?專題17多邊形與平行四邊形（共33題）
姓名：__________________ 班級(jí)：______________ 得分：_________________
一、單選題
1．（2021·湖南岳陽(yáng)市·中考真題）下列命題是真命題的是（ ）
A．五邊形的內(nèi)角和是 B．三角形的任意兩邊之和大于第三邊
C．內(nèi)錯(cuò)角相等 D．三角形的重心是這個(gè)三角形的三條角平分線的交點(diǎn)
【答案】B
【分析】
根據(jù)相關(guān)概念逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】
A、五邊形的內(nèi)角和是，故原命題為假命題，不符合題意；
B、三角形的任意兩邊之和大于第三邊，原命題是真命題，符合題意；
C、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題為假命題，不符合題意；
D、三角形的重心是這個(gè)三角形的三條中線的交點(diǎn)，故原命題為假命題，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查命題判斷，涉及多邊形的內(nèi)角和，三角形的三邊關(guān)系，平行線的性質(zhì)，以及三角形的重心等，熟記基本性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．
2．（2021·四川眉山市·中考真題）正八邊形中，每個(gè)內(nèi)角與每個(gè)外角的度數(shù)之比為（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【答案】D
【分析】
根據(jù)正八邊形的外角和等于360°，求出每個(gè)外角的度數(shù)，再求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
解：正八邊形中，每個(gè)外角=360°÷8=45°，每個(gè)內(nèi)角=180°-45°=135°，
∴每個(gè)內(nèi)角與每個(gè)外角的度數(shù)之比=135°：45°=3：1，
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和外角，熟練掌握正多邊形的外角和等于360°，是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·湖南衡陽(yáng)市·中考真題）下列命題是真命題的是（ ）．
A．正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和 B．正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為
C．有一個(gè)角是的三角形是等邊三角形 D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形
【答案】B
【分析】
根據(jù)多邊形外角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，即可得到答案．
【詳解】
正六邊形的外角和，和正五邊形的外角和相等，均為
∴選項(xiàng)A不符合題意；
正六邊形的內(nèi)角和為：
∴每一個(gè)內(nèi)角為，即選項(xiàng)B正確；
三個(gè)角均為的三角形是等邊三角形
∴選項(xiàng)C不符合題意；
對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
∴選項(xiàng)D不正確；
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形外角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形外角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的性質(zhì)，從而完成求解．
4．（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，AC是正五邊形ABCDE的對(duì)角線，的度數(shù)是（ ）

A．72° B．36° C．74° D．88°
【答案】A
【分析】
根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，利用角的和差即可求解．
【詳解】
解：∵ABCDE是正五邊形，
∴，，
∴,
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查正五邊形的性質(zhì)，求出正五邊形內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．
【詳解】
解：連接BD，∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，
故選D．

【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．
6．（2021·四川資陽(yáng)市·中考真題）下列命題正確的是（ ）
A．每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形
B．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C．過(guò)線段中點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線
D．三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分
【答案】B
【分析】
分別根據(jù)正多邊形的判定、平行四邊形的判定、線段垂直平分線的判定以及三角形中線的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：A.每個(gè)內(nèi)角都相等，各邊都相等的多邊形是正多邊形，故選項(xiàng)A的說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B. 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,說(shuō)法正確，故選項(xiàng)B符合題意；
C. 過(guò)線段中點(diǎn)且垂直這條線段的直線是線段的垂直平分線，故選項(xiàng)C的說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
D. 三角形的中位線將三角形的面積分成1∶3兩部分，故選項(xiàng)D的說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了對(duì)正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷以及三角形中線性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，熟練掌握正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷是解答此題的關(guān)鍵．
7．（2021·安徽中考真題）在中，，分別過(guò)點(diǎn)B，C作平分線的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E，BC的中點(diǎn)是M，連接CD，MD，ME．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
設(shè)AD、BC交于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，連接EF．延長(zhǎng)AC與BD并交于點(diǎn)G．由題意易證，從而證明ME為中位線，即，故判斷B正確；又易證，從而證明D為BG中點(diǎn)．即利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可求出，故判斷C正確；由、和可證明．再由、和可推出 ，即推出，即，故判斷D正確；假設(shè)，可推出，即可推出．由于無(wú)法確定的大小，故不一定成立，故可判斷A錯(cuò)誤．
【詳解】
如圖，設(shè)AD、BC交于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，連接EF．延長(zhǎng)AC與BD并交于點(diǎn)G．

