?2023年高三物理二輪常見模型與方法強(qiáng)化專訓(xùn)專練
專題21 電磁組合場模型
特訓(xùn)目標(biāo)
特訓(xùn)內(nèi)容
目標(biāo)1
高考真題（1T—4T）
目標(biāo)2
平面電磁組合場模型（5T—8T）
目標(biāo)3
空間電磁組合場模型（9T—12T）
目標(biāo)4
交變電磁組合場模型（13T—16T）
【特訓(xùn)典例】
一、 高考真題
1．如圖所示，M和N為平行金屬板，質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子從M由靜止開始被兩板間的電場加速后，從N上的小孔穿出，以速度v由C點(diǎn)射入圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，經(jīng)D點(diǎn)穿出磁場，CD為圓形區(qū)域的直徑。已知磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外，粒子速度方向與磁場方向垂直，重力略不計(jì)。
（1）判斷粒子的電性，并求M、N間的電壓U；
（2）求粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（3）若粒子的軌道半徑與磁場區(qū)域的直徑相等，求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t。

【答案】（1）正電，；（2）；（3）
【詳解】（1）帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則可知粒子帶正電。粒子在電場中運(yùn)動(dòng)由動(dòng)能定理可知
解得
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所受洛倫茲力提供向心力，有解得
（3）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)軌道圓弧對應(yīng)的圓心角為，如圖

依題意粒子的軌道半徑與磁場區(qū)域的直徑相等，由幾何關(guān)系，得設(shè)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間聯(lián)立各式解得
2．探究離子源發(fā)射速度大小和方向分布的原理如圖所示。x軸上方存在垂直平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。x軸下方的分析器由兩塊相距為d、長度足夠的平行金屬薄板M和N組成，其中位于x軸的M板中心有一小孔C（孔徑忽略不計(jì)），N板連接電流表后接地。位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的離子源能發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子，其速度方向與y軸夾角最大值為；且各個(gè)方向均有速度大小連續(xù)分布在和之間的離子射出。已知速度大小為、沿y軸正方向射出的離子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后恰好垂直x軸射入孔C。未能射入孔C的其它離子被分析器的接地外罩屏蔽（圖中沒有畫出）。不計(jì)離子的重力及相互作用，不考慮離子間的碰撞。
（1）求孔C所處位置的坐標(biāo)；
（2）求離子打在N板上區(qū)域的長度L；
（3）若在N與M板之間加載電壓，調(diào)節(jié)其大小，求電流表示數(shù)剛為0時(shí)的電壓；
（4）若將分析器沿著x軸平移，調(diào)節(jié)加載在N與M板之間的電壓，求電流表示數(shù)剛為0時(shí)的電壓與孔C位置坐標(biāo)x之間關(guān)系式。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）當(dāng)時(shí)，
【詳解】（1）速度大小為、沿y軸正方向射出的離子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后軌跡如圖

由洛倫茲力提供向心力解得半徑孔C所處位置的坐標(biāo)
（2）速度大小為的離子進(jìn)入磁場后，由洛倫茲力提供向心力解得半徑

若要能在C點(diǎn)入射，則由幾何關(guān)系可得解得如圖

由幾何關(guān)系可得
（3）不管從何角度發(fā)射由（2）可得由動(dòng)能定理解得
（4）孔C位置坐標(biāo)x其中聯(lián)立可得，解得在此范圍內(nèi)，和（3）相同，只與相關(guān)，可得解得由動(dòng)能定理
解得
3．兩塊面積和間距均足夠大的金屬板水平放置，如圖1所示，金屬板與可調(diào)電源相連形成電場，方向沿y軸正方向。在兩板之間施加磁場，方向垂直平面向外。電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖2所示。板間O點(diǎn)放置一粒子源，可連續(xù)釋放質(zhì)量為m、電荷量為、初速度為零的粒子，不計(jì)重力及粒子間的相互作用，圖中物理量均為已知量。求：
（1）時(shí)刻釋放的粒子，在時(shí)刻的位置坐標(biāo)；
（2）在時(shí)間內(nèi)，靜電力對時(shí)刻釋放的粒子所做的功；
（3）在點(diǎn)放置一粒接收器，在時(shí)間內(nèi)什么時(shí)刻釋放的粒子在電場存在期間被捕獲。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）在時(shí)間內(nèi)，電場強(qiáng)度為，帶電粒子在電場中加速度，根據(jù)動(dòng)量定理可知
解得粒子在時(shí)刻的速度大小為方向豎直向上，粒子豎直向上運(yùn)動(dòng)的距離
在時(shí)間內(nèi)，根據(jù)粒子在磁場運(yùn)動(dòng)的周期可知粒子偏轉(zhuǎn)，速度反向，根據(jù)可知粒子水平向右運(yùn)動(dòng)的距離為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖

