?2022-2023學年江西省贛州市大余縣八年級（下）期末數(shù)學試卷
一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 下列二次根式中屬于最簡二次根式的是(????)
A. 8 B. 5 C. 13 D. a2
2. 下列各組數(shù)中能作為直角三角形的三邊長的是(????)
A. 2，3，4 B. 1，1， 2 C. 4，5，6 D. 1，2，2
3. 《義務教育課程標準(2022年版)》首次把學生學會烹飪納入勞動教育課程，并作出明確規(guī)定．某班有七名同學已經(jīng)學會烹飪的菜品種數(shù)依次為：2，1，4，3，2，3，2.則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(????)
A. 2，3 B. 2，2 C. 3，2 D. 3，3
4. 如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點E，點F是CD的中點．若AD=10cm，則EF的長為(????)


A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
5. 如圖，數(shù)軸上的點A表示的數(shù)是?1，點B表示的數(shù)是2，CB⊥AB于點B，且BC=2，以A點為圓心，AC為半徑畫弧交數(shù)軸于點D，則點D表示的數(shù)是(????)

A. 2.7 B. 13 C. 13?1 D. 13+1
6. 如圖，兩個不同的一次函數(shù)y=ax+b與y=bx+a的圖象在同一平面直角坐標系的位置可能是(????)
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）
7. 函數(shù)y= xx?2中自變量x的取值范圍是______．
8. 若把一次函數(shù)y=2x+1，向下平移5個單位長度，得到圖象解析式是______ ．
9. 已知一組數(shù)據(jù)4，x，5，y，7，9的平均數(shù)為6，眾數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______．
10. 如圖，小剛用七巧板拼了一個對角線長為4的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形(如圖所示)，則長方形的對角線長為 ?????? ．

11. 如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，OH=4，若菱形ABCD的面積為32 3，則AC的長為______ ．


12. 如圖，已知線段AB=4，O是AB的中點，直線l經(jīng)過點O，∠1=60°，P點是直線l上一點，當△APB為直角三角形時，則BP=??????????．

三、解答題（本大題共11小題，共84.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
13. (本小題6.0分)
(1)計算： 80? 20+ 5；
(2)如圖，正方形ABCD中，延長BC至點E，使得點C為BE的中點，連接AC，BD，DE.求證：AC//DE．

14. (本小題6.0分)
先化簡，再求值；a2+2a+1a2?1?a+2a?1，其中a= 2+1．
15. (本小題6.0分)
如圖所示，線段EF的兩端點E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊BC，AD的中點，請儀無刻度的直尺，分別按下列要求作圖(保留作圖痕跡，不寫作法)．

(1)在圖(1)中，以EF為較長對角線畫菱形EHFG：
(2)在圖(2)中，以BD為較長對角線畫菱形DNBM．
16. (本小題6.0分)
如圖，直角坐標系中的網(wǎng)格由單位正方形構成，△ABC中，A點坐標為(2,3)，B點坐標為(?2,0)，C點坐標為(0,?1)．
(1)求AC的長；
(2)求證：AC⊥BC．

17. (本小題6.0分)
已知：如圖一次函數(shù)y1=kx?2與x軸相交于點B(?2,0)，y2=x+b與x軸相C(4,0)，這兩個函數(shù)圖象相交于點A．
(1)求出k，b的值；
(2)求△ABC的面積．

18. (本小題8.0分)
學校開展“書香校園”活動以來，受到同學們的廣泛關注，學校為了解全校學生課外閱讀的情況，隨機調(diào)查了部分學生在一周內(nèi)借閱圖書的次數(shù)，并制成如圖不完整的統(tǒng)計表．學生借閱圖書的次數(shù)統(tǒng)計表
借閱圖書的次數(shù)
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人數(shù)
7
13
a
10
3
請你根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息，解答下列問題：
(1)a=______，b=______．
(2)該調(diào)查統(tǒng)計數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______，眾數(shù)是______．
(3)請計算扇形統(tǒng)計圖中“3次”所對應扇形的圓心角的度數(shù)；
(4)若該校共有2000名學生，根據(jù)調(diào)查結果，估計該校學生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù)．

19. (本小題8.0分)
如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．
(1)求證：四邊形OEFG是矩形；
(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．