∵AD是的平分線，，，
∴HC=HF，
∴AF=AC．
∴在和中，，
∴，
∴，∠AEC=∠AEF=90°，
∴C、E、F三點(diǎn)共線，
∴點(diǎn)E為CF中點(diǎn)．
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴ME為中位線，
∴，故B正確，不符合題意；
∵在和中，，
∴，
∴，即D為BG中點(diǎn)．
∵在中，，
∴，
∴，故C正確，不符合題意；
∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵AD是的平分線，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故D正確，不符合題意；
∵假設(shè)，
∴，
∴在中，．
∵無(wú)法確定的大小，故原假設(shè)不一定成立，故A錯(cuò)誤，符合題意．
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，較難．正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（ ）

A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
【答案】B
【分析】
由三角形的中位線定理可得DE=BC，DE∥BC，可證△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】
解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE=3，
∴S△ABC=12，
∴四邊形BDEC的面積=12-3=9(cm2)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2021·天津中考真題）如圖，的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)平行四邊形性質(zhì)以及點(diǎn)的平移性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2，-2)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，-2)，
∴點(diǎn)B到點(diǎn)C為水平向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴A到D也應(yīng)向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，1)，
故選:C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及平移的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟知點(diǎn)的平移特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
10．（2021·四川瀘州市·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于點(diǎn)E，∠D=58°，則∠AEC的大小是（ ）

A．61° B．109° C．119° D．122°
【答案】C
【分析】
根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到對(duì)邊平行，再利用平行的性質(zhì)求出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：AE平分∠BAD求，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即可得到答案．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴，
∴
∵AE平分∠BAD
∴
∵
∴
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，能利用平行四邊形的性質(zhì)找到角與角的關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵．
11．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論成立的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出△AEO≌△CFO，從而進(jìn)行分析即可．
【詳解】
∵點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，A選項(xiàng)成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，
則AE不一定等于BF，B選項(xiàng)不一定成立；
若，則DO=DC，
由題意無(wú)法明確推出此結(jié)論，C選項(xiàng)不一定成立；
由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
則∠CFE不一定等于∠DEF，D選項(xiàng)不一定成立；
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的性質(zhì)，理解基本性質(zhì)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
12．（2021·浙江寧波市·中考真題）如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的，相鄰紙片之間互不重疊也無(wú)縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為，另兩張直角三角形紙片的面積都為，中間一張矩形紙片的面積為，與相交于點(diǎn)O．當(dāng)?shù)拿娣e相等時(shí)，下列結(jié)論一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)△AED和△BCG是等腰直角三角形，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，點(diǎn)O是矩形HEFG的中心，設(shè)AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥EF于點(diǎn)P，OQ⊥GF于點(diǎn)Q，可得出OP，OQ分別是△FHE和△EGF的中位線，從而可表示OP，OQ的長(zhǎng)，再分別計(jì)算出，，進(jìn)行判斷即可
【詳解】
解：由題意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，
∴
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，
∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF
∴AE=DE=BG=CG
∵四邊形HEFG是矩形
∴GH=EF，HE=GF
設(shè)AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c
過(guò)點(diǎn)O作OP⊥EF于點(diǎn)P，OQ⊥GF于點(diǎn)Q，

