重慶市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題及答案

這是一份重慶市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題及答案，共15頁。試卷主要包含了已知函數(shù)，則不等式的解集為等內(nèi)容，歡迎下載使用。
重慶市高2024屆高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，集合，則集合的子集的個數(shù)是（    ）A.2 B.4 C.7 D.82.命題“，的否定是（    ）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”3.設(shè)，，，則（    ）A. B. C. D.4.已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍為（    ）A.或 B. C. D.5.某高鐵動車檢修基地庫房內(nèi)有A～E共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動車01、02、高鐵01、02、03共五列車入庫檢修，若已知兩列動車安排在相鄰軌道，則動車01停放在A道的概率為（    ）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（    ）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的根（），則的最大值是（    ）A. B. C. D.8.已知a，，關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則的最大值為（    ）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則以下說法一定正確的是（    ）A.為周期函數(shù) B. C. D.在單調(diào)遞減10.兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量x，y的一組數(shù)據(jù)為，，求得樣本中心點為，回歸直線方程為，決定系數(shù)為；若將數(shù)據(jù)調(diào)整為，，求得新的樣本中心點為，回歸直線方程為，決定系數(shù)為，則以下說法正確的有（    ）附，，A. B. C. D.11.已知離心率為的橢圓的左，右焦點分別為，，過點且斜率為的直線l交橢圓于A，B兩點，A在x軸上方，M為線段上一點，且滿足，則（    ）A.  B.直線l的斜率為C.，，成等差數(shù)列 D.的內(nèi)切圓半徑12.已知實數(shù)a，b滿足，函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的極大值點和極小值點分別為，且，則下列說法正確的有（    ）A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機變量X服從二項分布，若，則______.14.已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值為______15.隨著全球的經(jīng)濟發(fā)展和人口增長，資源消耗和環(huán)境問題日益凸顯，為了實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展，我國近年來不斷推出政策促進再生資源的回收利用.某家冶金廠生產(chǎn)的一種金屬主要用于電子設(shè)備的制造，2023年起該廠新增加了再生資源的回收生產(chǎn)，它每年的金屬產(chǎn)量將由兩部分構(gòu)成：一部分是由采礦場新開采的礦石冶煉，每年可冶煉3萬噸金屬；另一部分是從回收的電子設(shè)備中提煉的再生資源，每年可生產(chǎn)的金屬約占該廠截止到上一年末的累計金屬總產(chǎn)量的10%.若截止2022年末這家冶金廠該金屬的累計總產(chǎn)量為20萬噸，則估計該廠2024年的金屬產(chǎn)量為______萬噸，預(yù)計到______年，這家廠當(dāng)年的金屬產(chǎn)量首次超過15萬噸.（參考數(shù)據(jù)：，）16.已知拋物線焦點為F，斜率為k的直線過F交拋物線于A，B，中點為Q，若圓上存在點P使得，則k的取值范圍是______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：.18.（本小題滿分12分）如圖，多面體中，平面，且，，，M是的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的大小.19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處的切線l和直線垂直.（1）求實數(shù)a的值；（2）若對任意的，，，都有成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)m的取值范圍.20.（本小題滿分12分）為了帶動節(jié)能減排的社會風(fēng)尚，引導(dǎo)居民錯峰用電，某地區(qū)下個月開始將實行分時電價.過去居民用電實行的是階梯電價，每月用電量不超過180度的部分，按照每度電0.45元收取，超過180度的部分，按照每度電0.6元收取.而新的分時電價則是將每日24小時分為峰段、谷段、平段三個時段，按照峰段每度電0.6元，谷段每度電0.4元，平段每度電0.5元收取.該地區(qū)一位居民為了預(yù)估自己下個月的用電費用變化，他做了以下工作：首先，為了估計開空調(diào)與不開空調(diào)的用電量，他統(tǒng)計了過去一些天自己家的日均用電情況后得出結(jié)論：開空調(diào)時的每日用電量為10度，不開空調(diào)時的每日用電量為5度.然后，他統(tǒng)計了一天中三個時段的用電量比例，在開和不開空調(diào)的情況下分別如下圖：假設(shè)下個月一共30天，每天他開空調(diào)的概率均為p（）.（1）根據(jù)他統(tǒng)計的每日用電量數(shù)據(jù)，若下個月的某一天用電量為X度，求X的分布列和期望（用p表示）.（2）根據(jù)他統(tǒng)計的各時段用電量比例，使用分時電價計價時，若開空調(diào)時的每日平均用電費用為a元，不開空調(diào)的每日平均用電費用為b元，分別求a，b；若使用分時電價計價時下個月某一天他的用電費用為Y元，求Y的分布列和期望（用p表示）.（3）如果用階梯電價計算全月電費時，將每日用電量視為；用分時電價計算全月電費時，將每日用電費用視為.要使該居民下個月使用分時電價計價的費用不超過使用階梯電價的計價方式的費用，則p的取值范圍為多少?21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，漸近線方程為，焦點到漸近線距離為1，直線與C左右兩支分別交于P，Q，且點在雙曲線C上.記和面積分別為，，，的斜率分別為，（1）求雙曲線C的方程；（2）若，試問是否存在實數(shù)，使得，，.成等比數(shù)列，若存在，求出的值，不存在說明理由.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求證：當(dāng)時，；（2）求證：.
