?2022年四川省廣元市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意．每小題3分，共30分）
1. 若實數(shù)a的相反數(shù)是-3，則a等于（　?。?br /> A. -3 B. 0 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．即可求出a的值．
【詳解】解：∵3的相反數(shù)是-3，
∴a=3．
故選：D．
【點睛】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)、相反數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的概念．
2. 如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（ ）

A. 長方體 B. 圓柱 C. 圓錐 D. 三棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)幾何體的展開圖可直接進行排除選項．
【詳解】解：由圖形可得該幾何體是圓柱；
故選B．
【點睛】本題主要考查幾何體的展開圖，熟練掌握幾何體的展開圖是解題的關(guān)鍵．
3. 下列運算正確的是（　?。?br /> A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2
C. 3y?2x2y＝6x2y2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)各個選項中的式子，可以計算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題．
【詳解】解：A、x2與x不是同類項，不能合并，該選項不符合題意；
B、（﹣3x）2=9x2原計算錯誤，該選項不符合題意；
C、3y?2x2y=6x2y2正確，該選項符合題意；
D、（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2原計算錯誤，該選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查的是合并同類項，積的乘方，同底數(shù)冪的除法，平方差公式，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
4. 如圖，直線ab，將三角尺直角頂點放在直線b上，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（　　）


A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意易得∠1+∠3=90°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：如圖，


由題意得：∠3=180°-90°-∠1=40°，
∵ab，
∴∠2=∠3＝40°，
故選C．
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及平角的意義，熟練掌握平行線的性質(zhì)及平角的意義是解題的關(guān)鍵．
5. 某藥店在今年3月份購進了一批口罩，這批口罩包括一次性醫(yī)用外科口罩和N95口罩，且兩種口罩的只數(shù)相同，其中一次性醫(yī)用外科口罩花費1600元，N95口罩花費9600元．已知一次性醫(yī)用外科口罩的單價比N95口罩的單價少10元，那么一次性醫(yī)用外科口罩的單價為多少元？設(shè)一次性醫(yī)用外科口罩單價為x元，則列方程正確的是（　　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝+10
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)該藥店購進的一次性醫(yī)用外科口罩的單價是x元，則購進N95口罩的單價是（x+10）元，利用數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合購進兩種口罩的只數(shù)相同，即可得出關(guān)于x的分式方程．
【詳解】解：設(shè)該藥店購進的一次性醫(yī)用外科口罩的單價是x元，則購進N95口罩的單價是（x+10）元，
依題意得：，
故選：B．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖是根據(jù)南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（單位：噸）繪制成的折線統(tǒng)計圖．下列結(jié)論正確的是（　?。?br />

A. 平均數(shù)是6 B. 眾數(shù)是7 C. 中位數(shù)是11 D. 方差是8
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題目要求算出平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，再作出選擇即可．
【詳解】解：A、平均數(shù)為，故選項錯誤，不符合題意；
B、眾數(shù)為5、7、11、3、9，故選項錯誤，不符合題意；
C、從小到大排列為3，5，7，9，11，中位數(shù)是7，故選項錯誤，不符合題意；
D、方差，故選項正確，符合題意；
故選∶D．
【點睛】本題考查平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的算法，熟練掌握平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的算法是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為（　?。?br />

A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用直徑所對的圓周角是直角確定∠ACB=90°，然后根據(jù)∠CAB=65°求得∠ABC的度數(shù)，利用同弧所對的圓周角相等確定答案即可．
【詳解】解：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故選：A．
【點睛】本題考查了圓周角定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解直徑所對的圓周角為直角，難度不大．
8. 如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，與AB交于點D，再分別以A、D為圓心，大于AD的長為半徑畫弧，兩弧交于點M、N，作直線MN，分別交AC、AB于點E、F，則AE的長度為（　?。?br />

A. B. 3 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意易得MN垂直平分AD，AB=10，則有AD=4，AF=2，然后可得，
進而問題可求解．
【詳解】解：由題意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴，
∴AD=4，AF=2，，
∴；
故選A．
【點睛】本題主要考查勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)及三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（　?。?br />
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．
【詳解】解：把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，如圖．

則DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．
故選：B．
【點睛】本題考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)，勾股定理，作出合適輔助線是解題關(guān)鍵．
10. 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若點A（﹣2，y1）、點B（﹣，y2）、點C（，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m為常數(shù)）．其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A. 5個 B. 4個 C. 3個 D. 2個
【答案】C
【解析】
【分析】由圖象可知，對稱軸為直線，與x軸的一個交點為，然后可得，則有，進而可判斷（1）（2）（3），最后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可進行判斷（4）（5）．
【詳解】解：由圖象及題意得：，對稱軸為直線，與x軸的一個交點為，
∴，
∴，即，
∴，故（1）（3）正確；
由圖象可知當(dāng)x=-2時，則有，即，故（2）錯誤；
∵點A（﹣2，y1）、點B（﹣，y2）、點C（，y3）在該函數(shù)圖象上，
∴根據(jù)二次函數(shù)開口向下，離對稱軸的距離越近，其所對應(yīng)的函數(shù)值越大，
∴，故（4）錯誤；
由圖象可知當(dāng)x=2時，該函數(shù)有最大值，最大值為，
∴當(dāng)x=m時，（m為常數(shù)），則有，
∴，即為，故（5）正確；
綜上所述：正確的有（1）（3）（5）共3個；
故選C．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應(yīng)題目的橫線上，每小題4分，共24分）
11. 分解因式：a3﹣4a＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)提公因式及平方差公式進行因式分解即可．
【詳解】解：原式=；
故答案為：．
【點睛】本題主要考查提公因式和公式法進行因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．
12. 石墨烯目前是世界上最薄、最堅硬的納米材料，其理論厚度僅0.00000000034米，這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為_____．
【答案】3.4×10-10
【解析】
【分析】絕對值小于1的數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪．
【詳解】

故答案為：．
【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的 0的個數(shù)決定．
13. 一個袋中裝有m個紅球，10個黃球，n個白球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一個球，摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同，那么m與n的關(guān)系是________．
【答案】m+n＝10．
【解析】
【分析】直接利用概率相同的頻數(shù)相同進而得出答案．
【詳解】∵一個袋中裝有m個紅球，10個黃球，n個白球，摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同，
∴m與n的關(guān)系是：m+n＝10．
故答案為m+n＝10．
【點睛】此題主要考查了概率公式，正確理解概率求法是解題關(guān)鍵．
14. 如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰經(jīng)過圓心O，若AB＝2，則陰影部分的面積為 _____．


【答案】##
【解析】
【分析】過點O作OD⊥AB于點D，交劣弧AB于點E，由題意易得，則有，然后根據(jù)特殊三角函數(shù)值及扇形面積公式可進行求解陰影部分的面積．
【詳解】解：過點O作OD⊥AB于點D，交劣弧AB于點E，如圖所示：


由題意可得：，
∴，
∴，
∴弓形AB面積為，
∴陰影部分的面積為；
故答案為．
【點睛】本題主要考查扇形面積、軸對稱的性質(zhì)及三角函數(shù)，熟練掌握扇形面積、軸對稱的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸負(fù)半軸上，點B在第二象限內(nèi)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過△OAB的頂點B和邊AB的中點C，如果△OAB的面積為6，那么k的值是 _____．

【答案】4
【解析】
【分析】過B作于D，設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式求得，進而得到點A的坐標(biāo)，再求得點C的坐標(biāo)，結(jié)合一次函數(shù)的解析式得到列出方程求解．
【詳解】解：過B作于D，如下圖．

∵點B在反比例函數(shù)的圖象上，
∴設(shè)．
∵的面積為6，
∴，
∴．
∵點C是AB的中點，
∴．
∵點C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴，
∴．
故答案為：4．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k幾何意義，三角形的面積公式，中點坐標(biāo)的求法，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點E與點A重合，DE＝12cm．當(dāng)點D沿DA方向滑動時，點E同時從點A出發(fā)沿射線AF方向滑動．當(dāng)點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為 _____cm．

【答案】
【解析】
【分析】由題意易得cm，則當(dāng)點D沿DA方向下滑時，得到，過點作于點N，作于點M，然后可得，進而可知點D沿DA方向下滑時，點C′在射線AC上運動，最后問題可求解．
【詳解】解：由題意得：∠DEC=45°，DE＝12cm，
∴cm，
如圖，當(dāng)點D沿DA方向下滑時，得到，過點作于點N，作于點M，