∴OP//HE，OQ//EF
∵點(diǎn)O是矩形HEFG的對(duì)角線交點(diǎn)，即HF和EG的中點(diǎn)，
∴OP，OQ分別是△FHE和△EGF的中位線，
∴，
∵

∵
∴，即
而，

所以，，故選項(xiàng)A符合題意，

∴，故選項(xiàng)B不符合題意，
而于都不一定成立，故都不符合題意，
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出S1，S2，S3之間的關(guān)系．

第II卷（非選擇題）
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二、填空題
13．（2021·浙江麗水市·中考真題）一個(gè)多邊形過(guò)頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為，則原多邊形的邊數(shù)是__________．
【答案】6或7
【分析】
求出新的多邊形為6邊形，則可推斷原來(lái)的多邊形可以是6邊形，可以是7邊形．
【詳解】
解：由多邊形內(nèi)角和，可得
（n-2）×180°=720°，
∴n=6，
∴新的多邊形為6邊形，
∵過(guò)頂點(diǎn)剪去一個(gè)角，
∴原來(lái)的多邊形可以是6邊形，也可以是7邊形，
故答案為6或7．
【點(diǎn)睛】
本題考查多邊形的內(nèi)角和；熟練掌握多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（2021·湖北黃岡市·中考真題）正五邊形的一個(gè)內(nèi)角是_____度．
【答案】108
【分析】
根據(jù)正多邊形的定義、多邊形的內(nèi)角和公式即可得．
【詳解】
解：正五邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，
故答案為：108．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形的內(nèi)角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．
15．（2021·陜西中考真題）正九邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】140°
【分析】
正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，每個(gè)外角也相等，而每個(gè)內(nèi)角等于減去一個(gè)外角，求出外角即可求解．
【詳解】
正多邊形的每個(gè)外角 （為邊數(shù)），
所以正九邊形的一個(gè)外角
正九邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為
故答案為：140°．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是多邊形的內(nèi)角和，多邊形的外角和為，正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，通過(guò)計(jì)算1個(gè)外角的度數(shù)來(lái)求得1個(gè)內(nèi)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．
16．（2021·湖南中考真題）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)都是60°，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為_(kāi)_____．
【答案】720°
【分析】
多邊形的外角和計(jì)算公式為：邊數(shù)×外角的度數(shù)=360°，根據(jù)公式即可得出多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出它的內(nèi)角和，n邊形內(nèi)角和等于(n-2) ×180°．
【詳解】
解：∵任何多邊形的外角和是360°，此正多邊形每一個(gè)外角都為60°，邊數(shù)×外角的度數(shù)=360°，
∴n=360°÷60°=6，
∴此正多邊形的邊數(shù)為6，
則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為(n-2) ×180°，
(6-2)×180°=720°，
故答案為720°．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了多邊形內(nèi)角和及外角和定理，熟知“任何多邊形的外角和是360°，n邊形內(nèi)角和等于(n-2) ×180°”是解題的關(guān)鍵．
17．（2021·四川廣安市·中考真題）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是______．
【答案】8
【詳解】
解：設(shè)邊數(shù)為n，由題意得，
180（n-2）=3603
解得n=8.
所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8.
18．（2021·浙江中考真題）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個(gè)如圖所示的正五角星（是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)），則圖中的度數(shù)是_______度．

【答案】36
【分析】
根據(jù)題意，得五邊形（是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)）為正五邊形，且；根據(jù)多邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得正五邊形內(nèi)角和，從而得；再根據(jù)補(bǔ)角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．
【詳解】
∵正五角星（是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)）
∴五邊形（是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)）為正五邊形，且

∴正五邊形內(nèi)角和為：
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為：36．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形、多邊形內(nèi)角和、補(bǔ)角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形、多邊形內(nèi)角和、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解．
19．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)E在上，且平分，若，，則的面積為_(kāi)_______．

【答案】50
【分析】
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，利用直角三角形的性質(zhì)求出EF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】
解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF=BE=5，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四邊形ABCD的面積===50，
故答案為：50．

