“線段最值”問題是中考的熱點問題(每年必考),題型多樣,變化靈活,綜合性強,考查的知識點眾多,涉及多種數(shù)學思想、方法和技能技巧,對學生的各種能力要求較高,一般都是各題型的壓軸題,拉分題. 深刻理解把握這一問題的基本原理、解決策略,利于我們把握中考方向,在教學實踐中才能做到有的放矢,提高教學的針對性、有效性.
其他PA+PB+PC型
①兩點之間,線段最短;
③三角形兩邊之和大于第三邊.
②點線之間,垂線段最短;
④平行線之間,垂線段最短
復雜的幾何最值問題都是在基本圖形的基礎上進行變式得到的,在解決這一類問題的時候,常常需要通過幾何變換進行轉化,逐漸轉化為“基本圖形”,再運用“基本圖形”的知識解決.常運用的典型幾何變換有: (1)翻折---將軍飲馬; (2)平移---造橋選址; (3)旋轉---費馬點問題; (4)相似---阿氏圓問題; (5)三角---胡不歸問題; (6)多變換綜合運用。
1.分析定點、動點,尋找不變特征; 2.確定路徑(關鍵):通過起點、終點、特殊點猜測運動路徑(軌跡), 并結合不變特征進行驗證; 3.①若屬于常見模型,調用模型解決問題; ②若不屬于常見模型,要結合所求目標, 根據(jù)不變特征轉化為基本定理或函數(shù)解決問題. 4.設計方案,求出路徑長.
1.如圖,A,B兩點在直線l同側,在l上找一點P,使|PA-PB|最小.
4.如圖,在直線l兩側有A,B兩點,在l上找一點P,使|PA-PB|最大.
2.如圖,A,B兩點在直線l兩側,在l上找一點P,使|PA-PB|最小.
3.如圖,在直線l同側有A,B兩點,在l上找一點P,使|PA-PB|最大.
【例1】如圖,已知二次函數(shù)y=x2+4x-5的圖象及對稱軸,請用無刻度直尺按下列要求作圖.(1)在圖1中作點P(-4,-5);(2)已知點P(-4,-5),在圖2中的對稱軸上作一點Q,使QC-QA的值最大.
利用將軍飲馬求線的和的最值問題
利用軸對稱或梯形四點共線作圖
【引例】如圖,一位將軍騎馬從駐地A出發(fā),先牽馬去河邊MN喝水,再回到駐地B.這位將軍怎樣走路程最短?
將軍沿A-P-B走路程最短.
圖形特征: 適用模型:基本策略:基本方法:基本原理:解題關鍵:
同側化異側、折線化直線;
N個動點N條河,N次對稱跑不脫;
圖形特征:兩定一動;適用模型:將軍飲馬;基本策略:同側化異側、折線化直線;基本方法:N個動點N條河,N次對稱跑不脫;基本原理:兩點之間線段最短;解題關鍵:根據(jù)結論抓點、線.
PA+PB=_______.
PA+PB=_______=____.
【引例1】如圖,A,B均為駐地,將軍某一天要從駐地A出馬,先到草地邊某處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到駐地B,這位怎樣走路程最短?
將軍沿A-C-D-B走路程最短
圖形特征:兩定兩動;適用模型:將軍遛馬(臺球兩次碰壁);基本策略:同側化異側、折線化直線;基本方法:N個動點N條河,N次對稱跑不脫;基本原理:兩點之間線段最短;解題關鍵:根據(jù)結論抓點、線.
【引例2】如圖,一位將軍騎馬從駐地A出發(fā),先牽馬去草地OM吃草,再牽馬去河邊ON喝水,最后回到駐地A.這位怎樣走路程最短?
將軍沿A-B-C-A走路程最短
圖形特征:兩定兩動;適用模型:將軍遛馬;基本策略:同側化異側、折線化直線;基本方法:N個動點N條河,N次對稱跑不脫;基本原理:兩點之間線段最短;解題關鍵:根據(jù)結論抓點、線.