所以粒子在時(shí)刻粒子的位置坐標(biāo)為，即；
（2）在時(shí)間內(nèi)，電場強(qiáng)度為，粒子受到的電場力豎直向上，在豎直方向
解得時(shí)刻粒子的速度方向豎直向上，粒子在豎直方向上運(yùn)動(dòng)的距離為
在時(shí)間內(nèi)，粒子在水平方向運(yùn)動(dòng)的距離為此時(shí)粒子速度方向向下，大小為，在時(shí)間內(nèi)，電場強(qiáng)度為，豎直方向解得粒子在時(shí)刻的速度粒子在豎直方向運(yùn)動(dòng)的距離粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖

在時(shí)間內(nèi)，靜電力對粒子的做功大小為
電場力做正功；
（3）若粒子在磁場中加速兩個(gè)半圓恰好能夠到達(dá)點(diǎn)，則釋放的位置一定在時(shí)間內(nèi)，粒子加速度時(shí)間為，在豎直方向上；在時(shí)間內(nèi)粒子在水平方向運(yùn)動(dòng)的距離為
在時(shí)間內(nèi)，在豎直方向；在時(shí)間內(nèi)，粒子在水平方向運(yùn)動(dòng)的距離為接收器的位置為，根據(jù)距離的關(guān)系可知解得此時(shí)粒子已經(jīng)到達(dá)點(diǎn)上方，粒子豎直方向減速至用時(shí)，則豎直方向需要滿足解得在一個(gè)電場加速周期之內(nèi)，所以成立，所以粒子釋放的時(shí)刻為中間時(shí)刻；若粒子經(jīng)過一個(gè)半圓到達(dá)點(diǎn)，則粒子在時(shí)間內(nèi)釋放不可能，如果在時(shí)間內(nèi)釋放，經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)一次的最大橫向距離，即直徑，也無法到達(dá)點(diǎn)，所以考慮在時(shí)間內(nèi)釋放，假設(shè)粒子加速的時(shí)間為，在豎直方向上；
之后粒子在時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)半軸，橫向移動(dòng)距離直接到達(dá)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即解得接下來在過程中粒子在豎直方向減速為的過程中
；粒子要在點(diǎn)被吸收，需要滿足代入驗(yàn)證可知在一個(gè)周期之內(nèi)，說明情況成立，所以粒子釋放時(shí)刻為。
4．中國“人造太陽”在核聚變實(shí)驗(yàn)方面取得新突破，該裝置中用電磁場約束和加速高能離子，其部分電磁場簡化模型如圖所示，在三維坐標(biāo)系中，空間內(nèi)充滿勻強(qiáng)磁場I，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向沿x軸正方向；，的空間內(nèi)充滿勻強(qiáng)磁場II，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，方向平行于平面，與x軸正方向夾角為；，的空間內(nèi)充滿沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場。質(zhì)量為m、帶電量為的離子甲，從平面第三象限內(nèi)距軸為的點(diǎn)以一定速度出射，速度方向與軸正方向夾角為，在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)沿軸正方向進(jìn)入磁場I。不計(jì)離子重力。
（1）當(dāng)離子甲從點(diǎn)出射速度為時(shí)，求電場強(qiáng)度的大??；
（2）若使離子甲進(jìn)入磁場后始終在磁場中運(yùn)動(dòng)，求進(jìn)入磁場時(shí)的最大速度；
（3）離子甲以的速度從點(diǎn)沿軸正方向第一次穿過面進(jìn)入磁場I，求第四次穿過平面的位置坐標(biāo)（用d表示）；
（4）當(dāng)離子甲以的速度從點(diǎn)進(jìn)入磁場I時(shí)，質(zhì)量為、帶電量為的離子乙，也從點(diǎn)沿軸正方向以相同的動(dòng)能同時(shí)進(jìn)入磁場I，求兩離子進(jìn)入磁場后，到達(dá)它們運(yùn)動(dòng)軌跡第一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)間差（忽略離子間相互作用）。

【答案】（1）；（2）；（3）（d，d，）；（4）
【詳解】（1）如圖所示

將離子甲從點(diǎn)出射速度為分解到沿軸方向和軸方向，離子受到的電場力沿軸負(fù)方向，可知離子沿軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿軸方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，從到的過程，有；
聯(lián)立解得
（2）離子從坐標(biāo)原點(diǎn)沿軸正方向進(jìn)入磁場I中，在磁場I中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過磁場I偏轉(zhuǎn)后從軸進(jìn)入磁場II中，繼續(xù)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示

