?考點(diǎn)30 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和10種常見考法歸類


考點(diǎn)一 利用等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)
考點(diǎn)二 等比數(shù)列中an與Sn的關(guān)系
考點(diǎn)三 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
考點(diǎn)四 等比數(shù)列的證明
考點(diǎn)五 等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用
(一)等比中項(xiàng)的應(yīng)用
(二)利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算
考點(diǎn)六 等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用
(一)等比數(shù)列的片段和性質(zhì)的應(yīng)用
(二)等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)
考點(diǎn)七 等比數(shù)列的單調(diào)性與最值問題
考點(diǎn)八 等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
考點(diǎn)九 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題
考點(diǎn)十 等比數(shù)列與其他知識的交匯

1. 等比數(shù)列的概念
(1)等比數(shù)列的定義:一般地,如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即=q(n∈N*),或=q(n∈N*,n≥2).
注:(1)定義的符號表示:=q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*);(2)定義強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”,因?yàn)榈谝豁?xiàng)沒有前一項(xiàng);(3)比必須是同一個常數(shù);(4)等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都不能為0;(5)公比可以為正數(shù)、負(fù)數(shù),但不能為0.
(2) 等比中項(xiàng):如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng),此時,G2=ab.
注:兩個同號的實(shí)數(shù)a,b才有等比中項(xiàng),而且它們的等比中項(xiàng)有兩個(±),而不是一個(),這是容易忽視的地方.
2. 等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的異同
對比項(xiàng)
等差中項(xiàng)
等比中項(xiàng)
定義
若a,A,b成等差數(shù)列,則A叫做a與b的等差中項(xiàng)
若a,G,b成等比數(shù)列,則G叫做a與b的等比中項(xiàng)
定義式
A-a=b-A

公式
A=
G=±
個數(shù)
a與b的等差中項(xiàng)唯一
a與b的等比中項(xiàng)有兩個,且互為相反數(shù)
備注
任意兩個數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)
只有當(dāng)ab>0時,a與b才有等比中項(xiàng)


3. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)通項(xiàng)公式:an=a1qn-1. 該式又可以寫成an=·qn,這表明q≠1時,an是常數(shù)與指數(shù)函數(shù)(關(guān)于n)的乘積.
(2) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系
①當(dāng)q>0且q≠1時,等比數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an是指數(shù)型函數(shù)f(x)=·qx(x∈R)當(dāng)x=n時的函數(shù)值,即an=f(n).
②任意指數(shù)型函數(shù)f(x)=kax(k,a是常數(shù),k≠0,a>0且a≠1),
則f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…構(gòu)成一個等比數(shù)列{kan},其首項(xiàng)為ka,公比為a.
注意點(diǎn):(1)a1>0,q>1時,數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列;(2)a1>0,0

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