∵∠DAM=90°，
∴四邊形NAMC′是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴平分∠NAM，
即點D沿DA方向下滑時，點C′在射線AC上運動，
∴當(dāng)時，此時四邊形是正方形，CC′的值最大，最大值為，
∴當(dāng)點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為；
故答案為．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程．共96分）
17. 計算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
【答案】3
【解析】
【分析】代入特殊角的三角函數(shù)值，按照實數(shù)的混合運算法則計算即可得答案．
【詳解】解：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2
=2×-2++1-2+4
=-2++1-2+4
=3．
【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握實數(shù)的混合運算法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
18. 先化簡，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式組的整數(shù)解．
【答案】，當(dāng)x=2時，原分式的值為
【解析】
【分析】由題意先把分式進行化簡，求出不等式組整數(shù)解，根據(jù)分式有意義的條件選出合適的x值，進而代入求解即可．
【詳解】解：原式=；
由可得該不等式組的解集為：，
∴該不等式組的整數(shù)解為：-1、0、1、2，
當(dāng)x=-1，0，1時，分式無意義，
∴x=2，
∴把x=2代入得：原式=．
【點睛】本題主要考查分式的運算及一元一次不等式組的解法，要注意分式的分母不能為0．
19. 如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連接CE．

（1）求證：四邊形AECD為菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．
【答案】（1）見詳解 （2）△ABC的面積為
【解析】
【分析】（1）由題意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，則有四邊形AECD是平行四邊形，然后問題可求證；
（2）由（1）及題意易得，則有△BCE是等邊三角形，然后可得△ACB是直角三角形，則，進而問題可求解．
【小問1詳解】
證明：∵ABCD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E為AB中點，
∴，
∵，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵DA=DC，
∴四邊形AECD是菱形；
【小問2詳解】
解：由（1）知：，
∵∠D＝120°，
∴，
∵E為AB中點，
∴，
∴△BCE是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20. 為豐富學(xué)生課余活動，明德中學(xué)組建了A體育類、B美術(shù)類、C音樂類和D其它類四類學(xué)生活動社團，要求每人必須參加且只參加一類活動．學(xué)校隨機抽取八年級（1）班全體學(xué)生進行調(diào)查，以了解學(xué)生參團情況．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示）．請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息，解決下列問題：


（1）八年級（1）班學(xué)生總?cè)藬?shù)是 　 　人，補全條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖中區(qū)域C所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)為 　 ?。?br /> （2）明德中學(xué)共有學(xué)生2500人，請估算該校參與體育類和美術(shù)類社團的學(xué)生總?cè)藬?shù)；
（3）校園藝術(shù)節(jié)到了，學(xué)校將從符合條件的4名社團學(xué)生（男女各2名）中隨機選擇兩名學(xué)生擔(dān)任開幕式主持人，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40；補全條形統(tǒng)計圖見解析；90°；
（2）該校參與體育類和美術(shù)類社團的學(xué)生總?cè)藬?shù)大約有1625人；
（3）選中1名男生和1名女生擔(dān)任開幕式主持人的概率是．
【解析】
【分析】（1）利用A類人數(shù)除以所占百分比可得抽取總?cè)藬?shù)；根據(jù)總數(shù)計算出C類的人數(shù)，然后再補圖；用360°乘以C類所占的百分比，計算即可得解；
（2）利用樣本估計總體的方法計算即可；
（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好選中1名男生和1名女生的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解．
【小問1詳解】
解：抽取的學(xué)生總數(shù)：12÷30%=40（人），
C類學(xué)生人數(shù)：40-12-14-4=10（人），
補全統(tǒng)計圖如下：


扇形統(tǒng)計圖中C類所在的扇形的圓形角度數(shù)是360°×=90°；
故答案為：40；90°；
【小問2詳解】
解：2500×=1625（人），
答：該校參與體育類和美術(shù)類社團的學(xué)生總?cè)藬?shù)大約有1625人；
【小問3詳解】
（3）畫樹狀圖為：


共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中選中1名男生和1名女生擔(dān)任開幕式主持人的有8種，
所以選中1名男生和1名女生擔(dān)任開幕式主持人的概率是：．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．
21. 如圖，計劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開通穿山隧道EF．在點E處測得山頂A的仰角為45°，在距E點80m的C處測得山頂A的仰角為30°，從與F點相距10m的D處測得山頂A的仰角為45°，點C、E、F、D在同一直線上，求隧道EF的長度．