由洛倫茲力提供向心力可得，可得為了使離子在磁場中運(yùn)動(dòng)，則離子磁場I運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能從磁場I上方穿出。在磁場II運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能xOz平面穿出，則離子在磁場用運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑需滿足，聯(lián)立可得要使離子甲進(jìn)入磁場后始終在磁場中運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場時(shí)的最大速度為；
（3）離子甲以的速度從點(diǎn)沿z軸正方向第一次穿過面進(jìn)入磁場I，離子在磁場I中的軌跡半徑為
離子在磁場II中的軌跡半徑為離子從點(diǎn)第一次穿過到第四次穿過平面的運(yùn)動(dòng)情景，如圖所示

離子第四次穿過平面的坐標(biāo)為離子第四次穿過平面的坐標(biāo)為
故離子第四次穿過平面的位置坐標(biāo)為（d，d，）。
（4）設(shè)離子乙的速度為，根據(jù)離子甲、乙動(dòng)能相同，可得可得離子甲、離子乙在磁場I中的軌跡半徑分別為，離子甲、離子乙在磁場II中的軌跡半徑分別為，根據(jù)幾何關(guān)系可知離子甲、乙運(yùn)動(dòng)軌跡第一個(gè)交點(diǎn)在離子乙第一次穿過x軸的位置，如圖所示

從點(diǎn)進(jìn)入磁場到第一個(gè)交點(diǎn)的過程，有
；
可得離子甲、乙到達(dá)它們運(yùn)動(dòng)軌跡第一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)間差為
二、 平面電磁組合場模型
5．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xoy中第一、二、四象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。第一、四象限內(nèi)磁場方向垂直紙面向里，第二象限內(nèi)磁場方向垂直紙面向外。第三象限存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場。質(zhì)量為m、電荷量為的粒子甲從點(diǎn)由靜止釋放，進(jìn)入磁場區(qū)域后，與靜止在點(diǎn)、質(zhì)量為的中性粒子乙發(fā)生彈性正碰，碰撞過程中有一半電量轉(zhuǎn)移給粒子乙。不計(jì)粒子重力及碰撞后粒子間的相互作用，求：
（1）電場強(qiáng)度的大小E；
（2）甲乙兩粒子碰撞后，粒子甲第n次經(jīng)過y軸時(shí)甲乙粒子間的距離d；
（3）當(dāng)乙粒子第一次經(jīng)過y軸時(shí)在第二象限內(nèi)施加一沿x軸負(fù)方向、電場強(qiáng)度大小與第三象限電場相同的勻強(qiáng)電場，已知碰后兩粒子在xOy平面內(nèi)均做周期性運(yùn)動(dòng)，且在任一時(shí)刻，粒子沿y軸方向的分速度與其所在位置的x坐標(biāo)的絕對值成正比，甲離子的比例系數(shù)為，乙離子的比例系數(shù)為。求甲乙兩粒子最大速度之比。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）對粒子在電場中有粒子在第四象限內(nèi)的磁場中有根據(jù)幾何關(guān)系有
解得
（2）碰撞過程有；解得；碰后對甲粒子有，解得，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期；可知
當(dāng)甲粒子第一次到達(dá)軸（）時(shí)，乙粒子第二次到達(dá)軸（），兩粒子相距此后每次甲粒子到達(dá)軸時(shí)，乙比甲沿軸多移動(dòng)粒子甲第n次經(jīng)過y軸時(shí)甲乙粒子間的距離
（3）由于只有電場力做功，當(dāng)粒子x方向的位移最大時(shí)速度最大，此時(shí)x軸方向的分速度為零，沿y軸方向的分速度即為合速度，則由動(dòng)能定理有；
解得；則甲乙兩粒子最大速度之比
6．如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy所在的平面內(nèi)，y軸的左側(cè)存在大小為E=2×105N/C、方向沿x軸負(fù)方向的足夠大的勻強(qiáng)電場區(qū)域。y軸的右側(cè)存在三個(gè)依次相切的圓形磁場區(qū)域B1、B2、B3，且三個(gè)圓形磁場區(qū)域都與y軸相切。已知B1、B2磁場區(qū)域半徑為，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1=B2=2T，方向均垂直紙面向里；B3磁場區(qū)域半徑為，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知，方向垂直紙面向里。一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為-q的帶電粒子以初速度v0從A點(diǎn)豎直向下沿直徑方向進(jìn)入B1磁場區(qū)域，恰好沿O1O3方向進(jìn)入B3磁場區(qū)域，然后從O點(diǎn)進(jìn)入電場。不計(jì)帶電粒子的重力，帶電粒子的比荷為=2×105C/kg，求：
（1）帶電粒子的初速度v0和在電場區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的路程；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B3的大小和帶電粒子最后離開磁場區(qū)域的位置坐標(biāo)；
（3）帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間。

