?專題14 圓與正多邊形
一、單選題
1．（2022·貴州銅仁）如圖，是的兩條半徑，點(diǎn)C在上，若，則的度數(shù)為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】
∵是的兩條半徑，點(diǎn)C在上，
∴∠C= =40°
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或者在等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答本題關(guān)鍵．
2．（2022·四川雅安）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（　?。?br />
A．3 B． C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用圓的周長先求出圓的半徑，正六邊形的邊長等于圓的半徑，正六邊形一條邊與圓心構(gòu)成等邊三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出OG．
【詳解】
∵圓O的周長為，設(shè)圓的半徑為R，
∴
∴R=3
連接OC和OD，則OC=OD=3
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠COD=，
∴△OCD是等邊三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故選 C

【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·四川廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為（　?。?br />

A．25° B．35° C．45° D．65°
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用直徑所對(duì)的圓周角是直角確定∠ACB=90°，然后根據(jù)∠CAB=65°求得∠ABC的度數(shù)，利用同弧所對(duì)的圓周角相等確定答案即可．
【詳解】
解：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解直徑所對(duì)的圓周角為直角，難度不大．
4．（2022·浙江嘉興）如圖，在⊙O中，∠BOC＝130°，點(diǎn)A在上，則∠BAC的度數(shù)為（　?。?br />

A．55° B．65° C．75° D．130°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圓周角直接可得答案．
【詳解】
解： ∠BOC＝130°，點(diǎn)A在上，

故選B
【點(diǎn)睛】
本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，掌握“同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半”是解本題的關(guān)鍵．
5．（2022·浙江寧波）已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則圓錐的側(cè)面積為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圓錐側(cè)面積計(jì)算公式計(jì)算即可：；
【詳解】
，
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算公式，比較簡單，直接代入公式計(jì)算即可．
6．（2021·廣西桂林）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，BC，則∠C的度數(shù)是（　?。?br />
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，
∴∠C=90°
故選：B
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，靈活掌握半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵．
7．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾）一個(gè)正多邊形的中心角為，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（???????）
A．8 B．12 C．3 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為，列方程即可得到答案．
【詳解】
解：，解得．
這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為12．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是正多邊形中心角的知識(shí)，掌握中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·吉林）如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）連接．若，則的度數(shù)可能為（???????）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得度數(shù)為，再由為的外角求解．
【詳解】
解：∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∵，
∴，
∵為的外角，
∴，只有D滿足題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．
9．（2021·廣西賀州）如圖，在邊長為2的等邊中，是邊上的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓與，分別交于，兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（???????）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由等邊中，是邊上的中點(diǎn)，可知扇形的半徑為等邊三角形的高，利用扇形面積公式即可求解．
【詳解】
是等邊三角形，是邊上的中點(diǎn)
，

扇形
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形面積公式，熟練等邊三角形性質(zhì)和扇形面積公式,求出等邊三角形的高是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·吉林長春）如圖，AB是的直徑，BC是的切線，若，則的大小為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)切線的性質(zhì)，得∠ABC=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】
解：∵AB是的直徑，BC是的切線，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵，
∴=90°-35°=55°，
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．
11．（2021·湖南長沙）如圖，點(diǎn)，，在⊙O上，，則的度數(shù)為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用圓周角定理即可得．
【詳解】
解：，
由圓周角定理得：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．
12．（2020·廣西）如圖，AB是⊙O的弦，AC與⊙O相切于點(diǎn)A，連接OA，OB，若∠O＝130°，則∠BAC的度數(shù)是（　?。?br />
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用切線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求出∠OAC及∠OAB即可解決問題．
【詳解】
解：∵AC與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
13．（2020·重慶）如圖，AB是的切線，A切點(diǎn)，連接OA，OB，若，則的度數(shù)為（???????）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出.
【詳解】
∵AB是的切線
∴
∵
∴
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查切線的性質(zhì)，由切線得到直角是解題的關(guān)鍵.
14．（2020·四川巴中）如圖，在中，點(diǎn)在圓上，，則的半徑的長是（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角定理求出，再求出即可．
【詳解】
解：根據(jù)圓周角定理得：，
，
，
，，
，
，
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理和解直角三角形，能求出是直角三角形是解此題的關(guān)鍵．
15．（2020·四川廣安）如圖，點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)均在圓O上，∠AOD=68°，AO//DC，則∠B的度數(shù)為（　　?。?br />
A．40° B．60° C．56° D．68°
【答案】C
【解析】
【分析】
連接AD，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ODA，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ODC，最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】
解：連接AD，

∵∠AOD=68°，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=56°，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=68°，
∴∠ADC=124°，
∵點(diǎn)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)都在⊙O上，
∴∠B=180°-∠ADC=56°，
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
16．（2020·廣西柳州）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，則∠A的度數(shù)為（　　）

A．35° B．40° C．55° D．70°
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角定理，同弧所對(duì)圓周角等于圓心角的一半，即可得出答案．
【詳解】
解：∵如圖，∠BOC＝70°，
∴∠A＝∠BOC＝35°．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了圓周角定理，圓周角定理是中考中考查重點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問題的關(guān)鍵．
17．（2020·遼寧鞍山）如圖，⊙O是?ABC的外接圓，半徑為，若，則的度數(shù)為（???????）

A．30° B．25° C．15° D．10°
【答案】A
【解析】
【分析】
連接OB和OC，證明△OBC為等邊三角形，得到∠BOC的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠A．
【詳解】
解：連接OB和OC，
∵圓O半徑為2，BC=2，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故選A．

【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理和等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．
18．（2020·江蘇鎮(zhèn)江）如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點(diǎn)，∠ADC＝106°，則∠CAB等于（　?。?br />
A．10° B．14° C．16° D．26°
【答案】C
【解析】
【分析】
連接BD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，則可計(jì)算出∠BDC＝16°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠CAB的度數(shù)．
【詳解】
解：連接BD，如圖，
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故選：C．

【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
19．（2020·四川雅安）如圖，內(nèi)接于圓，，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)．則（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠CAB.
【詳解】
解：連接OC，
∵CP與圓O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB為直徑，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故選B.

【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，外角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠COP.
20．（2020·山東淄博）如圖，放置在直線l上的扇形OAB．由圖①滾動(dòng)（無滑動(dòng)）到圖②，再由圖②滾動(dòng)到圖③．若半徑OA＝2，∠AOB＝45°，則點(diǎn)O所經(jīng)過的最短路徑的長是（????????）

A．2π+2 B．3π C． D．+2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用弧長公式計(jì)算即可．
【詳解】
解：如圖，
?????
點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑的長＝的長+O1O2+的長＝+
+＝，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查軌跡，弧長公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
21．（2021·貴州黔西）圖1是一把扇形書法紙扇，圖2是其完全打開后的示意圖，外側(cè)兩竹條和的夾角為，的長為，貼紙部分的寬為，則的長為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意易得，然后根據(jù)弧長計(jì)算公式可進(jìn)行求解．
【詳解】
解：的長為，貼紙部分的寬為，
∴，
又∵和的夾角為，
的長為：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查弧長計(jì)算，熟練掌握弧長計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
22．（2021·山東青島）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)畫的切線，交的延長線于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（???????）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)切線的性質(zhì)得到BA⊥AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，進(jìn)而求出∠BAC，根據(jù)垂徑定理得到BA⊥EC，進(jìn)而得出答案．
【詳解】
解：∵AD是⊙O的切線，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58.5°，
∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，
∵點(diǎn)A是弧EC的中點(diǎn)，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．
23．（2021·四川內(nèi)江）如圖，是的外接圓，，若的半徑為2，則弦的長為（?????）

