?東莞中學(xué)?廣州二中?惠州一中?深圳實驗?珠海一中?中山紀念中學(xué)2024屆高三第一次六校聯(lián)考試題
數(shù)學(xué)
本試卷共22題，滿分150分，考試用時120分鐘
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等信息填涂在答題卡的指定位置.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將解答過程寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，只需將答題卡上交.
一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.或
2.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則的離心率等于（ ）
A. B.3 C. D.2
4.某種包裝的大米質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，根據(jù)檢測結(jié)果可知，某公司購買該種包裝的大米1000袋，則大米質(zhì)量以上的袋數(shù)大約是（ ）
A.5 B.10 C.20 D.40
5.已知等差數(shù)列的公差不為且成等比數(shù)列，其前項和為，則（ ）
A. B.
C. D.
6.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05，若發(fā)送信號0和1是等可能的，則接受信號為1的概率為（ ）
A.0.475 B.0.525 C.0.425 D.0.575
7.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.某學(xué)校組建了辯論?英文劇場?民族舞?無人機和數(shù)學(xué)建模五個社團，高一學(xué)生全員參加，且每位學(xué)生只能參加一個社團.學(xué)校根據(jù)學(xué)生參加情況繪制如下統(tǒng)計圖，已知無人機社團和數(shù)學(xué)建模社團的人數(shù)相等.下列說法正確的是（ ）

A.高一年級學(xué)生人數(shù)為120人
B.無人機社團的學(xué)生人數(shù)為17人
C.若按比例分層抽樣從各社團選派20人，則無人機社團選派人數(shù)為3人
D.若甲?乙?丙三人報名參加社團，則共有60種不同的報名方法
10.已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A.的圖象關(guān)于直線對稱
B.的圖象關(guān)于點對稱
C.在區(qū)間上單調(diào)遞增
D.當時，
11.如圖，正方體的棱長為2，若點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.直線可能與平面相交
B.三棱錐與三棱錐的體積之和為
C.的周長的最小值為
D.當點是的中點時，與平面所成角最大
12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.的解集為
B.當時，
C.有且只有兩個零點
D.
三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.幸福指數(shù)是衡量人們對自身生存和發(fā)展狀況的感受和體驗，即人們的幸福感的一種指數(shù).某機構(gòu)從某社區(qū)隨機調(diào)查了12人，得到他們的幸福指數(shù)（滿分：10分）分別是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)（也稱第一四分位數(shù)）是__________.
14.已知的展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中第5項是__________.
15.設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖像都有對稱中心，其中滿足.已知三次函數(shù)，若，則__________.
16.法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓，已知橢圓，則C的蒙日圓O的方程為__________；在圓上總存在點P，使得過點P能作橢圓C的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是__________.（第一空2分，第二空3分）
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（本小題10分）
已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列是以1為首項，公比為3的等比數(shù)列.
（1）求和；
（2）令，求數(shù)列的最大項.






18.（本小題12分）
在中，為中點，.
（1）若，求的面積；
（2）若，求的長.









19.（本小題12分）.
如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，平面是棱上的動點.

（1）當是棱的中點時，求證：平面：
（2）若，求點到平面距離的范圍.










20.（本小題12分）
某企業(yè)擁有甲?乙兩條零件生產(chǎn)線，為了解零件質(zhì)量情況，采用隨機抽樣方法從兩條生產(chǎn)線共抽取180個零件，測量其尺寸（單位：）得到如下統(tǒng)計表，其中尺寸位于的零件為一等品，位于）和的零件為二等品，否則零件為三等品.
生產(chǎn)線







甲
4
9
23
28
24
10
2
乙
2
14
15
17
16
15
1
（1）完成列聯(lián)表，依據(jù)的獨立性檢驗?zāi)芊裾J為零件為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)？