【答案】（1），；（2），；（3）
【詳解】（1）粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖

由幾何知識易得所以所以粒子在B1磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑
又由牛頓第二定律解得粒子沿半徑方向飛入圓形磁場，必將沿半徑方向飛出圓形磁場，故粒子進(jìn)入電場時(shí)的速度方向沿x軸負(fù)方向，在電場力的作用下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。由牛頓第二定律得所以粒子在電場中的路程
（2）由幾何知識易得，故粒子在B3磁場區(qū)域內(nèi)的軌跡半徑又由牛頓第二定律解得粒子回到磁場后將繼續(xù)以v0做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的對稱性可知，粒子將從A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)點(diǎn)離開磁場，所以；
即位置坐標(biāo)；
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期由聯(lián)立可得故在B1、B2磁場區(qū)域內(nèi)
在B3磁場區(qū)域粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間所以帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間
7．如圖所示，在xoy平面內(nèi)，有一以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域，圓周與坐標(biāo)軸分別交于 a、b、c、d點(diǎn)。x軸下方圓弧bd與b￠d￠兩個(gè)半圓形同心圓弧，bd和 b￠d￠ 之間的區(qū)域內(nèi)分布著輻射狀的電場，電場方向指向原點(diǎn)O，其間的電勢差為U；x軸上方圓周外區(qū)域，存在著上邊界為y=2R的垂直紙面向里的足夠大勻強(qiáng)磁場，圓周內(nèi)無磁場。圓弧b￠d￠上均勻分布著質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們被輻射狀的電場由靜止加速后通過坐標(biāo)原點(diǎn)O，并進(jìn)入磁場。不計(jì)粒子的重力以及粒子之間的相互作用，不考慮粒子從磁場返回圓形區(qū)域邊界后的運(yùn)動(dòng)。求：
（1）粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度v；
（2）要使粒子能夠垂直于磁場上邊界射出磁場，求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值B0；并求出此時(shí)從磁場上邊界垂直射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（3）當(dāng)磁場中的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為第（2）問中B0的倍時(shí)，求能從磁場上邊界射出粒子的邊界寬度L。

【答案】（1）；（2），；（3）
【詳解】（1）在電場中解得
（2）垂直磁場上邊界射出的粒子的圓心必在磁場上邊界上，作出軌跡如圖所示

設(shè)該粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，若磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到最大值，則r有最小值。由于
當(dāng)r有最小值時(shí)，取最小值，最小值為O點(diǎn)到磁場上邊界的距離2R，根據(jù)幾何關(guān)系有
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有解得設(shè)此時(shí)粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角為θ，則解得帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)周期粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
（3）當(dāng)時(shí)，帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑由幾何知識可知，當(dāng)粒子從d點(diǎn)沿x軸正方向進(jìn)入磁場，粒子從磁場上邊界射出點(diǎn)，為粒子能夠到達(dá)的上邊界的最右端，作出軌跡如圖所示

設(shè)粒子能夠到達(dá)的上邊界的最右端距y軸的距離為x1，則有解得當(dāng)粒子與磁場上邊界相切時(shí)，切點(diǎn)為粒子能夠到達(dá)的上邊界的最左端。設(shè)粒子能夠到達(dá)的上邊界的最左端距y軸的距離為x2，則有
解得則粒子能從磁場上邊界射出粒子的邊界寬度
8．如圖所示，在的區(qū)域內(nèi)存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場。以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)磁場方向看直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知；其余區(qū)域的磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。第四象限內(nèi)有沿y軸負(fù)向電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場，一比荷為k的帶電粒子在加速電場的下極板處無初速釋放，經(jīng)加速后從坐標(biāo)為的a點(diǎn)進(jìn)入磁場，恰能第一次從坐標(biāo)為的b點(diǎn)離開磁場，且粒子經(jīng)過各磁場邊界時(shí)的速度方向均與該邊界線垂直。不計(jì)粒子的重力，求
（1）若粒子未進(jìn)入半圓形區(qū)域內(nèi)磁場，加速電場的電壓多大；
（2）若粒子有進(jìn)入半圓形區(qū)域內(nèi)磁場，求這個(gè)區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）在（2）問中，從粒子由a點(diǎn)飛進(jìn)磁場開始計(jì)時(shí)，求粒子以后第三次到達(dá)x軸的時(shí)間。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）當(dāng)粒子在電場中加速，根據(jù)動(dòng)能定理可得當(dāng)粒子速度較大時(shí)，粒子不進(jìn)入半圓形區(qū)域內(nèi)磁場，在磁場B1中直接從a點(diǎn)經(jīng)半圓周到達(dá)b點(diǎn)，此時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r1=2R根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得聯(lián)立解得
（2）若粒子有進(jìn)入半圓形區(qū)域內(nèi)磁場，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖

設(shè)進(jìn)入磁場B1的半徑為r2，則由幾何關(guān)系可得解得則；θ=37°
粒子在B2中的運(yùn)動(dòng)半徑為 根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得 ；
聯(lián)立解得
（3）粒子在磁場B1中運(yùn)動(dòng)的周期在磁場B2中運(yùn)動(dòng)的周期從粒子由a點(diǎn)飛進(jìn)磁場開始計(jì)時(shí)，粒子第一次到達(dá)x軸的時(shí)間解得以后粒子進(jìn)入下方的電場中，先做減速運(yùn)動(dòng)，后做反向的加速運(yùn)動(dòng)，在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間第二次回到x軸時(shí)需要的時(shí)間
然后在上方磁場中做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，則第三次回到x軸時(shí)需要的時(shí)間

三、 空間電磁組合場模型
9．如圖所示，截面半徑為l的圓柱形空腔位于三維坐標(biāo)系Oxyz中，分為I、II、III三個(gè)區(qū)域。的I區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)磁場；的II區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場；III區(qū)域內(nèi)同時(shí)存在沿z軸正方向的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度與II區(qū)域相等?，F(xiàn)有一帶電粒子從點(diǎn)，以大小為的速度垂直磁場進(jìn)入I區(qū)域，經(jīng)點(diǎn)沿著z軸進(jìn)入II區(qū)域，然后經(jīng)過點(diǎn)進(jìn)入III區(qū)域，粒子恰好未從圓柱腔的側(cè)面射出，最終從右邊界上點(diǎn)離開區(qū)域III。已知粒子的質(zhì)量為m，電荷量為+q，不計(jì)粒子重力，求：
（1）I區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；
（2）II區(qū)域電場強(qiáng)度的大小E；
（3）III區(qū)域沿z軸的寬度L。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）I區(qū)域內(nèi)粒子在xOz平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖

由幾何關(guān)系得由牛頓第二定律得解得
（2）II區(qū)域內(nèi)粒子在yOz平面內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，z軸方向，y軸方向；
聯(lián)立解得
（3）進(jìn)入Ⅲ區(qū)域后做螺旋線運(yùn)動(dòng)，粒子在M點(diǎn)沿y軸方向的分速度為解得粒子在xOy平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖

由幾何關(guān)系可知可解得則粒子在xOy平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期設(shè)由M到N時(shí)間為t2，由于M、N兩點(diǎn)y坐標(biāo)相同，則有粒子沿z軸的正方向做初速度為的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得代入數(shù)據(jù)解得
10．在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，y軸正方向豎直向上，在平面上方存在勻強(qiáng)電場，方向沿y軸負(fù)方向；在平面下方存在勻強(qiáng)磁場，方向可以調(diào)整。某時(shí)刻一質(zhì)量為m，帶電量為q的帶正電粒子自y軸上的M點(diǎn)射出，初速度大小為，方向沿x軸正方向。已知M點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為d，粒子第一次到達(dá)平面時(shí)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離也為d，平面下方磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小始終為，不計(jì)粒子的重力。
（1）求粒子第一次到達(dá)平面時(shí)的速度大?。?br /> （2）若平面下方的磁場沿y軸正方向，要使粒子到達(dá)該區(qū)域后做直線運(yùn)動(dòng)，可以在該區(qū)域再疊加一勻強(qiáng)電場，求該勻強(qiáng)電場電場強(qiáng)度的大小和方向；
（3）若平面下方的磁場沿z軸正方向，求粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與平面交點(diǎn)的x坐標(biāo)；
（4）若平面下方的磁場沿x軸正方向，求粒子第N次到達(dá)平面時(shí)的坐標(biāo)。

