?第17講　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)


1.角的概念的推廣
(1)定義:角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著　　　　從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形. ?
(2)分類:按旋轉(zhuǎn)方向分為　　　　、　　　　和零角;按終邊位置分為　　　　和軸線角.?
(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S=　. ?
2.弧度制的定義和公式
(1)定義:把長度等于　　　　的弧所對的圓心角叫作1弧度的角.弧度記作rad. ?
(2)公式:

角α的弧度數(shù)的絕對值
|α|=(弧長用l表示)
角度與弧度的換算
①1°= rad,②1 rad=°
弧長公式
弧長l=　　　?
扇形面積公式
S=lr=|α|r2

3.任意角的三角函數(shù)
(1)定義:設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sin α=　　　,cos α=　　　,tan α=(x≠0).?
(2)幾何表示(單位圓中的三角函數(shù)線):圖3-17-1中的有向線段OM,MP,AT分別稱為角α的　　　　　、　　　　　和　　　　　.?

(Ⅰ)　　　　　　 (Ⅱ)

(Ⅲ)　　　　　　 (Ⅳ)
圖3-17-1

常用結(jié)論
象限角與軸線角
(1)象限角

(2)軸線角



題組一　常識題
1.[教材改編] 終邊落在第一象限角平分線上的角的集合是　　　　　　　　　.?
2.[教材改編] (1)67°30'=　　　　rad;(2)= 　　　　°.?
3.[教材改編] 半徑為120 mm的圓上長為144 mm的弧所對圓心角α的弧度數(shù)是　　　　.?
4.[教材改編] 若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1,2),則sin α-cos α+tan α=　　　　.?
題組二　常錯題
◆索引:對角的范圍把握不準(zhǔn);不能據(jù)函數(shù)值的符號確定角所在的象限;不熟悉角在不同象限時對應(yīng)的三角函數(shù)值的符號;求弧長或者扇形面積把角化為弧度數(shù)時出錯.
5.在△ABC中,若sin A=,則A=　　　　.?
6.已知P(-,y)為角β的終邊上的一點(diǎn),且sin β=,則y=　　　　.?
7.當(dāng)α為第二象限角時,-的值是　　　　.?
8.若一扇形的圓心角為72°,半徑為20 cm,則扇形的面積為　　　　cm2.?

探究點(diǎn)一　角的集合表示及象限角的判定
例1 (1)[2018·長春一模] 若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸的非負(fù)半軸上,終邊在直線y=-x上,則角α的所有取值的集合是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.αα=2kπ-,k∈Z
B.
C.
D.
(2)集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是 (　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
圖3-17-2
?
?
?
[總結(jié)反思] (1)角α(0≤αc B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b

?
?
?
[總結(jié)反思] 利用三角函數(shù)線比較大小或解三角不等式,通常采用數(shù)形結(jié)合的方法,一般來說sin x≥b,cos x≥a,只需作直線y=b,x=a與單位圓相交,連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置,此時再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的x的范圍.
變式題 函數(shù)f(x)=+lnsin x-的定義域為　　　　　　　　　　　.?










第17講　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)
考試說明 1.任意角、弧度制
(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.
(2)能進(jìn)行弧度與角度的互化.
2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

【課前雙基鞏固】
知識聚焦
1.(1)端點(diǎn)　(2)正角　負(fù)角　象限角　(3){β|β=α+k·360°,k∈Z}
2.(1)半徑長　(2)|α|r
3.(1)y　x　(2)余弦線　正弦線　正切線
對點(diǎn)演練
1.{α|α=k·360°+45°,k∈Z}　[解析] 終邊落在第一象限角平分線上的最小正角為45°,所以與其終邊相同的角的集合為{α|α=k·360°+45°,k∈Z}.
2.(1)π　(2)15　[解析] (1)67°30'=67.5×=(rad);(2)=×°=15°.
3.1.2　[解析] 根據(jù)圓心角弧度數(shù)的計算公式得,α==1.2.
4.　[解析] r==,所以sin α==,cos α=-=-,tan α==-2,所以sin α-cos α+tan α=.
5.或π　[解析] 因為0

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