?專題七　鱷魚模型
【方法總結(jié)】
鱷魚模型即普通三棱錐模型，用找球心法可以解決．如果已知其中兩個面的二面角，則可用秒殺公式：R2＝＋(其中l(wèi)＝|AB|)解決．

【例題選講】
[例]　(1)在三棱錐中，和均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球的表面積為________．
答案　　解析　如圖，取中點，連接，，因為與均為邊長為2的等邊三角形，所以，，則為二面角的平面角，即，設(shè)與外接圓圓心分別為，，則由，可得，，分別過作平面，平面的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點，記為，連接，，則由對稱性可得，所以，則，則三棱錐外接球的表面積，

(2)在等腰直角中，，，為斜邊的高，將沿折疊，使二面角為，則三棱錐的外接球的表面積為________．
答案　　解析　沿折疊后二面角為，即折疊后，所以為等邊三角形，又因為，所以折疊后，設(shè)點為三棱錐外接球的球心，為的外心，所以，所以，又，所以球心半徑，所以．
(3)在四面體ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A－BD－C的大小為150°，則四面體ABCD外接球的半徑為________．
答案　　解析　因為∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，設(shè)BD的中點為O2，則O2為△BCD外接圓的圓心，由AB＝AD＝2，∠BAD＝60°知，△ABD為等邊三角形，設(shè)△ABD的外接圓的圓心為O1，連接AO2，則O1在線段AO2上，過O1，O2分別作平面ABD與平面BDC的垂線，交于點O，則O為四面體ABCD外接球的球心，過O2在平面BCD內(nèi)作O2E⊥BD，交DC于點E，則∠AO2E＝150°，所以∠AO2O＝60°，又O1O2＝，所以O(shè)O1＝1，連接OA，又AO1＝，所以O(shè)A＝＝＝．
(3)在三棱錐S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是－，若S，A，B，C都在同一球面上，則該球的表面積是(　　)
A．4π　　　　　　　　B．6π　　　　　　　　C．8π　　　　　　　　D．9π
答案　B　解析　如圖，取AC的中點D，連接SD，BD．因為SA＝SC，AB＝BC，所以SD⊥AC，BD⊥AC，可得∠SDB即為二面角S－AC－B的平面角，故cos∠SDB＝－．在△ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，則AC＝＝2，所以CD＝AD＝1．在Rt△SDC中，SD＝＝＝，同理可得BD＝1，由余弦定理得cos∠SDB＝＝－，解得SB＝．在△SCB中，SC2＋CB2＝4＋2＝()2＝SB2，所以△SCB為直角三角形，同理可得△SAB為直角三角形，取SB的中點E，則SE＝EB＝，在Rt△SCB與Rt△SAB中，EA＝＝，EC＝＝，所以點E為該球的球心，半徑為，所以該球的表面積為S＝4×π×＝6π，故選B．

(4)已知三棱錐中，，，，，且二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　D　解析　取中點，中點，易知，，，且平面平面，作交的延長線于，則平面，球心在過與平面垂直的直線上如圖：作于，設(shè)，由已知條件可得，，，，從而，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，由解得，，，
(5)在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大值為時，三棱錐的外接球的表面積為________．
答案　　解析　如圖所示，過點作面，垂足為，過點作交于點，連接，則為二面角的平面角的補角，即有，易知面，則，而為等邊三角形，所以為中點，設(shè)，，，則，故三棱錐的體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時，體積最大，則，即，，所以、、三點共線，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，過點作于，則四邊形為矩形，則，，，在中，，解得，三棱錐的外接球的表面積為．
(6)在體積為的四棱錐中，底面為邊長為2的正方形，為等邊三角形，二面角為銳角，則四棱錐外接球的半徑為　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　A　解析　取的中點，的中點，連接，，，過作于，由，可得，，所以面，可得，，所以面，所以，解得，而為等邊三角形，所以，所以，所以可得，可得，，，所以，所以，取的中點，即四邊形的對角線的交點，，過作垂直于底面，可得，取為外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，連接，，則可得，過作于，則四邊形為矩形，所以，，當(dāng)，在面的同側(cè)時，在中，①，在中，②，由①②可得（舍，當(dāng)，在面的兩側(cè)時，在中，③，過在中，②，由②③可得，，所以，
【對點訓(xùn)練】
1．在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐
外接球的表面積是　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
2．已知三棱錐，，且、均為等邊三角形，二面角的平面角為，
則三棱錐外接球的表面積是________．
3．已知邊長為6的菱形中，，沿對角線折成二面角的大小為的四面
體且，則四面體的外接球的表面積為________．
4．在三棱錐中，頂點在底面的投影是的外心，，且面與底面
所成的二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為________．
5．直角三角形，，，將繞邊旋轉(zhuǎn)至位置，若二面角
的大小為，則四面體的外接球的表面積的最小值為　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
6．已知空間四邊形中，，，，若二面角的取值范圍
為，，則該幾何體的外接球表面積的取值范圍為________．
7．在三棱錐中，底面是邊長為3的等邊三角形，，，二面角
的大小為，則此三棱錐的外接球的表面積為________．
8．在四面體中，，，二面角的平面角為，則
四面體外接球的表面積為　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
9．在三棱錐中，，，二面角是鈍角．若三棱錐
的體積為2．則三棱錐的外接球的表面積是　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
10．在平面五邊形中，，，，，且．將
五邊形沿對角線折起，使平面與平面所成的二面角為，則沿對角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是________．

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