A．4 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果．
【詳解】
解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

是的外接圓，，
，
又，，
，，
在中，，
，，
，
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．
24．（2021·山東濱州）如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（???????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．
【詳解】
解：連接AD，如右圖所示，

∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
∴cos∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cos∠ABC的值為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
25．（2021·遼寧鞍山）如圖，AB為的直徑，C，D為上的兩點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
連接AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計(jì)算出，從而得到的度數(shù)．
【詳解】
解：連接AD，如圖，
AB為的直徑，
，
，
．
故選B．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了同弦所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
26．（2021·江蘇鎮(zhèn)江）如圖，∠BAC＝36°，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FD，則∠AFD等于（???????）

A．27° B．29° C．35° D．37°
【答案】A
【解析】
【分析】
連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ADO＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：連接OD，

∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
27．（2021·湖南湘潭）如圖，為⊙O的直徑，弦于點(diǎn)E，直線l切⊙O于點(diǎn)C，延長交l于點(diǎn)F，若，，則的長度為（　?。?br />
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，則△OED是等腰直角三角形，得出，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求得CF=OC=OD=．
【詳解】
解：∵BC為⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點(diǎn)E，，，
∴ AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴，
∵直線l切⊙O于點(diǎn)C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理，等弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求得CF=OC=OD是解題的關(guān)鍵．
28．（2022·廣西賀州）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根據(jù)園錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．
【詳解】
解：如圖，作圓錐的高AC，在BC上取點(diǎn)E，過點(diǎn)E作DE⊥AC于點(diǎn)D，則AB=6cm，AC=6cm，

∴△ABC為等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圓柱體內(nèi)液體的體積為：
圓錐的體積為，
設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，
∴，
∴，
解得：x=3，
即此時(shí)“沙漏”中液體的高度3cm．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查圓柱體、圓錐體體積問題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問題．
29．（2022·廣西河池）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是(?????)

A．25° B．35° C．40° D．50°
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余即可求解．
【詳解】
，∠ABC＝25°，
，
AB是⊙O的直徑，
，
．
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理與切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
30．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
連接OE，由題意易得，則有，然后可得，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理可求解．
【詳解】
解：連接OE，如圖所示：

∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中點(diǎn)，
∴，
∴；
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
31．（2022·遼寧錦州）如圖，線段是半圓O的直徑。分別以點(diǎn)A和點(diǎn)O為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線，交半圓O于點(diǎn)C，交于點(diǎn)E，連接，，若，則的長是（???????）

A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)作圖知CE垂直平分AC，即可得，，根據(jù)圓的半徑得，，根據(jù)圓周角的推論得，根據(jù)勾股定理即可得．
【詳解】
解：根據(jù)作圖知CE垂直平分AC，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵線段AB是半圓O的直徑，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理得，
，
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓，勾股定理，圓周角推論，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．
32．（2022·甘肅蘭州）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（???????）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【詳解】
解：S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查扇形面積，不規(guī)則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
33．（2022·甘肅蘭州）如圖，內(nèi)接于，CD是的直徑，，則（???????）

A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
由CD是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得出∠CAD＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠ACD與∠D互余，即可求得∠D的度數(shù)，繼而求得∠B的度數(shù)．
【詳解】
解：∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
34．（2022·廣東深圳）如圖所示，已知三角形為直角三角形，為圓切線，為切點(diǎn)，則和面積之比為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】
解：如圖取中點(diǎn)O，連接．

∵是圓O的直徑．
∴．
∵與圓O相切．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
又∵．
∴．
∵，，．
∴．
∴．
∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)．
∴．
∴．
∴
故答案是：1∶2．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性質(zhì)，理解切線的性質(zhì)，圓周角定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提．
35．（2022·青海）如圖所示，，，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得OA的長，從而求出OC的長即可．
【詳解】
解：∵，
∴OA=，
∵，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，
∴，
∴，
∵點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，
∴C，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確AB=AC是解題的關(guān)鍵．
36．（2022·廣西河池）如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為(?????)

A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理定理求出AB，然后根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式求解．
【詳解】
解：∵，，，
∴，
∴所掃過的面積為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解答的關(guān)鍵．
37．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，是的直徑，將弦繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，延長，交于點(diǎn)，若，則圖中陰影部分的面積為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如圖，連接OE，OC，過點(diǎn)O作OF⊥CE于點(diǎn)F，由旋轉(zhuǎn)得AD=AC，可求出 ,由圓周角定理得得 ，由三角形外角的性質(zhì)得 由垂徑定理得EF=2，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)求解即可．
【詳解】
解：如圖，連接OE，OC，過點(diǎn)O作OF⊥CE于點(diǎn)F，

則，
由旋轉(zhuǎn)得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，扇形面積等知識(shí)，求出扇形的半徑和圓心角是解答本題的關(guān)鍵．
38．（2022·內(nèi)蒙古通遼）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，，則的值為（?????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根據(jù)勾股定理求出AB的長度，然后根據(jù)圓周角定理的推論得出，，計(jì)算出即可得到．
【詳解】
解：∵為直徑，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查圓的性質(zhì)和三角函數(shù)，掌握勾股定理及圓周角定理的推論是關(guān)鍵．
39．（2021·山東德州）如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，則陰影部分的面積為（?????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用矩形的性質(zhì)求出，利用余弦求出BE，利用陰影部分的面積，求出各部分面積作差即可．
【詳解】
解：四邊形是矩形，，
，，
，
，
，，
，
陰影部分的面積

．
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查矩形性質(zhì)，余弦，扇形面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形性質(zhì)和利用余弦解三角形，理解陰影部分的面積．
40．（2021·青海西寧）如圖，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接，，，，，則陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
連接OD，由題意，先利用勾股定理求出AB的長度，設(shè)半徑為r，然后求出內(nèi)切圓的半徑，再利用正方形的面積減去扇形的面積，即可得到答案．
【詳解】
解：連接OD，如圖：

在中，，，，
由勾股定理，則
，
設(shè)半徑為r，則，
∴，
∴四邊形CEOF是正方形；
由切線長定理，則，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
∴陰影部分的面積為：；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)，切線長定理，求扇形的面積，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行解題．
41．（2021·四川德陽）如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　　）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【答案】A
【解析】
【分析】
如圖，連接，．首先確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)6次一個(gè)循環(huán)，由，推出經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的的坐標(biāo)相同，由此即可解決問題．
【詳解】
解：如圖，連接，．
在正六邊形中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，
次一個(gè)循環(huán)，
，
經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的的坐標(biāo)相同，
與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，，
經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)，，
故選：A．

【點(diǎn)睛】
本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．
42．（2021·遼寧錦州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)（位于AB下方），CD交AB于點(diǎn)E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，則CE的長為（???????）

A．2 B．4 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
連接CO，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，連接AD，因?yàn)镃E＝2DE，構(gòu)造△DGE∽△COE，求出DG＝3，設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3，則AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解決．
【詳解】
解：連接CO，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，連接AD，

∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝6，
∴AB＝BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴＝，
∵CE＝2DE，
設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，
∵∠ADB＝∠AGD＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG2＝AG?BG，
∴9＝（6﹣3x）（6＋3x），
∵x＞0，
∴x＝，
∴OE＝2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE＝，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造出△DGE∽△COE是解題關(guān)鍵
43．（2020·廣西賀州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，，則的長度是（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角定理求出∠D=∠AOC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ABC+∠D=180°，求出∠ABC=∠AOC=120°，解直角三角形求出OA，再根據(jù)弧長公式求出答案即可．
【詳解】
解：∵對(duì)的圓周角是，對(duì)的圓心角是，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∴，
解得：，
∴，
過O作于E，則，