一等品
非一等品
合計
甲



乙



合計



（2）將樣本頻率視為概率，從甲?乙兩條生產(chǎn)線中分別隨機抽取1個零件，每次抽取零件互不影響，以表示這2個零件中一等品的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望，
（3）已知該企業(yè)生產(chǎn)的零件隨機裝箱出售，每箱60個.產(chǎn)品出廠前，該企業(yè)可自愿選擇是否對每箱零件進行檢驗.若執(zhí)行檢驗，則每個零件的檢驗費用為5元，并將檢驗出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)行檢驗，則對賣出的每個三等品零件支付120元賠償費用，現(xiàn)對一箱零件隨機檢驗了20個，檢出了1個三等品.將從兩條生產(chǎn)線抽取的所有樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望作為決策依據(jù)，是否需要對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.
附：，其中






21.（本小題12分）
已知橢圓的離心率為，左?右焦點分別為，短軸的頂點分別為，四邊形的面積為（點在軸的上方）為橢圓上的兩點，點在軸上.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，且直線與圓相切于點，求.





























22.（本小題12分）
已知函數(shù).
（1）若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)和有公切線，求實數(shù)的取值范圍.



















2024屆高三第一次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案
一?單選題，二多選題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
C
B
A
D
AC
BC
BD
ABD
三?填空題（第16題第一問2分，第二問3分）
13.7.85 14. 15.-2 16.
四?解答題
17.解：（1）解法一：因為數(shù)列是以1為首項，公比為3的等比數(shù)列，
所以，因為，所以.
因為數(shù)列是等差數(shù)列，
所以，即，解得
所以，所以.
解法二：因為數(shù)列是以1為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，
因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則.
所以，
所以所以
（2）因為，
當時，；當時，；當時，.
當時，，即，.
所以數(shù)列的最大項是第10項
18.解：（1）在中，，
由余弦定理可知，
因為，所以，
所以；
（2）在中，設(shè)，則由正弦定理，
即，得，所以，
，
所以，
所以，.
由正弦定理得：，即.
19.解：（1）證明：因為平面平面，且平面平面，所以.
取的中點，連接，
因為是棱的中點，所以，且，
因為且，所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
因為平面平面，所以平面..
（2）取的中點，連接.
因為是正三角形，所以.
又因為平面平面，平面平面平面，
所以，平面.
因為為的中點，所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
因為，則，
以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，所以，
設(shè)，其中，則，
設(shè)平面的法向量，
所以，
令，得，
設(shè)點到平面距離為.
當時，；
當時，，則，
當且僅當時等號成立.
綜上，點到平面距離的取值范圍是.
20.解：（1）由題意得列聯(lián)表如下：

一等品
非一等品
合計
甲
75
25
100
乙
48
32
80
合計
123
57
180


依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認為零件是否為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián).
（2）由已知任取一個甲生產(chǎn)線零件為一等品的概率為，
任取一個乙生產(chǎn)線零件為一等品的概率為，
的所有可能取值為，則

的分布列為：

0
1
2





（3）由已知零件為三等品的頻率為，
設(shè)余下的40個零件中三等品個數(shù)為，則，

設(shè)檢驗費用與賠償費用之和為，若不對余下的所有零件進行檢驗，則，所以，
若對余下的所有零件進行檢測，則檢驗費用為元，
應(yīng)對剩下零件進行檢驗..
21.解：（1）由題意知，四邊形為菱形，面積為，即，
又，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)，直線的方程為，
由得，聯(lián)立得，

則，由，
得，
所以，
化簡得，易知原點到直線的距離，
又直線與圓相切，
所以，即
由，
得，即，
解得，則，滿足，所以，
在Rt中，.
22.解：（1）由題意，當時，
設(shè)，
則，
，
令，得（舍負），.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
.
根據(jù)題意的取值范圍為
（2）設(shè)函數(shù)在點處與函數(shù)在點處有相同的切線，
則
，
，代入.
得
問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程有解，
設(shè)，則函數(shù)有零點，
，
當時，.
問題轉(zhuǎn)化為：的最小值小于或等于0.
，
設(shè)，則
當時，，當時，.
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
的最小值為.
由知，
故.
設(shè)，
則，故在上單調(diào)遞增，
當時，，
的最小值等價于.
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，

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