【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊，知識(shí)點(diǎn)較多，但難度不大，圖形特征比較明顯，作出輔助線構(gòu)造直角三角形求出EF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
20．（2021·云南中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F，若，則的長(zhǎng)是______．

【答案】9
【分析】
根據(jù)中位線定理得到DE=AB，DE∥AB，從而證明△DEF∽△ABF，得到，求出EF，可得BE．
【詳解】
解：∵點(diǎn)D，E分別為BC和AC中點(diǎn)，
∴DE=AB，DE∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴，
∵BF=6，
∴EF=3，
∴BE=6+3=9，
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線的性質(zhì)證明△DEF∽△ABF．
21．（2021·重慶中考真題）如圖，中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，連接AD，將沿直線AD翻折至所在平面內(nèi)，得，連接，分別與邊AB交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)O．若，，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．

【答案】3
【分析】
利用翻折的性質(zhì)可得推出是的中位線，得出，再利用得出AO的長(zhǎng)度，即可求出AD的長(zhǎng)度．
【詳解】
由翻折可知
∴O是的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】
本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2021·湖南邵陽(yáng)市·中考真題）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，連接DE、EF、DF，若△ABC的周長(zhǎng)為10，則△DEF的周長(zhǎng)為_(kāi)______________．

【答案】5
【詳解】
解：根據(jù)三角形的中位線定理可得DE=AC，EF=AB，DF=BC
所以△DEF的周長(zhǎng)為△ABC的周長(zhǎng)的一半，即△DEF的周長(zhǎng)為5
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】
本題考查三角形的中位線定理．
23．（2021·浙江嘉興市·中考真題）如圖，在中，對(duì)角線，BD交于點(diǎn)O,，于點(diǎn)，若AB=2，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________________．


【答案】
【分析】
根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求得AO的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解．
【詳解】
解：∵，，AB=2
∴在Rt△ABC中，AC=
∴在中，AO=
在Rt△ABO中，BO=
∵，
∴
又∵
∴
∴，
解得：AH=
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解直角三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．
24．（2021·山東臨沂市·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，將沿軸向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是___．
【答案】（4，-1）
【分析】
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)得到C1坐標(biāo)．
【詳解】
解：在平行四邊形ABCD中，
∵對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（-1，1），B（2，1），
∴C（1，-1），
將平行四邊形ABCD沿x軸向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴C1（4，-1），
故答案為：（4，-1）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．
25．（2021·浙江麗水市·中考真題）小麗在“紅色研學(xué)”活動(dòng)中深受革命先烈事跡的鼓舞，用正方形紙片制作成圖1的七巧板，設(shè)計(jì)拼成圖2的“奔跑者”形象來(lái)激勵(lì)自己．已知圖1正方形紙片的邊長(zhǎng)為4，圖2中，則“奔跑者”兩腳之間的跨度，即之間的距離是__________．

【答案】
【分析】
先根據(jù)圖1求EQ與CD之間的距離，再求出BQ，即可得到之間的距離= EQ與CD之間的距離+BQ．
【詳解】
解：過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BM，則

根據(jù)圖1圖形EQ與CD之間的距離=
由勾股定理得：，解得：；
，解得：
∵
∴
∵EQ⊥BM，
∴
∴
∴之間的距離= EQ與CD之間的距離+BQ
故答案為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線間的距離、勾股定理、平行線所分得線段對(duì)應(yīng)成比例相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，能利用數(shù)形結(jié)合法找到需要的數(shù)據(jù)是解答此題的關(guān)鍵．
26．（2021·浙江金華市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC及四邊形②的邊CD都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上．若“貓”尾巴尖A的橫坐標(biāo)是1，則“貓”爪尖F的坐標(biāo)是___________．