【答案】（1）；（2），沿z軸負(fù)方向；（3）（）；（4）見解析
【詳解】（1）粒子第一次在電場中運(yùn)動(dòng)的過程，沿x軸方向沿y軸方向粒子第一次到達(dá)平面時(shí)的速度大小，解得
（2）要使粒子在平面下方做直線運(yùn)動(dòng)，勻強(qiáng)電場強(qiáng)度方向應(yīng)沿z軸負(fù)方向得電場強(qiáng)度
（3）設(shè)粒子進(jìn)入磁場時(shí)與x軸方向的夾角為，則

粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)每次在磁場中運(yùn)動(dòng)過程沿x軸負(fù)方向移動(dòng)的距離為每次在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，沿x軸正方向移動(dòng)的距離為歸納得粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與平面交點(diǎn)的x坐標(biāo)為（）
（4）粒子每次在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，沿x軸正方向移動(dòng)的距離為在磁場中垂直于x軸的平面上，粒子以大小為的速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)粒子每次在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
粒子每次進(jìn)入磁場后沿x軸正方向移動(dòng)的距離粒子每次進(jìn)入磁場后沿z軸正方向移動(dòng)的距離
歸納得，粒子到達(dá)平面時(shí)y坐標(biāo)始終是0，x和z坐標(biāo)分別為
①、3、5、7、…時(shí)；
②、4、6、8、?時(shí)；
11．如圖所示，和分別是核長為a的立方體Ⅰ和Ⅱ，點(diǎn)跟坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)重合。在的空間內(nèi)充滿電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場，在的空間內(nèi)充滿方向垂直于平面向里的勻強(qiáng)磁場，強(qiáng)度未知。某種帶正電粒子（不計(jì)重力）從點(diǎn)以速度沿方向進(jìn)入電場，恰好從平面的中心點(diǎn)沿z軸負(fù)方向進(jìn)入立方體Ⅱ，且恰好達(dá)到立方體Ⅱ的體對角線。不考慮電場和磁場的邊緣效應(yīng)，求：
（1）帶電粒子的比荷，電場的方向與z軸夾角的正切值；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和粒子離開立方體Ⅱ時(shí)的坐標(biāo)；
（3）若粒子進(jìn)入立方體Ⅱ后，的空間內(nèi)的電場方向立刻變?yōu)樨Q直向下，場強(qiáng)大小保持不變。那么，要使粒子能夠垂直于邊射出，在磁場方向不變在情況下，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)調(diào)為多大？并求粒子從開始進(jìn)入磁場到從邊上射出所用的時(shí)間。

【答案】（1），；（2），；（3）（其中：，1，2，3，…），（其中：，1，2，3，…）
【詳解】（1）設(shè)帶電粒子的電荷量為q、質(zhì)量為m，電場跟z軸負(fù)方向的夾角為，如圖所示；粒子從點(diǎn)到的中心點(diǎn)歷時(shí)為t

沿方向；沿z軸方向；解得

（2）由（1）可得設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，由幾何關(guān)系得

其中解得設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得解得設(shè)粒子離開立方體Ⅱ時(shí)，在z軸負(fù)方向的坐標(biāo)，則由幾何關(guān)系得

解得所以，粒子離開磁場時(shí)的坐標(biāo)為。
（3）要使粒子垂直于射出，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)運(yùn)動(dòng)半徑為R，則由幾何關(guān)系得

（其中：，1，2，3，…）；解得（其中：，1，2，3，…）設(shè)粒子從開始進(jìn)入磁場到從邊上射出，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則解得
設(shè)粒子在電場中一個(gè)來回運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則由動(dòng)量定理得解得
所以，運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為（其中：，1，2，3，…）
12．如圖所示，Oxyz為空間直角坐標(biāo)系，在xd的空間II存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小、方向沿x軸正方向的勻強(qiáng)磁場?，F(xiàn)將一帶負(fù)電的粒子從x軸上的點(diǎn)以初速度射入空間I的磁場區(qū)域，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從y軸上的點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入空間II，并從x軸上的點(diǎn)進(jìn)入空間III。已知粒子的電荷量大小為q，質(zhì)量為m，不計(jì)重力。求：
（1）空間I內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和空間II內(nèi)電場的電場強(qiáng)度大小E；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)過程中，距離x軸的最大距離；
（3）粒子進(jìn)入空間II后，每次經(jīng)過x軸時(shí)的橫坐標(biāo)。