∵OE過O，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴的長度是，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了弧長的公式，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：一條弧所對(duì)的圓心角是n°，半徑為r，那么這條弧的長度是．
44．（2020·廣西貴港）如圖，動(dòng)點(diǎn)在邊長為2的正方形內(nèi)，且，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，則線段的最小值為（???????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E，設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接OE，交DC于點(diǎn)P，連接PE，由軸對(duì)稱的性質(zhì)及90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，可知線段PE＋PM的最小值為OE的值減去以AB為直徑的圓的半徑OM，根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】
解答：解：作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E，設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接OE，交DC于點(diǎn)P，連接PE，如圖：

∵動(dòng)點(diǎn)M在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)，且AM⊥BM，
∴點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，OM＝AB＝1，
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴DE＝AD＝×2＝1，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)E關(guān)于DC對(duì)稱，
∴DE＝DE＝1，PE＝PE，
∴AE＝AD＋DE＝2＋1＝3，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝，
∴線段PE＋PM的最小值為：
PE＋PM
＝PE＋PM
＝ME
＝OE?OM
＝?1．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問題、圓周角定理的推論、正方形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
45．（2020·廣西河池）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F．若FB＝FE＝2，F(xiàn)C＝1，則AC的長是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
連接BC，因?yàn)锳B是直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，可證△ACE∽△CBF，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理可得，并用勾股定理求出BC的長度，代入公式，求出AC的長度，即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：如圖所示，連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴，
∵FB＝FE＝2，F(xiàn)C＝1，
∴CE＝CF+EF＝3，BC＝，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考察了圓周角定理的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于找出一對(duì)相似的三角形，其線段互相成比例，并求出各線段的長度．
二、填空題
46．（2022·廣西柳州）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠AOB＝60°，則∠ACB的度數(shù)是 _____°．

【答案】30
【解析】
【分析】
由圓周角定理可得從而可得答案．
【詳解】
解：∵點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠AOB＝60°，
∴
故答案為：30
【點(diǎn)睛】
本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，掌握“在同圓或等圓中，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半”是解本題的關(guān)鍵．
47．（2022·湖南郴州）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，則________度．

【答案】31
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角定理進(jìn)行求解即可；
【詳解】
解：由圓周角定理可知：
故答案為：31．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
48．（2022·浙江溫州）若扇形的圓心角為，半徑為，則它的弧長為___________．
【答案】π
【解析】
【分析】
根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和弧長公式，可以計(jì)算出該扇形的弧長．
【詳解】
解：∵扇形的圓心角為120°，半徑為，
∴它的弧長為：
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查弧長的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確弧長的計(jì)算公式
49．（2022·廣東）扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積（結(jié)果保留）為____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)扇形面積公式可直接進(jìn)行求解．
【詳解】
解：由題意得：該扇形的面積為；
故答案為．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查扇形面積公式，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
50．（2021·江蘇淮安）若圓錐的側(cè)面積為18π，底面半徑為3，則該圓錐的母線長是___．
【答案】6
【解析】
【分析】
根據(jù)圓錐的側(cè)面積＝πrl，列出方程求解即可．
【詳解】
解：∵圓錐的側(cè)面積為18π，底面半徑為3，
3πl(wèi)＝18π．
解得：l＝6，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓錐的側(cè)面積，解題關(guān)鍵是熟記圓錐的側(cè)面積公式，列出方程進(jìn)行求解．
51．（2020·湖北荊州）已知：，求作的外接圓，作法：①分別作線段BC，AC的垂直平分線EF和MN，它們交于點(diǎn)O；②以點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑畫弧，如圖⊙O即為所求，以上作圖用到的數(shù)學(xué)依據(jù)是___________________．

【答案】線段的垂直平分線的性質(zhì)
【解析】
【分析】
利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OC=OB，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷點(diǎn)A、C在⊙O上．
【詳解】
解：如圖，連接，
∵點(diǎn)O為AC和BC的垂直平分線的交點(diǎn)，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O為的外接圓．


故答案為：線段的垂直平分線的性質(zhì)．
【點(diǎn)睛】
本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，確定圓的條件，掌握作圖的原理是解題的關(guān)鍵．
52．（2020·黑龍江鶴崗）如圖，是的外接圓的直徑，若，則_____°．

【答案】50
【解析】
【分析】
根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．
【詳解】
∵是的外接圓的直徑，
∴點(diǎn)，，，在上，
∵，
∴，
故答案為：50．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
53．（2020·江蘇揚(yáng)州）如圖，工人師傅用扳手?jǐn)Q形狀為正六邊形的螺帽，現(xiàn)測(cè)得扳手的開口寬度，則螺帽邊長________cm．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得CD的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的余弦，可得答案．
【詳解】
解：如圖：作BD⊥AC于D

由正六邊形，得
∠ABC=120°，AB=BC=a，
∠BCD=∠BAC=30°．
由AC=3，得CD=．
cos∠BCD==，即，
解得a=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查正多邊形和圓，利用正六邊形的性質(zhì)得出等腰三角形是解題關(guān)鍵，又利用了正三角形的性質(zhì)，余弦函數(shù)．
54．（2020·貴州黔西）如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點(diǎn)C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為_____．

【答案】﹣
【解析】
【分析】
連接CD，證明△DCH≌△DBG，則S四邊形DGCH＝S△BDC，求得扇形FDE的面積，則陰影部分的面積即可求得.
【詳解】
解：連接CD，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，
∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，
在△DCH和△DBG中，

∴△DCH≌△DBG（ASA），
∴S四邊形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB?CD＝×2×1＝.
∴S陰影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝.
故答案為：.

【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
55．（2020·山東濟(jì)南）如圖，在正六邊形ABCDEF中，分別以C，F(xiàn)為圓心，以邊長為半徑作弧，圖中陰影部分的面積為24π，則正六邊形的邊長為_____．

【答案】6
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出扇形的圓心角，然后按扇形面積公式列方程求解計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵正六邊形的內(nèi)角是120度，陰影部分的面積為24π，
設(shè)正六邊形的邊長為r，
∴，


解得r＝6．（負(fù)根舍去）
則正六邊形的邊長為6．
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
56．（2020·廣西河池）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，則∠2＝_____°．

【答案】35
【解析】
【分析】
如圖（見解析），連接AD，先根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，再根據(jù)圓周角定理可得，由此即可得．
【詳解】
如圖，連接AD
∵AB是⊙O的直徑
∴，即
又由圓周角定理得：
∵
∴

故答案為：35．

【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題關(guān)鍵．
57．（2020·云南昆明）如圖，邊長為2cm的正六邊形螺帽，中心為點(diǎn)O，OA垂直平分邊CD，垂足為B，AB＝17cm，用扳手?jǐn)Q動(dòng)螺帽旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A在該過程中所經(jīng)過的路徑長為_____cm．

【答案】10π
【解析】
【分析】
利用正六邊形的性質(zhì)求出OB的長度，進(jìn)而得到OA的長度，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】
解：連接OD，OC．
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等邊三角形，
∴OD＝OC＝DC＝（cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝（cm），
∴OB＝BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴點(diǎn)A在該過程中所經(jīng)過的路徑長＝＝10π（cm），
故答案為：10π．


【點(diǎn)睛】
本題考查了正六邊形的性質(zhì)及計(jì)算，扇形弧長的計(jì)算，熟知以上計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
58．（2021·甘肅蘭州）如圖，傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為，轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)，傳送帶上的物品被傳送，則______．