重慶市高2024屆高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案與評分細(xì)則一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.1-4DBDB 5-8CBAB3.D【解析】，，，故4.B【解析】由題：恒成立，易知時不滿足，時，有5.C【解析】記“兩動車相鄰”，“動車01停在A道”，則6.B【解析】由題知，易知為奇函數(shù)又和在遞增，故由7.A【解析】由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)時，方程有四個不同的根，且，由題：，，設(shè)則，令，故在遞增，在遞減，8.B【解析】由圖像可知，不成立，則，要最大，需要，；時，時不成立，則；對于取定的b，要最大需要a更大，所以只需過作的切線，切線斜率即為最大的a.設(shè)切點，則即，，所以在取得最大值二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.ABD 10.BC 11.AC 12.ABD9.ABD【解析】由于，得到關(guān)于對稱，又因為定義域為R，所以，B正確；因為是偶函數(shù)，，所以周期為4，A正確；由于周期性和奇偶性，，C錯誤；由于周期為4，在的單調(diào)性與的單調(diào)性相同，由于偶函數(shù)，在的單調(diào)性與的單調(diào)性相反，所以D正確.10.BC【解析】，А錯誤；的計算中，數(shù)據(jù)不變，也不變，所以不變，B正確；，C正確；由于，變成了，，，從而，都不變，所以，D錯誤.11.AC【解析】由可得：，故A正確設(shè)，，，由橢圓離心率為可得：，，故橢圓方程可化為：，聯(lián)立直線l方程整理得：.設(shè)，，.則有：，，又由可得：，聯(lián)立可解得：，故B錯誤由，.又為上頂點，，，，易知滿足，故C正確對于D：由前面的分析知：是以A為直角的直角三角形，故內(nèi)切圓半徑，故D錯誤12.ABD【解析】由題方程有兩不等實根，且在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故.A正確令，，則方程有兩個不等正實根，，其中，，從而有：，，又，故，故B正確，C錯誤對于D：，D正確三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.  14.  15.5.5，2035  16.13.【解析】X服從二項分布，則，所以，14.【解析】若，則不成立；若，則，，所以，時取得15.5.5 2035【解析】設(shè)2023年為第一年，第n年該廠的金屬產(chǎn)量為，截止第n年末這家冶金廠該金屬的累計總產(chǎn)量為，，，故2024年產(chǎn)量為5.5萬噸，，作差得，所以，也成立，所以，由得，，則n取13，為2035年16.【解析】設(shè)中點為，即，P在為直徑的圓上.所以只需該圓與為直徑的圓有公共點即可.設(shè)直線，聯(lián)立得解得，，所以圓心距，即可（不可能內(nèi)含）則化簡得，代入得，17.解：（1）由題意可得，解得，，因為數(shù)列的公差為3，數(shù)列的公比為2，所以，（2）由（1）知：易知在單調(diào)遞增，故，取最小值，，故成立.18.解：（1）證明：取的中點N，連結(jié)，因為，所以.因為面，面，所以.又因為，所以平面.因為點M是的中點，所以，且.所以四邊形為平行四邊形，所以，所以面，又平面，從而平面平面.（2）設(shè)點O，D分別為，的中點，連結(jié)，則，因為面，面，所以.因為，由（1）知，又因為所以，所以為正三角形，所以，因為面，所以面.故，，兩兩垂直，以點O為原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，設(shè)平面的法向量，則所以取，則，設(shè)與平面所成的角為，則，因為，所以，故與平面所成角的大小為.（2）另解：由于，所以即求與平面所成的角.又因為面，面，所以面面，而面，面面所以在面的投影為，則即為所求角.而，，所以，，則為正三角形，而N是的中點，所以，故與平面所成角的大小為. 19.解：（1），由題知，（2）不妨設(shè)，則，由題可得：，設(shè)，則：故在單調(diào)遞增，從而有：在上恒成立，設(shè)，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又，故在上最小值從而有，即20.解：（1）X的分布列為X510Pp（2）開空調(diào)時每日用電量：峰段度，谷段度，平段度，則元不開空調(diào)時每日用電量：峰段度，谷段度，平段度則元Y2.74.9Pp（3）分時電價總電費為（元）30天總用電量度時，階梯電價總電費為（元）時，階梯電價總電費為（元）所以，時，，，不成立；時，，綜上，時，下個月使用分時電價計價的費用不超過使用階梯電價的計價方式的費用.21.解：（1）由題可得，（2）由點在上可得：.聯(lián)立和整理得：設(shè)，，則有：，，又由直線交左右兩支各一點可得：到直線的距離，到直線的距離（）又，其中假設(shè)存在實數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，則有，故存在滿足題意22.解：（1）首先發(fā)現(xiàn)，而，時，，，，單減則成立；時，在時單減，，，所以存在，，在單增，單減，而，所以，又所以存在，，在單增，單減，由于所以，所以在上綜上，在恒成立得證.（2）由（（1），，所以從而兩式相加得：所以左邊得證；又由（1），，，所以從而兩式相加得：所以右邊得證.（右邊不等式另證）設(shè)先證明在成立：，，單減，則而設(shè)，構(gòu)造，可知在，單增，所以，單減，則