選項C符合題意．
故選：．
根據(jù)分式的定義判斷即可．
本題考查分式的定義，掌握分式的定義是做題的關(guān)鍵．2.【答案】 【解析】解：納米米米，
納米米米，
故選：．
絕對值小于的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．
本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．3.【答案】 【解析】解：當(dāng)時，，故不是選項A的解；
B.當(dāng)時，方程左邊沒有意義，故不是選項B的解；
C.當(dāng)時，，故是選項C的解；
D.當(dāng)時，方程左邊沒有意義，故不是選項D的解．
故選：．
可解方程，根據(jù)方程的解的情況得結(jié)論，亦可利用方程解的意義，通過檢驗的辦法得結(jié)論．
本題主要考查了分式方程及其解，掌握分式方程解的意義是解決本題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：、該式子的分子、分母中含有公因式，不是最簡分式，不符合題意；
B、該式子的分子、分母中含有公因數(shù)，不是最簡分式，不符合題意；
C、該式子的分子、分母中不含有除之外的其他公因式，是最簡分式，符合題意；
D、該式子的分子、分母中含有公因式，不是最簡分式，不符合題意；
故選：．
根據(jù)最簡分式的概念逐項判斷即可．
本題考查的是最簡分式的定義，一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．5.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)中，，
隨著的增大而增大．
點和是一次函數(shù)圖象上的兩個點，，
．
故選：．
先根據(jù)一次函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的增減性，再根據(jù)即可得出結(jié)論．
本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知一次函數(shù)圖象的增減性是解答此題的關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】解：，
選項A不符合題意；
，
選項B不符合題意；
，
選項C不符合題意；
，
選項D符合題意，
故選：．
將、的值均擴大為原來的倍分別代入各選項進(jìn)行計算、辨別．
此題考查了分式基本性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用以上知識進(jìn)行計算、求解．7.【答案】 【解析】解：當(dāng)，時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，的圖象在第二、四象限，故選項A錯誤、選項D正確；
當(dāng)，時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，的圖象在第一、三象限，故選項B錯誤；
當(dāng)，時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，的圖象在第二、四象限，故選項C錯誤；
故選：．
根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的圖象是否正確．
本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8.【答案】 【解析】解：如圖所示：與小東相鄰且能比較方便地討論交流的同學(xué)的座位是．
故選：．
直接利用點的坐標(biāo)特點得出與小東相鄰且能比較方便地討論交流的同學(xué)的座位．
此題主要考查了點的坐標(biāo)，正確掌握點的坐標(biāo)特點是解題關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：有表格得：，為彈簧秤的最大限度
是正確的；
當(dāng)時，，
解得：，
故B是錯誤的；
在彈性限度內(nèi)，彈簧隨所掛物品的重量的增加，彈簧的長度逐漸變長；
故C是正確的；
在彈簧的限度內(nèi)，所掛物體的重量每增加，彈簧長度增加，
故D是正確的；
故選：．
先把表格轉(zhuǎn)化為解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解．
本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握函數(shù)的形式轉(zhuǎn)化及一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：，
將先向左平移個單位后點坐標(biāo)為，
點關(guān)于原點對稱的點，
故選：．
先根據(jù)平移的性質(zhì)求出平移后點的坐標(biāo)，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)即可．
本題考查了圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，解題關(guān)鍵是掌握繞原點旋轉(zhuǎn)的圖形的坐標(biāo)特點，即對應(yīng)點的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．11.【答案】且 【解析】解：由題意，得
且，
解得且，
故答案為：且．
根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母不能為零，非零的零次冪等于，可得答案．
本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，利用被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母不能為零，非零的零次冪等于得出不等式是解題關(guān)鍵．12.【答案】 【解析】解：由圖象可得與直徑重合，
，
，
，
，
故答案為：．
由圖象可得與圓的直徑重合，由及垂徑定理求解．
本題考查與圓的有關(guān)計算，解題關(guān)鍵是掌握垂徑定理及其推論．13.【答案】 【解析】解：由題意，原式


．
故答案為：．
依據(jù)題意，直接利用異分母分式的加減運算法則計算得出答案．
本題主要考查了分式的加減，正確化簡分式是解題關(guān)鍵．14.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系解答即可．
【解答】
解：反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點，當(dāng)時，，
此反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，
，
可為小于的任意實數(shù)，例如，等．
故答案為：．15.【答案】 【解析】解：動點從點出發(fā)，沿、、運動至點停止，
當(dāng)點在點，之間運動時，的面積隨時間的增大而增大，
由圖知，當(dāng)時，點到達(dá)點處，
；
當(dāng)點運動到點，之間時，的面積不變，
由圖可知，點從點運動到點所用時間為，
，
長方形面積
故答案為：．
根據(jù)的面積只與點的位置有關(guān)，結(jié)合圖求出長方形的長和寬，再根據(jù)矩形面積公式計算即可解答．
本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)與的函數(shù)圖象求出長方形的長和寬．16.【答案】解：