【答案】108
【解析】
【分析】
根據(jù)傳送的距離等于轉(zhuǎn)動(dòng)了的圓弧的長，進(jìn)而即可求得．
【詳解】

解得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了弧長的公式的應(yīng)用，牢記弧長公式是解題的關(guān)鍵．
59．（2021·江蘇淮安）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，則∠D的度數(shù)是___．

【答案】35°
【解析】
【分析】
根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角推出∠ACB＝90°，再結(jié)合圖形由直角三角形的性質(zhì)得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，進(jìn)而根據(jù)同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等推出∠D＝∠B＝35°．
【詳解】
解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案為：35°．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
60．（2021·江蘇徐州）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若母線長為，扇形的圓心角，則圓錐的底面圓半徑為__________．

【答案】2
【解析】
【分析】
結(jié)合題意，根據(jù)弧長公式，得圓錐的底面圓周長；再根據(jù)圓形周長的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．
【詳解】
∵母線長為，扇形的圓心角
∴圓錐的底面圓周長
∴圓錐的底面圓半徑
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了弧長、圓周長的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長計(jì)算的性質(zhì)，從而完成求解．
61．（2021·江蘇徐州）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，若，則_________°．

【答案】
【解析】
【分析】
由同弧所對(duì)的圓周角相等和直徑所對(duì)的圓周角為90°然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出的度數(shù)．
【詳解】
∵，
∴，
又∵AB是直徑，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
此題考查了同弧所對(duì)圓周角的性質(zhì)和直徑所對(duì)圓周角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧所對(duì)圓周角的性質(zhì)和直徑所對(duì)圓周角的性質(zhì)．
62．（2022·青海西寧）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BC=2，則圖中陰影部分的面積是________．

【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形AOC的面積，利用扇形面積的公式計(jì)算可求解．
【詳解】
解：過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠AOC=120°，AD=CD=，
∴∠OAC=30°，
∴OA=AD÷cos30°=2，
∵△ABC為等邊三角形，
∴S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，
∴S陰影=S扇形AOC==，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
63．（2022·江蘇鹽城）如圖，在矩形中，，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，線段掃過的面積為___________．

【答案】##
【解析】
【分析】
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得由銳角三角函數(shù)可求從而得出由扇形面積公式即可求解．
【詳解】
解：

∵矩形中，

由旋轉(zhuǎn)可知，
∵，
∴



∴線段AB掃過的面積
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，扇形面積公式，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解此題的關(guān)鍵．
64．（2022·遼寧大連）如圖，正方形的邊長是，將對(duì)角線繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，則的長是____________（結(jié)果保留）．

【答案】##
【解析】
【分析】
先根據(jù)正方形的性質(zhì)求解再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵正方形ABCD，
∴
∴的長
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，弧長的計(jì)算，熟記弧長公式是解本題的關(guān)鍵．
65．（2022·吉林長春）將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點(diǎn)與量角器的中心O重合，且兩條直角邊分別與量角器邊緣所在的弧交于A、B兩點(diǎn).若厘米，則的長度為________厘米．（結(jié)果保留）

【答案】##
【解析】
【分析】
直接根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了弧長公式，即，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
66．（2022·廣西貴港）如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心、為半徑畫弧交于點(diǎn)E，連接，若，則圖中陰影部分的面積是_______．

【答案】
【解析】
【分析】
過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得DF，從而求得EB，最后由S陰影=S?ABCD?S扇形ADE?S△EBC結(jié)合扇形面積公式、平行四邊形面積公式、三角形面積公式解題即可．
【詳解】
解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，

∵，
∴AD=
∴DF=ADsin45°= ，
∵AE=AD=2 ，
∴EB=AB?AE= ，
∴S陰影=S?ABCD?S扇形ADE?S△EBC

=
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查等腰直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、扇形的面積公式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
67．（2022·廣東廣州）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧的長是________（結(jié)果保留）

【答案】
【解析】
【分析】
如圖，連接OD，OE，證明 可得 再證明 可得 再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】
解：如圖，連接OD，OE，
∵
∴






∵與邊AB相切于點(diǎn)D，
∴
∴


的長
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，弧長的計(jì)算，求解是解本題的關(guān)鍵．
68．（2022·山東青島）如圖，是的切線，B為切點(diǎn)，與交于點(diǎn)C，以點(diǎn)A為圓心、以的長為半徑作，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，則圖中陰影部分的面積為__________．

【答案】
【解析】
【分析】
先證明再利用陰影部分的面積等于三角形面積減去扇形面積即可得到答案．
【詳解】
解：如圖，連接OB，是的切線，


設(shè)





故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，掌握“整體求解扇形的面積”是解本題的關(guān)鍵．
69．（2022·上海）定義：有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個(gè)圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個(gè)斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為_____．
【答案】##
【解析】
【分析】
如圖，當(dāng)?shù)认覉AO最大時(shí)，則經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C，連接CO交AB于F，連接OE，DK，再證明經(jīng)過圓心，，分別求解AC，BC，CF， 設(shè)的半徑為 再分別表示 再利用勾股定理求解半徑r即可．
【詳解】
解：如圖，當(dāng)?shù)认覉AO最大時(shí)，則經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C，連接CO交AB于F，連接OE，DK，


過圓心O，，


設(shè)的半徑為
∴



整理得：
解得：

不符合題意，舍去，
∴當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，弦，弧，圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，掌握以上知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．
70．（2022·內(nèi)蒙古通遼）如圖，是的外接圓，為直徑，若，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在內(nèi)運(yùn)動(dòng)且始終保持，當(dāng)，兩點(diǎn)距離最小時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為______．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題中的條件可先確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定CP的長最小時(shí)點(diǎn)P的位置，進(jìn)而求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長．
【詳解】
解：為的直徑，




∴
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且在△ABC的內(nèi)部，
如圖，記以AB為直徑的圓的圓心為，連接交于點(diǎn)，連接


∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P在點(diǎn)處時(shí)，CP有最小值，
∵
∴
在中，
∴∠
∴
∴兩點(diǎn)距離最小時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長為
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了直徑所對(duì)圓周角是直角，弧長公式，由銳角正切值求角度，確定點(diǎn)P的路徑是解答本題的關(guān)鍵．
71．（2022·山東聊城）如圖，線段，以AB為直徑畫半圓，圓心為，以為直徑畫半圓①；取的中點(diǎn)，以為直徑畫半圓②；取的中點(diǎn)，以為直徑畫半圓③…按照這樣的規(guī)律畫下去，大半圓內(nèi)部依次畫出的8個(gè)小半圓的弧長之和為______________．

【答案】##
【解析】
【分析】
由AB＝2，可得半圓①弧長為，半圓②弧長為（）2π，半圓③弧長為（）3π，......半圓⑧弧長為（）8π，即可得8個(gè)小半圓的弧長之和為π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．
【詳解】
解：∵，
∴，半圓①弧長為，
同理，半圓②弧長為，
，半圓③弧長為，
……
半圓⑧弧長為，
∴8個(gè)小半圓的弧長之和為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
此題考查圖形的變化類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的周長公式和找到弧長的變化規(guī)律．
72．（2022·湖北武漢）如圖，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，是一條弦，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱，交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，且．給出下面四個(gè)結(jié)論：①平分；???②；???③；???④為的切線．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________________．