【答案】
【分析】
設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為2a，則大等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為，中等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為a，小等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，平行四邊形的長(zhǎng)邊為a，短邊為，用含有a的代數(shù)式表示點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，表示點(diǎn)F的坐標(biāo)，確定a值即可.
【詳解】
設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為2a，則大等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為，中等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為a，小等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，平行四邊形的長(zhǎng)邊為a，短邊為，如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G, 點(diǎn)F作FH⊥y軸，垂足為H, 過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥x軸，垂足為Q,延長(zhǎng)大等腰直角三角形的斜邊交x軸于點(diǎn)N，交FH于點(diǎn)M，
根據(jù)題意，得OC==，CD=a,DQ=，
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,
∴+a+=1，
∴a=；

根據(jù)題意，得FM=PM=，MH=，
∴FH==；
∴MT=2a-，BT=2a-,
∴TN=-a，
∴MN=MT+TN=2a-+-a==，
∵點(diǎn)F在第二象限，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-，）
故答案為：（-，）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了七巧板的意義，合理設(shè)出未知數(shù)，用未知數(shù)表示各個(gè)圖形的邊長(zhǎng)，點(diǎn)ＡＡ的橫坐標(biāo)，點(diǎn)Ｆ的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

三、解答題
27．（2021·四川廣安市·中考真題）下圖是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上.要求以為邊畫一個(gè)平行四邊形，且另外兩個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)谙旅娴木W(wǎng)格圖中畫出4種不同的設(shè)計(jì)圖形．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】
將點(diǎn)A沿任意方向平移到另一格點(diǎn)處，然后將點(diǎn)B也按相同的方法平移，最后連接點(diǎn)A、B及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可．
【詳解】
解：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
28．（2021·重慶中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC，且．請(qǐng)用尺規(guī)完成基本作圖：作出的角平分線與BC交于點(diǎn)E．連接BD交AE于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，猜想線段BF和線段DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（尺規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】作圖見(jiàn)解析，猜想：DF=3BF，證明見(jiàn)解析．
【分析】
根據(jù)角平分線的作法作出的角平分線即可；由平行四邊形的性質(zhì)可得出.,由AC=2AB得出AO=AB，由等腰三角形的性質(zhì)得出，從而可得出結(jié)論．
【詳解】
解：如圖，AE即為的角平分線，

猜想：DF=3BF
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AO=CO，BO=DO
∴
∵AC=2AB
∴AO=AB
∵AE是的角平分線
∴
∴
∴．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
29．（2021·浙江麗水市·中考真題）如圖，在的方格紙中，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫圖．

（1）如圖1，畫出一條線段，使在格點(diǎn)上；
（2）如圖2，畫出一條線段，使互相平分，均在格點(diǎn)上；
（3）如圖3，以為頂點(diǎn)畫出一個(gè)四邊形，使其是中心對(duì)稱圖形，且頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)“矩形對(duì)角線相等”畫出圖形即可；
（2）根據(jù)“平行四邊形對(duì)角線互相平分”，找出以AB對(duì)角線的平行四邊形即可畫出另一條對(duì)角線EF；
（3）畫出平行四邊形ABPQ即可．
【詳解】
解：（1）如圖1，線段AC即為所作；
（2）如圖2，線段EF即為所作；
（3）四邊形ABPQ為所作；

【點(diǎn)睛】
本題考查作圖-復(fù)雜作圖，矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
30．（2021·重慶中考真題）如圖，在中，AB>AD．

（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分線交AB于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖形中，連接DE交CF于點(diǎn)P，猜想△CDP按角分類的類型，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）直角三角形，理由見(jiàn)解析
【分析】
（1）直接利用角平分線的作法得出符合題意的答案；
（2）先證明∠ADE=∠CDE，再利用平行線的性質(zhì)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，得出∠CPD=90即可得出答案．
【詳解】
解：（1）解：如圖所示：E，F(xiàn)即為所求；