【答案】隧道EF的長度米．
【解析】
【分析】過點A作AG⊥CD于點G，然后根據(jù)題意易得AG=EG=DG，則設(shè)AG=EG=DG=x，進而根據(jù)三角函數(shù)可得出CG的長，根據(jù)線段的和差關(guān)系則有，最后問題可求解．
【詳解】解：過點A作AG⊥CD于點G，如圖所示：


由題意得：，
∴△EAD是等腰直角三角形，
∴AG=EG=DG，
設(shè)AG=EG=DG=x，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
答：隧道EF的長度米．
【點睛】本題主要考查解解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝x+b的圖像與函數(shù)（x＞0）的圖像相交于點B（1，6），并與x軸交于點A．點C是線段AB上一點，△OAC與△OAB的面積比為2：3


（1）求k和b的值；
（2）若將△OAC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點C′落在x軸正半軸上，得到△OA′C′，判斷點A′是否在函數(shù)（x＞0）的圖像上，并說明理由．
【答案】（1）b=5，k=6
（2）不在，理由見詳解
【解析】
【分析】（1）把點B的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式進行求解即可；
（2）由（1）及題意易得點C的坐標(biāo)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知點C′的坐標(biāo)，則根據(jù)等積法可得點A′的縱坐標(biāo)，進而根據(jù)三角函數(shù)可得點A′的橫坐標(biāo)，最后問題可求解．
【小問1詳解】
解：由題意得：
，
∴b=5，k=6；
【小問2詳解】
解：點A′不在反比例函數(shù)圖像上，理由如下：
過點A′作A′E⊥x軸于點E，過點C作CF⊥x軸于點F，如圖，


由（1）可知：一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為，
∴點，
∵△OAC與△OAB的面積比為2：3，且它們都以O(shè)A為底，
∴△OAC與△OAB的面積比即為點C縱坐標(biāo)與點B縱坐標(biāo)之比，
∴點C的縱坐標(biāo)為，
∴點C的橫坐標(biāo)為，
∴點C坐標(biāo)為，
∴CF=4，OF=1，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
根據(jù)等積法可得：，
∴，
∴，
∴，
∴點A′不在反比例函數(shù)圖像上．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、三角函數(shù)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、三角函數(shù)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23. 為推進“書香社區(qū)”建設(shè)，某社區(qū)計劃購進一批圖書．已知購買2本科技類圖書和3本文學(xué)類圖書需154元，購買4本科技類圖書和5本文學(xué)類圖書需282元．
（1）科技類圖書與文學(xué)類圖書的單價分別為多少元？
（2）為了支持“書香社區(qū)”建設(shè)，助推科技發(fā)展，商家對科技類圖書推出銷售優(yōu)惠活動（文學(xué)類圖書售價不變）：購買科技類圖書超過40本但不超過50本時，每增加1本，單價降低1元；超過50本時，均按購買50本時的單價銷售．社區(qū)計劃購進兩種圖書共計100本，其中科技類圖書不少于30本，但不超過60本．按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準(zhǔn)備多少購書款？
【答案】（1）科技類圖書的單價為38元，文學(xué)類圖書的單價為26元．
（2）社區(qū)至少要準(zhǔn)備2700元購書款．
【解析】
【分析】（1）設(shè)科技類圖書的單價為x元，文學(xué)類圖書的單價為y元，然后根據(jù)題意可列出方程組進行求解；
（2）設(shè)社區(qū)需要準(zhǔn)備w元購書款，購買科技類圖書m本，則文學(xué)類圖書有（100-m）本，由（1）及題意可分當(dāng)時，當(dāng)時及當(dāng)時，進而問題可分類求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)科技類圖書的單價為x元，文學(xué)類圖書的單價為y元，由題意得：
，解得：；
答：科技類圖書的單價為38元，文學(xué)類圖書的單價為26元．
【小問2詳解】
解：設(shè)社區(qū)需要準(zhǔn)備w元購書款，購買科技類圖書m本，則文學(xué)類圖書有（100-m）本，由（1）可得：
①當(dāng)時，則有：，
∵12＞0，
∴當(dāng)m=30時，w有最小值，即為；
②當(dāng)時，則有：，
∵-1＜0，對稱軸為直線，
∴當(dāng)時，w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m=50時，w有最小值，即為；
③當(dāng)時，此時科技類圖書的單價為（元），則有，
∵2＞0，
∴當(dāng)m=51時，w有最小值，即為；
綜上所述：社區(qū)至少要準(zhǔn)備2700元的購書款．
【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，注意分類討論．
24. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E是邊BC的中點，連結(jié)DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O半徑．
【答案】（1）見詳解 （2）
【解析】
【分析】（1）連接OD，OE，由題意易得OE∥AB，∠A=∠ODA，則有∠A=∠COE=∠DOE=∠ODA，然后可得△COE≌△DOE，進而問題可求證；
（2）連接CD，由題意易得∠ADC=90°，然后可證△ADC∽△CDB，則有，進而可得CD=6，最后利用勾股定理可求解．
【小問1詳解】
證明：連接OD，OE，如圖所示：