【答案】①②④
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)AB為CD的垂直平分線，得出BD=BC，AD=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠BDC=∠BCD，利用平行線性質(zhì)可判斷①正確；利用△ADB≌△ACB（SSS）得出∠EAB=∠CAB，利用圓周角弧與弦關(guān)系可判斷②正確；根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得∠AEF≠∠ABE，從而可得△AEF與△ABE不相似，即可判斷③；連結(jié)OB，利用垂徑定理得出OB⊥CE，利用平行線性質(zhì)得出OB⊥BD，即可判斷④正確．
【詳解】
解：∵點(diǎn)C是上一點(diǎn)，與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱，
∴AB為CD的垂直平分線，
∴BD=BC，AD=AC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵，
∴∠ECD=∠CDB，
∴∠ECD=∠BCD，
∴CD平分∠BCE，故①正確；
在△ADB和△ACB中，
∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB（SSS），
∴∠EAB=∠CAB，
∴，
∴BE=BC=BD，故②正確；
∵AC≠AE，
∴≠，
∴∠AEF≠∠ABE，
∴△AEF與△ABE不相似，故③錯(cuò)誤；
連結(jié)OB，
∵，CE為弦，
∴OB⊥CE，
∵，
∴OB⊥BD，
∴BD為的切線．故④正確，
∴其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．
故答案為①②④．
．
【點(diǎn)睛】
本題考查軸對(duì)稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判斷于性質(zhì)，垂徑定理，切線判斷，掌握軸對(duì)稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判斷于性質(zhì)，垂徑定理，切線判斷是解題關(guān)鍵．
73．（2021·山東青島）如圖，正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)．已知，則圖中陰影部分的面積為___________．

【答案】
【解析】
【分析】
連接AC，OD，根據(jù)已知條件得到AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到PE=，根據(jù)梯形和圓的面積公式即可得到答案．
【詳解】
解：連接AC，OD，
∵四邊形BCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°，
∵PA，PD分別與⊙O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四邊形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=2，DE=CD=2，
∴AP=PD=AO=，
∴PE=3，
∴圖中陰影部分的面積
故答案為：5-π．

【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
74．（2021·江蘇泰州）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，5），⊙A與x軸相切，點(diǎn)P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點(diǎn)B．若∠APB＝30°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ___．

【答案】．
【解析】
【分析】
連接AB，作AD⊥x軸，AC⊥y軸，根據(jù)題意和30°直角三角形的性質(zhì)求出AP的長度，然后由圓和矩形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出OC的長度，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】
如下圖所示，連接AB，作AD⊥x軸，AC⊥y軸，
∵PB與⊙A相切于點(diǎn)B
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，AB⊥PB，
∴PA=2AB=．
∵
∴四邊形ACOD是矩形，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，5），
所以AC=OD=8，CO=AD=5，
在中，．
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)上方時(shí)，

∴，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】
此題考查了勾股定理，30°角直角三角形的性質(zhì)和矩形等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．
75．（2021·山東濟(jì)寧）如圖，中，，，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以為半徑作半圓，交于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是____．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得DE的長、的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是的面積減去的面積和扇形的面積，從而可以解答本題．
【詳解】
解：連接OD，過點(diǎn)D作于E，


在中，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴陰影部分的面積是：
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查扇形面積的計(jì)算、勾股定理、特殊角銳角三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
76．（2020·廣西貴港）如圖，在扇形中，點(diǎn)在上，，，于點(diǎn)，連接，若，則圖中陰影部分的面積為______________．

【答案】
【解析】
【分析】
連接OC，過點(diǎn)C作CM⊥OB于點(diǎn)M，分別求出S△ABD、 S△AOB、S△OBC、S扇形AOC，再計(jì)算即可求解．
【詳解】
解：連接OC，
∵∠AOB＝90°
∴△AOB是等腰直角三角形
∵OA＝2∴
∵，于點(diǎn)，
∴AD＝AB＝，BD＝=
∴S△ABD＝
S△AOB＝
過點(diǎn)C作CM⊥OB于點(diǎn)M，
∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°
∴∠COB＝30°
∴CM=OC=1
∴S△OBC＝=1
S陰影=S△AOB＋S△ABD﹣S△OBC﹣S扇形AOC＝2＋－1－＝

【點(diǎn)睛】
本題主要考查不規(guī)則圖形的面積，解題的關(guān)鍵是作輔助線，利用分割法求解：即S陰影=S△AOB＋S△ABD﹣S△OBC﹣S扇形AOC．
77．（2020·遼寧朝陽）如圖，點(diǎn)是上的點(diǎn)，連接，且，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)D，連接，已知半徑為2，則圖中陰影面積為_________________．

【答案】
【解析】
【分析】
由圓周角定理可得∠AOB的度數(shù)，由可得S△ABD=S△ABO，進(jìn)而可得S陰影=S扇形AOB，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵，
∴∠AOB=30°，
∵，
∴S△ABD=S△ABO，
∴S陰影=S扇形AOB=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理、扇形面積公式和同底等高的三角形的面積相等等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
78．（2020·江蘇宿遷）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P為AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對(duì)稱，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積為_____．

【答案】
【解析】
【分析】
由矩形的性質(zhì)求出∠ABQ=120°，由矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱性可知，△BOQ≌△DOC，根據(jù)S陰影部分=S四邊形ABQD﹣S扇形ABQ=S四邊形ABOD+S△BOQ﹣S扇形ABQ可求出答案．
【詳解】
∵當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段BQ的長度不變，
∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，如圖，陰影部分的面積即為線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積，

∵矩形ABCD中，AB=1，AD=，
∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90°，
∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30°，
∴∠ABQ=120°，
由軸對(duì)稱性得：BQ=BA=CD，
在△BOQ和△DOC中，
，
∴△BOQ≌△DOC，
∴S陰影部分=S四邊形ABQD﹣S扇形ABQ=S四邊形ABOD+S△BOQ﹣S扇形ABQ，
=S四邊形ABOD+S△COD﹣S扇形ABQ，
=S矩形ABCD﹣S△ABQ=1×-．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)，扇形的面積公式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
79．（2020·四川眉山）如圖，點(diǎn)為⊙外一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線、，點(diǎn)、為切點(diǎn)．連接并延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．已知，，則的長為________．

【答案】
【解析】
【分析】
連接OB，在中應(yīng)用勾股定理求得的半徑為3，再根據(jù)，對(duì)應(yīng)線段成比例即可求解．
【詳解】
解：連接OB，

∵、為的切線，
∴，，
∴，
∴，
設(shè)的半徑為r，則，
在中，，即，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查切線長定理、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理的應(yīng)用等內(nèi)容，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
80．（2020·山東東營）如圖，在中，的半徑為點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條切線(其中點(diǎn)為切點(diǎn))，則線段長度的最小值為____．

【答案】
【解析】
【分析】
如圖：連接OP、OQ，根據(jù),可得當(dāng)OP⊥AB時(shí)，PQ最短；在中運(yùn)用含30°的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得AB、AQ的長，然后再運(yùn)用等面積法求得OP的長，最后運(yùn)用勾股定理解答即可．
【詳解】
解：如圖：連接OP、OQ，
∵是的一條切線
∴PQ⊥OQ
∴
∴當(dāng)OP⊥AB時(shí)，如圖OP′，PQ最短
在Rt△ABC中，
∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB=
∵S△AOB=
∴，即OP=3
在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1
∴PQ=．
故答案為．

【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，此正確作出輔助線、根據(jù)勾股定理確定當(dāng)PO⊥AB時(shí)、線段PQ最短是解答本題的關(guān)鍵．
三、解答題
81．（2022·青海）如圖，AB是的直徑，AC是的弦，AD平分∠CAB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作的切線EF，交AB的延長線于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：；
(2)若，，，求BE的長．
【答案】(1)見解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）連接，根據(jù)平分，可得，從而得到，可得，再由切線的性質(zhì)，即可求解；
（2）由，可得，設(shè)為，可得，即可求解．
(1)
證明：連接，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵為的切線，
∴，
∴．
(2)
解：由（1）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
設(shè)為，
∴，
∴，
解得：，
即的長為2．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
82．（2022·山東煙臺(tái)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長．
【答案】(1)見解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）連接OA,過點(diǎn)A作AD⊥AO即可；
（2）連接OB，OC．先證明∠ACB＝75°，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得結(jié)論．
(1)
解：如圖，切線AD即為所求；