（2）△CDP是直角三角形．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∴∠CED=∠ADE=∠ADC．
∵CP平分∠BCD，
∴∠DCP=∠BCD，
∴∠CDE+∠DCP=90°．
∴∠CPD=90°．
∴△CDP是直角三角形．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了基本作圖以及平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
31．（2021·四川成都市·中考真題）在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)M，求的長(zhǎng)；
（3）如圖3，連接，直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值為1
【分析】
（1）根據(jù)題意利用勾股定理可求出AC長(zhǎng)為4．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，最后由等腰三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．
（2）作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E．由旋轉(zhuǎn)可得，．再由平行線的性質(zhì)可知，即可推出，從而間接求出，．由三角形面積公式可求出．再利用勾股定理即可求出，進(jìn)而求出．最后利用平行線分線段成比例即可求出的長(zhǎng)．
（3）作且交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接．由題意易證明，
，，即得出．再由平行線性質(zhì)可知，即得出，即可證明，由此即易證，得出，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．從而證明DE為的中位線，即．即要使DE最小，最小即可．根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，且最小值即為，由此即可求出DE的最小值．
【詳解】
（1）在中，．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，即為等腰三角形．
∵，即，
∴，
∴．
（2）如圖，作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E．

由旋轉(zhuǎn)可得，．
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵，即，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∵，
∴，即，
∴．
（3）如圖，作且交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接．
∵，
∴，
∵，即，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴在和中 ，
∴，
∴，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．
∵點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，
∴DE為的中位線，
∴，
即要使DE最小，最小即可．
根據(jù)圖可知，即當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，且最小值為．
∴此時(shí)，即DE最小值為2．

【點(diǎn)睛】
本題為旋轉(zhuǎn)綜合題．考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，綜合性強(qiáng)，為困難題．正確的作出輔助線為難點(diǎn)也是解題關(guān)鍵．
32．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF與BA、DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F．
（1）求證：AE＝CF；
（2）請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形BFDE是菱形，并說(shuō)明理由．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明，則可得到AE＝CF；
（2）連接BF，DE，由，得到OE= OF，又AO=CO，所以四邊形AECF是平行四邊形，則根據(jù)EF⊥BD可得四邊形BFDE是菱形．
【詳解】
證明：（1）∵四邊形是平行四邊形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中

∴
∴AE＝CF
（2）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BFDE是菱形，理由如下：
如圖：連結(jié)BF，DE

∵四邊形是平行四邊形
∴OB＝OD
∵
∴
∴四邊形是平行四邊形
∵EF⊥BD，
∴四邊形是菱形
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)，能全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
33．（2021·浙江紹興市·中考真題）問(wèn)題：如圖，在中，，，，的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的長(zhǎng)．
答案：．
探究：（1）把“問(wèn)題”中的條件“”去掉，其余條件不變．
①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求AB的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求EF的長(zhǎng)．
（2）把“問(wèn)題”中的條件“，”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求的值．

【答案】（1）①10；②5；（2），，
【分析】
（1）①利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義先分別求出，，即可完成求解；
②證明出即可完成求解；
（2）本小題由于E、F點(diǎn)的位置不確定，故應(yīng)先分情況討論，再根據(jù)每種情況，利用 ，以及點(diǎn) C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等建立相等關(guān)系求解即可．
【詳解】
（1）①如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，
，
．
平分，
．
．
．
同理可得：．
點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，
．


②如圖2，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，
同理可證，
∴?ABCD 是菱形，
，
點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，
．

（2）情況1，如圖3，
可得，
．

情況2，如圖4，
同理可得，，
又，
．

情況3，如圖5，
由上，同理可以得到，
又，
．

綜上：的值可以是，，．
【點(diǎn)睛】
本題屬于探究型應(yīng)用題，綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、菱形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確畫出圖形，建立相等關(guān)系求解等，本題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的分析能力，本題涉及到的思想方法有分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想等．

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