【答案】（1），；（2）；（3）
【詳解】（1）設(shè)粒子在空間I的磁場中的軌跡半徑為，由幾何關(guān)系可得解得
由洛倫茲力提供向心力可得解得粒子在空間II做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿y軸方向的加速度大小沿x軸方向運(yùn)動(dòng)有沿y軸方向運(yùn)動(dòng)有解得
（2）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，粒子速度偏向角正切值為粒子經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)，沿軸負(fù)方向的分速度大小為沿x軸正方向的分速度大小為粒子在空間III內(nèi)垂直于磁場的分速度使粒子在平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力可得解得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)距x軸的最大距離為
（3）粒子在空間III內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為粒子在空間III內(nèi)沿x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，粒子在一個(gè)周期內(nèi)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)的距離所以粒子在空間III中每次經(jīng)過x軸時(shí)的橫坐標(biāo)為

四、 交變電磁組合場模型
13．如圖甲所示，板長為L、板間距離為d的平行金屬板，虛線PO為兩板間的中軸線。緊靠板右側(cè)有一直徑為d的半圓型磁場區(qū)域，勻強(qiáng)磁場垂直紙面向里。兩板間加電壓（U未知）如圖乙所示，電壓變化周期為T（可調(diào)）。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從P點(diǎn)沿虛線方向以初速度持續(xù)射入。若，所有粒子剛好都打不到上下兩極板，粒子的重力以及粒子間的相互作用力不計(jì)。
（1）求U的大小；
（2）若時(shí)刻進(jìn)入的粒子經(jīng)過磁場后恰好能回到電場，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；
（3）若，磁感應(yīng)強(qiáng)度，求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：垂直于初速度方向，初速度方向
所以
（2）t=T/4時(shí)刻進(jìn)入的粒子進(jìn)入磁場前位置離中軸線的距離為y、速度為v，則
所以；設(shè)軌跡圓半徑為，則；所以
（3）因?yàn)?，設(shè)t時(shí)刻進(jìn)入的粒子經(jīng)過一個(gè)周期T在豎直方向上的速度為，則
即任意時(shí)刻進(jìn)入的粒子，飛出電場時(shí)的速度均為；
即粒子在磁場中的軌跡圓半徑均為d，如圖設(shè)從Q點(diǎn)進(jìn)入磁場的粒子剛好從磁場的最右邊界射出，其時(shí)間最長，速度偏轉(zhuǎn)角為θ，則

即又粒子在電場中豎直位移的最大值即粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間
14．如圖甲所示，在坐標(biāo)系第一象限內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖乙所示；與軸平行的虛線下方有沿方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度。時(shí)刻，一個(gè)帶正電粒子從點(diǎn)以的速度沿方向射入磁場。已知電場邊界到軸的距離為，粒子的比荷，不計(jì)粒子的重力。求：
（1）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)距軸的最大距離；
（2）粒子經(jīng)過軸且與點(diǎn)速度相同的時(shí)刻；
（3）若粒子經(jīng)過軸與軸成角，求點(diǎn)的坐標(biāo)。

【答案】（1）0.4m；（2）；（3）或
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有
解得半徑為粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，到軸的最大距離為
（2）根據(jù)題意可知，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為由磁場變化規(guī)律可知，它在（即）時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，接著沿方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)直至電場邊界點(diǎn)，則有進(jìn)入電場后做勻減速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，由牛頓第二定律可得，粒子的加速度為粒子從點(diǎn)減速至再反向加速至所需的時(shí)間為
接下來，粒子沿軸方向勻速運(yùn)動(dòng)至所需時(shí)間仍為，磁場剛好恢復(fù)，粒子將在洛倫茲力的作用下從做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)時(shí)間，粒子將運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，軌跡如圖所示

此后將重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)過程，所以粒子經(jīng)過軸，且與點(diǎn)速度相同的時(shí)刻有
（3）由上問可知，粒子每完成一次周期性的運(yùn)動(dòng)，將向方向平移（即從P點(diǎn)移到F點(diǎn)），粒子速度方向與y軸夾角成60°，有兩種情況：若與y軸正方向?yàn)閵A角60°，則有
即若與y軸負(fù)方向夾角為60°，則有
即
15．如圖甲所示，半徑的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的邊界處有一粒子放射源，能以的速度向區(qū)域內(nèi)各個(gè)方向均勻發(fā)射比荷為的帶正電粒子；粒子經(jīng)過磁場后全部向右水平飛出，接著剛好全部進(jìn)入兩塊水平放置的平行金屬板A、B間，兩板間距為，板長，板間加如圖乙所示的方形波電壓，不考慮電容器的邊緣效應(yīng)，也不考慮擊中極板的粒子對板間電壓的影響，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用力。求：
（1）圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）能射出電場的粒子中，射出電場時(shí)距離B板至少多高?
（3）若在極板右側(cè)加一垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可在范圍內(nèi)緩慢調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場，并在空間某處豎直放置一塊收集板，為使所有射出電場的粒子都能被收集板吸收，求收集板的最小長度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系。