(2)
如圖：連接OB，OC．
∵AD是切線，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC?cos30°＝，
∴BC＝2．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了作圓的 、三角形的外接圓、切線的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
83．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，為的切線，C為切點(diǎn)，D是上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，垂足為F，交于點(diǎn)E，連接并延長交于點(diǎn)G，連接，已知．


(1)若的半徑為5，求的長；
(2)試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，寫出并證明你的結(jié)論．（請(qǐng)用兩種證法解答）
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【解析】
【分析】
（1）由題意得，，根據(jù)得，根據(jù)切線的性質(zhì)得，即，根據(jù)題意得，則，即可得，根據(jù)角之間的關(guān)系和邊之間的關(guān)系得是等邊三角形，即可得∴，則,根據(jù)題意得，，，在中，根據(jù)銳角三角形函數(shù)即可得；
（2）方法一：根據(jù)題意和邊、角之間得關(guān)系得，為等邊三角形，可得，在中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，即；方法二：連接，過點(diǎn)O作，垂足為H，根據(jù)題意得，，即四邊形是矩形，所以，???????根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，根據(jù)邊之間的關(guān)系得CE=OD，根據(jù)HL得，即可得，所以，即可得．
(1)
解：如圖所示，連接．


∵，
∴，
∵，
∴，
∵為的切線，C為切點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，垂足為F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴．
∵的半徑為5，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴在中，．
(2)
，證明如下
證明：方法一：如圖所示，


∵，
∴，
∴．
∵，
∴為等邊三角形，
∴．
∵，
∴．
∴在中，，
∴，
即；
方法二：如圖所示，連接，過點(diǎn)O作，垂足為H，


∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，???????
∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴CE=OD，
∵，
在和中，

∴（HL），
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓的綜合，平行線的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．
84．（2021·山東濟(jì)南）已知：如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)，，連接，．

（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，已知條件可得，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)圓周角定理可得，等量代換即可得證；
（2）連接，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，進(jìn)而根據(jù)正切值以及已知條件可得的長，勾股定理即可求得，進(jìn)而即可求得圓的半徑．
【詳解】
（1）連接，如圖，

是的切線，
，
，
，
，
，
，
．
（2）連接

是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即的半徑為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正切的定義，同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理，理解題意添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
85．（2021·廣西百色）據(jù)國際田聯(lián)《田徑場地設(shè)施標(biāo)準(zhǔn)手冊(cè)》，400米標(biāo)準(zhǔn)跑道由兩個(gè)平行的直道和兩個(gè)半徑相等的彎道組成，有8條跑道，每條跑道寬1.2米，直道長87米；跑道的彎道是半圓形，環(huán)形跑道第一圈（最內(nèi)圈）彎道半徑為35.00米到38.00米之間．
某校據(jù)國際田聯(lián)標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)校場地實(shí)際，建成第一圈彎道半徑為36米的標(biāo)準(zhǔn)跑道．小王同學(xué)計(jì)算了各圈的長：
第一圈長：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈長：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈長：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
請(qǐng)問：
（1）第三圈半圓形彎道長比第一圈半圓形彎道長多多少米？小王計(jì)算的第八圈長是多少？
（2）小王緊靠第一圈邊線逆時(shí)針跑步、鄧教練緊靠第三圈邊線順時(shí)針騎自行車（均以所靠邊線長計(jì)路程），在如圖的起跑線同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過20秒兩人在直道第一次相遇．若鄧教練平均速度是小王平均速度的2倍，求他們的平均速度各是多少？
（注：在同側(cè)直道，過兩人所在點(diǎn)的直線與跑道邊線垂直時(shí)，稱兩人直道相遇）

【答案】（1）第三圈彎道比第一圈彎道長15米，第八圈長453米；（2）小王的速度為，老師的速度為．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，計(jì)算第三圈與第一圈的路程差即可解第一問，根據(jù)題中路程公式，可解得第八圈的路程；
（2）分析兩人在左邊的直道上相遇，且兩人的總路程剛好是第一圈的長度加上兩個(gè)半圓賽道長度的差，小王的速度為，則老師的速度為，列關(guān)于的一元一次方程，解方程即可解題．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意得，第三圈彎道比第一圈彎道長：
（米）；
第八圈長：（米）
答：第三圈彎道比第一圈彎道長15米，第八圈長453米．
（2）由于兩人是第一次相遇，教練的速度更快，且是在直道上兩人相遇，
那么兩人一定在左邊的直道上相遇，
兩人的總路程剛好是第一圈的長度加上兩個(gè)半圓賽道長度的差：
（米）
設(shè)小王的速度為，則老師的速度為



答：小王的速度為，老師的速度為．
【點(diǎn)睛】
本題考查圓的計(jì)算、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，理解相關(guān)路程公式的計(jì)算是解題關(guān)鍵．
86．（2020·安徽）如圖，是半圓的直徑，是半圓上不同于的兩點(diǎn)與相交于點(diǎn)是半圓所在圓的切線，與的延長線相交于點(diǎn)，
求證：；
若求平分．

【答案】證明見解析；證明見解析．
【解析】
【分析】
利用證明利用為直徑，證明結(jié)合已知條件可得結(jié)論；
利用等腰三角形的性質(zhì)證明： 再證明 利用切線的性質(zhì)與直徑所對(duì)的圓周角是直角證明： 從而可得答案．
【詳解】
證明：


為直徑，


．
證明：



為半圓的切線，





平分．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是圓的基本性質(zhì)，弧，弦，圓心角，圓周角之間的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形的全等的判定，切線的性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
87．（2020·河南）我們學(xué)習(xí)過利用用尺規(guī)作圖平分一個(gè)任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的，人們根據(jù)實(shí)際需要，發(fā)明了一種簡易操作工具--------三分角器．圖1是它的示意圖，其中與半圓的直徑在同一直線 上，且的長度與半圓的半徑相等；與重直于點(diǎn) 足夠長．
使用方法如圖2所示，若要把三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使經(jīng)過的頂點(diǎn)，點(diǎn)落在邊上，半圓與另一邊恰好相切，切點(diǎn)為，則就把三等分了．
為了說明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程．

已知：如圖2，點(diǎn)在同一直線上，垂足為點(diǎn)，
求證：

【答案】在上，過點(diǎn)， 為半圓的切線，切點(diǎn)為；EB，EO為∠MEN的三等分線．證明見解析．
【解析】
【分析】
如圖，連接OF．則∠OFE=90°，只要證明，，即可解決問題；
【詳解】
已知：如圖2，點(diǎn)在同一直線上，垂足為點(diǎn)， 在上，過點(diǎn)，為半圓的切線，切點(diǎn)為．
求證： EB，EO為∠MEN的三等分線．

證明：如圖，連接OF．則∠OFE=90°，
∵EB⊥AC，EB與半圓相切于點(diǎn)B，
∴∠ABE=∠OBE=90°，
∵BA=BO．EB=EB，

∴∠AEB=∠BEO，
∵EO=EO．OB=OF，∠OBE=∠OFE，
∴，
∴∠OEB=∠OEF，
∴∠AEB=∠BEO=∠OEF，
∴EB，EO為∠MEN的三等分線．
故答案為：在上，過點(diǎn)，為半圓的切線，切點(diǎn)為．
EB，EO為∠MEN的三等分線．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
88．（2022·山東濟(jì)寧）如圖，在矩形ABCD中，以AB的中點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑作半圓，連接OD交半圓于點(diǎn)E，在上取點(diǎn)F，使，連接BF，DF．

