?天津市和平區(qū)2021屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)查
數(shù)學(xué)試卷
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分，考試時(shí)間120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至8頁。
祝各位考生考試順利！
第 Ⅰ 卷
注意事項(xiàng)：
1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂在答題卡上；
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號；
3．本卷共9小題，每小題5分，共45分。

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
（1）設(shè)全集為，集合A={1，3，6 }，集合B={2，3，4，5}，則集合（ ）．
（A） （B） （C） （D）
（2）設(shè)x∈R，則“”是“”的（ ）．
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分又不必要條件
（3）函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（ ）.

（A） （B） （C） （D）

（4）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）．
（A）a＞c＞b （B）b＞c＞a
（C）c＞a＞b （D）c＞b＞a


x
y


O
2

（5） 已知函數(shù)的
部分圖象如圖所示，則的解析式為（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
（6）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（ ）．
（A）65 （B）16 （C）15 （D）14
（7）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則等于（ ）．
（A）2 （B）4 （C） （D）
（8）若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)在上的最小值是（ ）．
（A） （B） （C） （D）0
（9）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）



第 Ⅱ 卷
注意事項(xiàng)：
1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答題；
2．本卷共12小題，共105分。

二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分。
（10）設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_______．
（11）都成立，則的取值范圍是 ．
（12）在中，，則的面積等于 ．
（13）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，若，則的值為 ?．
（14）已知均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值為 ．
（15）若函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍
是 ?．

三、解答題：本大題共5題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（16）（本小題滿分14分）
已知函數(shù)為二次函數(shù)，的圖象過點(diǎn)，對稱軸為，函數(shù)在上的最小值為.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)的最小值（用表示）.



（17）（本小題滿分15分）
在中，內(nèi)角所對的邊分別為 已知.
（Ⅰ）求角的大??；
（Ⅱ）設(shè)，求和的值.
（18）（本小題滿分15分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）若且，求；
（Ⅱ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

（19）（本小題滿分15分）
已知函數(shù)其中是常數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.
．
（20）（本小題滿分16分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和
數(shù)列滿足：
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求

天津市和平區(qū)2021屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)查
數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：（本題共9小題，每題5分，共45分）
題 號
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
答 案
D
B
D
A
B
C
C
D
A
二、填空題：（本題共6小題，每題5分，共30分）
（10） （11） （12）
（13）60 （14）3 （15）

三、解答題．共75分．
（16）本小題滿分14分．
（Ⅰ）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，其中． ……1分
由題意可知， ………………4分
解得． ………………5分
所以的解析式為． ………………6分
（Ⅱ）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)的最小值為
； ………………8分
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值為； ………………11分
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值為． ………………13分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為． ………………14分



（17）本小題滿分15分．
（Ⅰ）解：由已知及正弦定理可得．
因?yàn)?，所以，故，……………?分
即．
整理得，所以．………………………………4分
因?yàn)椋裕? ………………………………5分
（Ⅱ）解：根據(jù)余弦定理，，解得．
因?yàn)?，所以? ………………………………7分
根據(jù)正弦定理，，解得． ……………………9分
又因?yàn)?，所以，則．………………10分
可求得，． ……14分
則．…………………………15分

（18）本小題滿分15分．
（Ⅰ）解：因?yàn)?，且，所以．?分
故． ………………………………5分
（Ⅱ）解：因?yàn)? ……9分
，………………11分
所以函數(shù)的最小正周期為． ………………………………12分
設(shè)，由的單調(diào)遞增區(qū)間是，，
令，解得，．…………14分
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，． …………15分
（19）本小題滿分15分．
（Ⅰ）解：，．
當(dāng)時(shí)，，．………………………………3分
設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
所以直線即為所求． ………………………………5分
（Ⅱ）解：令，解得，或． ………………6分
當(dāng)，即時(shí)，對于任意都有，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，不存在符合題意的實(shí)數(shù)k． ………………………………8分
當(dāng)，即時(shí)，，隨的變化情況如下表：













極小值

所以函數(shù)在上的最小值為，且當(dāng)時(shí)，
有． ………………………………12分
因此，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只需曲線與直線的圖象在區(qū)間有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
故．
綜上所述，的取值范圍是．……………………………15分

（20）本小題滿分16分．
（Ⅰ）解：由已知，當(dāng)時(shí)，； ……………………………2分
當(dāng)時(shí)，，且該式也適用于的情況．
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，． ………………………5分
由（），可知當(dāng)時(shí)，，因此．
可知當(dāng)（）時(shí)，； …………………7分
當(dāng)（）時(shí)，．…………………………9分
所以，的通項(xiàng)公式為 ………………10分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知．
記，．則 ………………………………11分
，
，
上述兩式相減，得，
整理得． ………………………………13分
又有，
，
上述兩式相減，得
，
整理得． ……………………………15分
所以．……………………………16分


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