【答案】（1）0.01T；（2）0.005m；（3）
【詳解】（1）粒子經(jīng)過磁場后全部向右水平飛出，沿極板中心進(jìn)入的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡和圓心如圖

根據(jù)幾何知識可知軌跡圓半徑和磁場圓半徑相等，由洛倫茲力提供向心力有解得方向垂直紙面向外；
（2）能射出電場的粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為若零時(shí)刻，粒子從靠近B板進(jìn)入電場，，A板帶正電B板帶負(fù)電，粒子向下做類平拋運(yùn)動(dòng)，粒子的加速度為
豎直方向的位移為
，A板帶負(fù)電B板帶正電，粒子向下做類平拋運(yùn)動(dòng)，粒子的加速度為
第一段類平拋運(yùn)動(dòng)的末速度和第二段類斜拋運(yùn)動(dòng)的初速度相同，第二段豎直方向做減速運(yùn)動(dòng)，則有解得第二段斜拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向的位移為當(dāng)斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡與B板相切時(shí)如圖，射出電場時(shí)粒子距離B板最小，最小距離為

（3）由（2）計(jì)算可知D點(diǎn)豎直方向速度大小為
D點(diǎn)速度為設(shè)D點(diǎn)速度與水平方向夾角為 ，則有；
速度與水平方向夾角為。電場邊界有粒子射出的區(qū)域如圖所示,區(qū)域長度為


當(dāng)粒子進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡隨B1變化可能如下圖所示，設(shè)半徑為R

由幾何關(guān)系可知根據(jù)洛倫茲力提供向心力有解得收集板的最小長度為

16．如圖甲所示，一對平行金屬板C、D，O、O1為兩板上正對的小孔，緊貼D板右側(cè)存在上下范圍足夠大、寬度為L的有界勻強(qiáng)磁場區(qū)，磁場方向垂直紙面向里，MN、GH是磁場的左、右邊界?，F(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子從O孔進(jìn)入C、D板間，粒子初速度和重力均不計(jì)。
（1）C、D板間加恒定電壓U，C板為正極，板相距為d，求板間勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E和粒子從O運(yùn)動(dòng)到O1的時(shí)間t；
（2）C、D板間加如圖乙所示的電壓，U0、T為已知量。t＝0時(shí)刻帶電粒子從O孔進(jìn)入，為保證粒子到達(dá)O1孔具有最大速度，求粒子到達(dá)O1孔的最大速度vm和板間d應(yīng)滿足的條件；
（3）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t′的變化關(guān)系如圖丙所示，B0為已知量，周期。t′＝0時(shí)刻，粒子從O1孔沿OO1延長線O1O2方向射入磁場，始終不能穿出右邊界GH，求粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度v應(yīng)滿足的條件。

【答案】（1）；（2），；（3）
【詳解】（1）板間勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)為E粒子在板間的加速度為根據(jù)位移﹣時(shí)間關(guān)系有d
解得
（2）粒子一直加速到達(dá)O1孔速度最大，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t0，則有 當(dāng)U取U0時(shí)，解得
由動(dòng)能定理有qU0解得vm =
（3）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B0、2B0時(shí)，設(shè)粒子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)半徑分別為r1、r2，周期分別為T1、T2，根據(jù)洛侖茲力提供向心力可得qvB0＝m解得r1=且有同理可得r2=
且有故0～粒子以半徑r1逆時(shí)針轉(zhuǎn)過四分之一圓周，～T0粒子以半徑r2逆時(shí)針轉(zhuǎn)過二分之一圓周，T0～粒子以半徑r1逆時(shí)針轉(zhuǎn)過四分之一圓周，～2T0粒子以半徑r2逆時(shí)針轉(zhuǎn)過二分之一圓周，2T0～粒子以半徑r1逆時(shí)針轉(zhuǎn)過四分之一圓周，～3T0粒子以半徑r2逆時(shí)針轉(zhuǎn)過二分之一圓周，3T0～粒子以半徑r1逆時(shí)針轉(zhuǎn)過四分之一圓周后從左邊界飛出磁場，如圖所示

由幾何關(guān)系有r1+r2≤L解得






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