(1)求證：DF與半圓相切；
(2)如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）連接OF，證明，可得，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，進(jìn)而即可得證；
（2）連接，根據(jù)題意證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)矩形的面積公式即可求解．
（1）證明：連接OF． ，，四邊形是矩形，
（2）解：連接，，，，為半圓的直徑，，，，，，，在中，矩形的面積為
【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
89．（2022·甘肅蘭州）綜合與實(shí)踐
問題情境：我國東周到漢代一些出土實(shí)物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎范、芯組成的（如圖1），它的端面是圓形，如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動(dòng)，直到，在圓上標(biāo)記A，B，C三點(diǎn)；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A，B點(diǎn)上，“矩”的另一條邊與圓的交點(diǎn)標(biāo)記為D點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，連接AD，BC相交于點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點(diǎn)，鏈接AD，BC相較于點(diǎn)O，即O為圓心．

(1)問題解決：請(qǐng)你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點(diǎn)A，B，C在上，，且，請(qǐng)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點(diǎn)A，B，C在上，，請(qǐng)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(3)拓展探究：小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點(diǎn)時(shí)存在誤差，用平時(shí)學(xué)的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點(diǎn)A，B，C是上任意三點(diǎn)，請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請(qǐng)寫出你確定圓心的理由：______________________________．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【解析】
【分析】
（1）作∠ABD=90°，　BD與圓相交于D，連接BC、AD相交 于點(diǎn)O，即可；
（2）作∠ABD=90°，　BD與圓相交于D，連接BC、AD相交 于點(diǎn)O，即可；
（3）作AB的垂直平分線DE，作AC的垂直平分線MN，DE交MN于O，即可，則垂徑定理得出確定圓心的理由即可．
(1)
解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心．

作∠ABD=90°，　BD與圓相交于D，連接BC、AD相交 于點(diǎn)O，
∵∠CAB=∠ABC=90°，
∴BC、AD是圓的直徑，
∴點(diǎn)O是圓的圓心．
(2)
解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心．

作∠ABD=90°，　BD與圓相交于D，連接BC、AD相交 于點(diǎn)O，
∵∠CAB=∠ABC=90°，
∴BC、AD是圓的直徑，
∴點(diǎn)O是圓的圓心．
(3)
解：如圖所示 ，點(diǎn)O就是圓的圓心．

作AB的垂直平分線DE，作AC的垂直平分線MN，DE交MN于O，
∵DE垂直平分AB，
∴DE經(jīng)過圓心，即圓心必在直線DE上，
∵M(jìn)N垂直平分AC，
∴MN經(jīng)過圓心，即圓心必在直線MN上，
∴DE與MN的交點(diǎn)O是圓心．
確定圓心的理由：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心．
【點(diǎn)睛】
本題考查圓周角定理的推論，垂徑定理的推論，尺規(guī)作線段垂直平分線，熟練掌握直角的圓周角所對(duì)的弦是直徑是解題的關(guān)鍵．
90．（2022·遼寧大連）是的直徑，C是上一點(diǎn)，，垂足為D，過點(diǎn)A作的切線，與的延長線相交于點(diǎn)E．

(1)如圖1，求證；
(2)如圖2，連接，若的半徑為2，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）證明，，即可得出；
（2）證明，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂徑定理求出BC，進(jìn)而利用勾股定理求出AC，AD．
(1)
解：∵ ，
∴，
∵ 是的切線，
∴，
在和中，，，
∴；
(2)
解：如圖，連接AC．

∵ 的半徑為2，
∴，，
∵ 在和中，
，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∵ ，經(jīng)過的圓心，
∴，
∴．
∵是的直徑，C是上一點(diǎn)，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
在中，由勾股定理得：，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查切線的定義、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)，通過證明求出OD的長度是解題的關(guān)鍵．
91．（2022·貴州貴陽）如圖，為的直徑，是的切線，為切點(diǎn)，連接．垂直平分，垂足為，且交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．


(1)求證：；
(2)當(dāng)平分時(shí)，求證：；
(3)在（2）的條件下，，求陰影部分的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）如圖，連接證明 再利用等角的余角相等可得結(jié)論；
（2）如圖，連接OF，垂直平分 證明為等邊三角形，再證明 從而可得結(jié)論；
（3） 先證明為等邊三角形，可得 再利用進(jìn)行計(jì)算即可．
(1)
解：如圖，連接 為的切線，








(2)
如圖，連接OF，垂直平分
而
為等邊三角形，




平分


(3)
為等邊三角形，



為等邊三角形，


【點(diǎn)睛】
本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的運(yùn)用圓的基本性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．
92．（2022·山東濰坊）筒車是我國古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，車輪縛以竹簡，旋轉(zhuǎn)時(shí)低則舀水，高則瀉水．如圖，水力驅(qū)動(dòng)筒車按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，竹筒把水引至A處，水沿射線方向?yàn)a至水渠，水渠所在直線與水面平行；設(shè)筒車為，與直線交于P，Q兩點(diǎn)，與直線交于B，C兩點(diǎn)，恰有，連接．

(1)求證：為的切線；
(2)筒車的半徑為，．當(dāng)水面上升，A，O，Q三點(diǎn)恰好共線時(shí)，求筒車在水面下的最大深度（精確到，參考值：）．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）連接 并延長交 于，根據(jù)為的直徑可以得到 ，繼而得到 ，根據(jù)可證，可以得到，利用等量代換即可證明為的切線；
（2）根據(jù)，解出 ，根據(jù) 為的直徑得到 ，進(jìn)而得出，，又根據(jù) 得出，故可得到 ，過作交于，于是在等腰中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出長，進(jìn)而求出最大深度．
(1)
證明：連接 并延長交 于，連接BM，

為的直徑，
，
，
，
，
又∵∠D=∠D，
，
，
又，
，
，
為的切線；
(2)
解：如圖所示，

，，
，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，???
，
，
過作交于，

為等腰直角三角形，
，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查圓的切線的判斷，等腰三角形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握公式定理并且靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
93．（2022·四川雅安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O與直線AO交于點(diǎn)E和點(diǎn)D．


(1)求證：AB是⊙O的切線；
(2)連接CE，求證：△ACE∽△ADC；
(3)若＝，⊙O的半徑為6，求tan∠OAC．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)tan∠OAC
【解析】
【分析】
（1）如圖，過作于證明 即可得到結(jié)論；
（2）證明 再結(jié)合 從而可得結(jié)論；
（3）由相似三角形的性質(zhì)可得 設(shè) 則 而 從而建立方程求解x，從而可得答案．
(1)
證明：如圖，過作于


∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，

O為圓心，OC為半徑，
是⊙O的切線．
(2)
如圖，連結(jié)CE，


為的直徑，








(3)


設(shè) 則 而
解得

tan∠OAC
【點(diǎn)睛】
本題考查的是切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，求解銳角的正切，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解是解本題的關(guān)鍵．
94．（2022·江蘇宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)、、、、均為格點(diǎn)．
【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段、，相交于點(diǎn)并給出部分說理過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：
解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中， ，
所以．
所以∠=∠．
因?yàn)椤?∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即⊥．