∵，
∴∠A=∠ODA，
∵點E是邊BC的中點，
∴OE∥AB，
∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，
∴∠DOE=∠COE，
∵，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝∠ACB＝90°，
∴DE是⊙O的切線；
【小問2詳解】
解：連接CD，如圖所示：

∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ADC∽△CDB，
∴，即，
∵AD＝4，BD＝9，
∴，
∴，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：，
∴⊙O的半徑為．
【點睛】本題主要考查切線的判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握切線的判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
25. 在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．


（1）如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為 　 ??；
（2）將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r
①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；
②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）135°
（2）（2）①補全圖形見解析；∠ADB=45°；②2BE-AD=CE．理由見解析
【解析】
【分析】（1）由題意得點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解；
（2）①根據(jù)題意補全圖形即可；同（1），利用圓周角定理即可求解；
②過點C作CH⊥EC于點C，交ED的延長線于點H，證明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．
【小問1詳解】
解：由題意得：CA=CD=CB，
∴點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，如圖，


在優(yōu)弧上取點G，連接AG，BG，
∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，
∴∠BGA=45°，
∵四邊形ADBG是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADB=180°-45°=135°，
故答案為：135°；
小問2詳解】
①補全圖形，如圖：


由題意得：CA=CD=CB，
∴點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，如圖，


∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，
∴∠ADB=45°；
②2BE-AD=CE．理由如下：
過點C作CH⊥EC于點C，交ED的延長線于點H，如圖：


∵CD=CB，CE是∠BCD的平分線，
∴CE是線段BD的垂直平分線，
∴BE=DE，∠EFD=90°，
由①知∠ADB=45°，
∴∠DEF=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA，則∠CAE=∠CDH，
∴△AEC≌△DHC，
∴AE=DH，
∴EH=2ED-AD=2BE-AD，
∵△CEH是等腰直角三角形，
∴2BE-AD=CE．
【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形和等腰直角三角形解決問題．
26. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．
　　

（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；
（2）當(dāng)a＝時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△PAB周長的最小值；
（3）當(dāng)a＝1時，若點Q是直線AB下方拋物線上的一個動點，過點Q作QD⊥AB于點D，當(dāng)QD的值最大時，求此時點Q的坐標(biāo)及QD的最大值．
【答案】（1）2a=b+1，c=-2；
（2）△PAB的周長最小值是2+2；
（3）此時Q（-1，-2），DQ最大值為．
【解析】
【分析】（1）先求得點A、點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先利用對稱性找出△PAB周長最小時點P的位置，此時AP=CP，△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，根據(jù)勾股定理求出AB、BC的長即可求出△PAB最小值；
（3）過點Q作QF⊥x軸交于F點，交直線AB于點E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
解：∵直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A的坐標(biāo)為(-2，0)，點B的坐標(biāo)為(0，-2)，
∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點，
∴，
∴2a=b+1，c=-2；
【小問2詳解】
解：當(dāng)a=時，則b=-，
∴拋物線的解析式為y=x2-x-2，
拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵點A的坐標(biāo)為(-2，0)，
∴點C的坐標(biāo)為(4，0) ，

△PAB的周長為：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴當(dāng)PB+PA最小時，△PAB的周長最小，
∵點A、C關(guān)于直線x=1對稱，
∴連接BC交直線x=1于點P，此時PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2，AB=2，
∴△PAB的周長最小值是：2+2．
【小問3詳解】
解：當(dāng)a=1時，b=1，
∴拋物線的解析式為y=x2+x-2，
過點Q作QF⊥x軸交于F點，交直線AB于點E，

∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED=EQ，
設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），　
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，
當(dāng)t=-1時，DQ有最大值，此時Q（-1，-2）．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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