【例3-1】如圖,點A(a,3)B(b,1)都在雙曲線 上,點C,D分別是x軸,y軸上的動點,則四邊形ABCD周長的最小值為( ) A. B. C. D.
1.(1)如圖①,在AB直線一側C,D兩點,在AB上找一點P,使C,D,P三點組成的三角形的周長最短,找出此點并說明理由.(2)如圖②,在∠AOB內部有一點P,是否在OA,OB上分別存在點E,F,使得E,F,P三點組成的三角形的周長最短,并說明理由.(3)如圖③,在∠AOB內部有兩點M,N,是否在OA,OB上分別存在點E,F,使得E,F,M,N,四點組成的四邊形的周長最短,并說明理由.
2.如圖,拋物線y=0.5x2-4x+4與y軸交于點A,點B是OA的中點.一個動點G從點B出發(fā),先經(jīng)過x軸上的點M,再經(jīng)過拋物線對稱軸上的點N,然后返回到點A.如果動點G走過的路程最短為____,則點M、N的坐標為________________,
M(8/3,0)N(4,1)
【引例】“變態(tài)的將軍飲馬”--- 造橋選址問題 將軍每日需騎馬從軍營A出發(fā),去河對岸的瞭望臺B觀測敵情,已知河流的寬度為30米,請問,在何地修浮橋,使每日的行程最短?
如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從A到B的路徑是AM+MN+BN,那么怎樣確定什么情況下最短呢?
我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉化到一側呢?什么圖形變換能幫助我們?
圖形特征:兩定兩動;適用模型:造橋選址;基本方法:將一定點沿定長方向平移定長距離, 再用將軍飲馬模型解決問題;基本原理:兩點之間線段最短;解題關鍵:根據(jù)結論抓點、線.
如圖,荊州古城河在CC′處直角轉彎,河寬相同,從A處到B處,須經(jīng)兩座橋:DD′,EE′(橋寬不計),設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的,怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短?
【例4-1】如圖,菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=60o,M,N是AC上兩動點,且MN=2,則BM+BN的最小值為_____.
【例4-2】在矩形ABCD,AB=6,BC=8,G為AD的中點.如圖,E,F為邊AB上的兩個動點,且EF=4,當四邊形CGEF的周長最小時,則AF=___.
1.已知A(1,1),B(4,2),(1)點P為x軸上一動點,求|PA-PB|的值最大時P點的坐標;(2)點P為x軸上一動點,求PA+PB的最小值和此時P點的坐標;(3)CD為x軸上一條動線段,且CD=1,求AC+CD+DB的最小值和此時C點的坐標.
PA+PB的最小值為 ,
AC+CD+DB的最小值為 ,
【例5】如圖,在Rt△ABC中∠ACB=90o,AC=6,BC=8,AD平分∠CAB交BC于D點,E,F分別是AD,AC上的動點,則CE+EF的最小值為_____.
圖形特征: 基本策略:基本原理:解題關鍵:
1.如圖,△ABC為等邊三角形,邊長為6,AD⊥BC,垂足為點D,點E和點F分別是線段AD和AB上的兩個動點,連接CE,EF,則CE+EF的最小值為____.2.如圖,∠BAC=30o,M為AC上一點,AM=2,點P是AB上的一動點,PQ⊥AC,垂足為點Q,則PM+PQ的最小值為____.
將軍飲馬:這個將軍飲的不是馬,是數(shù)學!解題依據(jù):兩點間線段最短;點到直線的垂直距離最短;翻折,對稱.解題策略:對稱、翻折→化同為異;化異為同;化折為直.口 訣:和與差,求最值,將軍飲馬七模型!
兩村一路(異側)和最小
兩村一路(同側)差最大
兩村一路(異側)差最大
兩村一路(同側)和最小

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