(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)為圓心，為直徑的圓，請(qǐng)你只用無刻度的直尺，在上找出一點(diǎn)P，使=，寫出作法，并給出證明：
(2)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)為圓心的圓，請(qǐng)你只用無刻度的直尺，在弦上找出一點(diǎn)P．使=·，寫出作法，不用證明．
【答案】(1)；見解析
(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）取格點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)P，則根據(jù)垂徑定理可知，點(diǎn)P即為所求作；
（2）取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作．利用正切函數(shù)證得∠FMI=∠MNA，利用圓周角定理證得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可證明結(jié)論．
(1)
解：【操作探究】在網(wǎng)格中取格點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中，，
所以．
所以∠=∠．
因?yàn)椤?∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即⊥．
故答案為：；
取格點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；







(2)
解：取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；
證明：作直徑AN，連接BM、MN，
在Rt△FMI中，，
在Rt△MNA中，，
所以．
∴∠FMI=∠MNA，
∵∠B=∠MNA，
∴∠AMP=∠B，
∵∠PAM=∠MAB，
∴△PAM∽△MAB，
∴，
∴=·．

【點(diǎn)睛】
本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
95．（2021·貴州黔西）如圖，為的直徑，直線與相切于點(diǎn)，，垂足為，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；
(2)若，，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)6
【解析】
【分析】
（1）如圖：連接，由切線的性質(zhì)和平行的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得OC=OA即，進(jìn)而得到即可證明；
（2）如圖：連接，先根據(jù)圓周角定理并結(jié)合題意可得，然后根據(jù)三角函數(shù)求得，運(yùn)用勾股定理可得；再說明；設(shè)，，然后根據(jù)，進(jìn)而求得AB即可．
(1)
證明：連接，
為的切線，
，
，
，
．
又，
，
，即．

(2)
解：連接，
方法一：由（1）可知，∠CAD=∠CAB，
∴sin∠CAD=sin∠CAB,BC=CE=4,
∴，
∴AB=12，
∴的半徑是6.
方法二：
為的直徑，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
，
，
，
的半徑為6．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線成為解答本題的關(guān)鍵．
96．（2021·四川內(nèi)江）如圖，是的直徑，、是上兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積；
（3）連結(jié)，在（2）的條件下，求的長．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠CAD=∠DAB，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠DAB=∠ODA，則∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，進(jìn)而得到OD⊥DE，據(jù)此即可得解；
（2）連接BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，則∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根據(jù)S陰影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；
（3）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，連接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，則MB=，再根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】
解：（1）證明：如圖，連接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：，
，
，
，的半徑為2，
，
，
如圖，連接，

是的直徑，，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

在中，，，
，
．
【點(diǎn)睛】
此題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)并證明△OGD∽△EGA求出AE是解題的關(guān)鍵．
97．（2021·遼寧朝陽）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，且∠AOD＝90°，點(diǎn)C是⊙O外一點(diǎn)，分別連接CA，CB、CD，CA交⊙O于點(diǎn)M，交OD于點(diǎn)N，CB的延長線交⊙O于點(diǎn)E，連接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）連接DM，若⊙O的半徑為6，tanE＝，求DM的長．

【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)圓周角定理和等量代換可得∠BAC＝∠ACD，進(jìn)而得出AB∥CD，由∠AOD＝90°可得OD⊥CD，從而得出結(jié)論；
（2）由tanE＝，可得tan∠ACD＝tan∠OAN＝tanE＝，在直角三角形中由銳角三角函數(shù)可求出ON、DN、CD，由勾股定理求出CN，由三角形的面積公式求出DF，再根據(jù)圓周角定理可求出∠AMD＝45°，進(jìn)而根據(jù)等腰直角三角形的邊角關(guān)系求出DM即可．
【詳解】
解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，

∵⊙O的半徑為6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN，
∴ON＝OA＝×6＝2，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN＝＝＝4，
由三角形的面積公式可得，
CN?DF＝DN?CD，
即4DF＝4×12，
∴DF＝，
又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°，
∴在Rt△DFM中，
DM＝DF＝×＝．
【點(diǎn)睛】
本題考查切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理，掌握銳角三角函數(shù)以及勾股定理是解決問題的前提．
98．（2020·廣西貴港）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且，是的外接圓，是的直徑．
（1）求證：是的切線：
（2）若，，求直徑的長．

【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）連接，直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADE＝90°，繼而根據(jù)已知條件和等邊對(duì)等角的性質(zhì)及等角代換可得：∠BAD＝∠E＝∠C，進(jìn)而可得，再根據(jù)切線的判定即可求證結(jié)論；
（2）作，垂足為，易證△ABC∽△DBA，繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得：，進(jìn)而可求BC=8，由勾股定理可得AH，然后根據(jù)相似三角形的判定及其性質(zhì)可得，，代入數(shù)據(jù)即可求解．
【詳解】
（1）證明：如圖，連接，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴∠BAD＝∠E＝∠C，
∴，即，
∴是的切線．
（2）解：如圖，作，垂足為，
∵，
∴，
∵，
∴△ABC∽△DBA
∴，則，
又，，
∴，
在中，，
由勾股定理求得：，
∵，
∴，
∴，
∴．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識(shí)并正確作輔助線構(gòu)造三角形．
99．（2020·遼寧大連）四邊形內(nèi)接于是的直徑，．

（1）如圖1，求證；
（2）過點(diǎn)D作的切線，交延長線于點(diǎn)P（如圖2）．，求的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）連接證明結(jié)合從而可得結(jié)論；
（2）由為的直徑，得 利用銳角三角函數(shù)求解，連接 交于，證明四邊形為矩形，從而可得答案．
【詳解】
證明：（1）如圖，連接





（2）如圖，連接 交于，
為的直徑，




為的切線，





四邊形為矩形，


【點(diǎn)睛】
本題考查了圓的基本性質(zhì)，考查圓心角，弧，弦的關(guān)系，圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
100．（2020·山東日照）閱讀理解：
如圖1，Rt△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，∠C＝90°，其外接圓半徑為R．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（規(guī)定sin90°＝1）．

探究活動(dòng)：
如圖2，在銳角△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，其外接圓半徑為R，那么：　 　　 ?。ㄓ茫尽ⅲ交颍歼B接），并說明理由．
事實(shí)上，以上結(jié)論適用于任意三角形．
初步應(yīng)用：
在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
綜合應(yīng)用：
如圖3，在某次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小鳳同學(xué)測(cè)量一古塔CD的高度，在A處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂C的仰角為15°，又沿古塔的方向前行了100m到達(dá)B處，此時(shí)A，B，D三點(diǎn)在一條直線上，在B處測(cè)得塔頂C的仰角為45°，求古塔CD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（≈1.732，sin15°＝）
【答案】探究活動(dòng)：＝，＝，＝；初步應(yīng)用：；綜合應(yīng)用：古塔高度約為36.6m．
【解析】
【分析】
探究活動(dòng)：過點(diǎn)C作直徑CD交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，根據(jù)圓周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，從而得出答案；
初步應(yīng)用：根據(jù)，得出，即可得出b的值；
綜合應(yīng)用：由題意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．設(shè)古塔高DC＝x，則BC＝，災(zāi)解直角三角形即可得出答案．
【詳解】
解：探究活動(dòng)：，
理由如下：
如圖2，過點(diǎn)C作直徑CD交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，

∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，
∴sinA＝sinD，sinD＝，
∴，
同理可證：，
∴；
故答案為：＝，＝，＝．
初步應(yīng)用：
∵，
∴，
∴．
綜合應(yīng)用：
由題意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，
∴∠ACB＝30°．
設(shè)古塔高DC＝x，則BC＝，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴古塔高度約為36.6m．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理、解直角三角形，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．



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初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 專題14 圓與正多邊形-2022年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國通用）（第1期）（原卷版）
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初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 專題14 圓與正多邊形-2022年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國通用）（第1期）（解析版）
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