；
，
方程兩邊都乘，得，
解得：，
檢驗：當(dāng)時，，
所以分式方程的解是． 【解析】先根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行計算，再算除法，最后算加法即可；
方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗即可．
本題考查了解分式方程，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等知識點，能正確根據(jù)實數(shù)的運算法則進(jìn)行計算是解的關(guān)鍵，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解的關(guān)鍵，注意：解分式方程一定要進(jìn)行檢驗．17.【答案】，   【解析】解：設(shè)，
點在這個函數(shù)的圖象上，
．
．
與的函數(shù)關(guān)系式為，．
故答案為：，．
當(dāng)時，．
故答案為：．
令，，
令，，
當(dāng)時，．
觀察圖象易知與之間的是反比例函數(shù)關(guān)系，所以可以設(shè)，依據(jù)圖象上點的坐標(biāo)可以求得與之間的函數(shù)關(guān)系式．
將代入上題求得的反比例函數(shù)的解析式即可求得壓強．
將壓強代入函數(shù)關(guān)系式即可求得受力面積的取值范圍．
本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．18.【答案】解：


，
要使分式有意義，必須且，
所以不能為和，
是滿足的整數(shù)，
，
當(dāng)時，原式． 【解析】先根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計算，再根據(jù)分式的除法法則進(jìn)行計算，根據(jù)分式有意義的條件求出不能為和，求出為，最后把代入化簡結(jié)果，即可求出答案．
本題考查了分式的化簡求值和一元一次不等式組的整數(shù)解，能正確根據(jù)分式的運算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．19.【答案】解：是的中點，
，
，，
，
軸于，
，
反比例函數(shù)的解析式為． 【解析】根據(jù)是的中點，得到，推出，于是得到結(jié)論．
本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，正確地作出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：設(shè)弟子們的速度是里小時，則孔子的速度是里小時，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
．
答：孔子的速度是里小時，弟子們的速度是里小時． 【解析】設(shè)弟子們的速度是里小時，則孔子的速度是里小時，利用時間路程速度，結(jié)合孔子比弟子們少用小時，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出弟子們的速度，再將其代入中，即可求出孔子的速度．
本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解：設(shè)當(dāng)時，反比例函數(shù)的解析式為，將代入
得：，
解得：，
反比例函數(shù)的解析式為：，
當(dāng)時，，
，
，即對應(yīng)的指標(biāo)值為；
設(shè)當(dāng)時，的解析式為，將、代入
得：，
解得：，
的解析式為：，
當(dāng)時，，解得：，
由得反比例函數(shù)的解析式為：，
當(dāng)時，，解得：，
時，注意力指標(biāo)都不低于，
而，
張老師能經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽這道綜合題的講解時，注意力指標(biāo)都不低于． 【解析】設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，由求出，可得坐標(biāo)，從而求出的指標(biāo)值；
求出解析式，得到時，，由反比例函數(shù)可得時，，根據(jù)，即可得到答案．
本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)及不等式等知識，解題的關(guān)鍵是求出和時的解析式．22.【答案】      時，隨的增大而增大 【解析】解：化簡函數(shù)，
當(dāng)時，，當(dāng)時
故答案為：，；
把代入得，，
，
故答案為：；
圖象如圖所示．

時，隨的增大而增大此題答案不唯一；
故答案為：時，隨的增大而增大．
把點代入，求得，
由圖象可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，的取值范圍是．
分兩種情況討論：當(dāng)時，，當(dāng)時；
把代入求得即可；
描點、連線畫出函數(shù)圖象；
根據(jù)圖象可知：時，隨的增大而增大；
由圖象可知．
本題考查了一次函數(shù)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：圖中點表示的實際意義為當(dāng)銷量為時，甲、乙兩種蘋果的銷售額均為元；
設(shè)甲種蘋果銷售額單位：元與銷售量單位：之間的函數(shù)解析式為，
把代入解析式得：，解得，
甲種蘋果銷售額單位：元與銷售量單位：之間的函數(shù)解析式為；
當(dāng)時，設(shè)乙種蘋果銷售額單位：元與銷售量單位：之間的函數(shù)解析式為，
把代入解析式得：，解得：，
；
當(dāng)時，設(shè)乙種蘋果銷售額單位：元與銷售量單位：之間的函數(shù)解析式為，把，代入解析式得：
，解得：，
，
綜上，乙種蘋果銷售額單位：元與銷售量單位：之間的函數(shù)解析式為
；
當(dāng)時，
根據(jù)題意得：，
解得：，不合題意；
當(dāng)時，
根據(jù)題意得：，
解得：，
綜上，的值為． 【解析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
根據(jù)圖象即可得出結(jié)論；
用待定系數(shù)法分別求出甲、乙兩種蘋果銷售額單位：元與銷售量單位：之間的函數(shù)解析式即可；
分和兩種情況列方程求解即可．

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