20. (本小題8.0分)
冰墩墩(Bing?Dwen?Dwen)、雪容融(Shuey?Rhon?Rhon)分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉祥物．冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶．決定從該網(wǎng)店進貨并銷售．第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元．
(1)求兩種玩偶的進貨價分別是多少？
(2)第二次小雅進貨時，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的1.5倍．小雅計劃購進兩種玩偶共40個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

21. (本小題9.0分)
如圖，正方形ABCD中，點P是BC邊上的任意一點(異于端點B、C)，連接AP，過B、D兩點作BE⊥AP于點E，DF⊥AP于點F．
(1)求證：EF=DF?BE．
(2)若△ADF的周長為6，AD=2，求EF的長，

22. (本小題9.0分)
閱讀理解題
像( 5+2)( 5?2)=1， a× a=a(a≥0)，( b+1)( b?1)=b?1(b≥0)，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如： 5和 5，( 2+1)和( 2?1)，2( 3+3 5)和2( 3?3 5)等都是互為有理化因式，進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號，請回答下列問題：
(1)化簡：①23 2= ______ ；②1 7? 5= ______ ．
(2)計算：(1 2?1+1 3+ 2+1 4+ 3+...1 2021+ 2020)( 2021+1)
(3)已知a= 2020? 2019，b= 2021? 2020,c= 2022? 2021
試比較a，b，c的大小，直接寫出結論．
23. (本小題12.0分)
已知點P，Q分別在菱形ABCD的邊BC，CD上滑動(點P不與B、C重合)，且∠PAQ=∠B，
(1)如圖1，若AP⊥BC，求證：AP=AQ；
(2)如圖2.若AP與BC不垂直，(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，說明理由；
(3)如圖3，若AB=4，∠B=60°，請直接寫出四邊形APCQ的面積．


答案和解析

1.【答案】B?
【解析】解：A． 8的被開方數(shù)中含有能開方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B. 5是最簡二次根式，故本選項符合題意；
C. 13的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
D. a2的被開方數(shù)中含有能開方的因式，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
故選：B．
根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．
本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，滿足以下兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．

2.【答案】B?
【解析】解：A、∵22+32≠42，∴不能夠成直角三角形，不符合題意；
B、∵12+12≠( 2)2，∴能夠成直角三角形，符合題意；
C、∵42+52≠62，∴不能夠成直角三角形，不符合題意；
D、∵12+22≠22，∴不能夠成直角三角形，不符合題意．
故選：B．
根據(jù)勾股定理對各選項進行逐一分析即可．
本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形是解題的關鍵．

3.【答案】B?
【解析】解：將數(shù)據(jù)2，1，4，3，2，3，2按照從小到大排列是：1，2，2，2，3，3，4，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2，
故選：B．
先將題目中的數(shù)據(jù)按照從小到大排列，然后即可得到這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)．
本題考查眾數(shù)和中位數(shù)，解答本題的關鍵是明確眾數(shù)和中位數(shù)的定義，會求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)．

4.【答案】C?
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE=EC，
∵點F是CD的中點，
∴DF=FC，
∴EF是△ADC的中位線，
∴2EF=AD=10cm，
∴EF=5cm，
故選：C．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AE=EC，進而利用三角形中位線定理解答即可．
此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分解答．

5.【答案】C?
【解析】解：由圖可得，
AB=2?(?1)=2+1=3，BC=2，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2= 32+22= 13，
∵AC=AD，
∴AD= 13，
∴點D表示的數(shù)是 13?1，
故選：C．
根據(jù)圖形和勾股定理可以得到AC的長，從而可以得到AD的長，然后再根據(jù)數(shù)軸，即可寫出點D表示的數(shù)．
本題考查勾股定理、實數(shù)與數(shù)軸，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．

6.【答案】C?
【解析】
【分析】
本題考查了一次函數(shù)圖象：一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過兩點(0,b)、(?bk,0).注意：使用兩點法畫一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點，而要根據(jù)具體情況，所選取的點的橫、縱坐標盡量取整數(shù)，以便于描點準確．
對于各選項，先確定一條直線的位置得到a和b的符號，然后根據(jù)此符號判斷另一條直線的位置是否符號要求．
【解答】
解：A、若經(jīng)過第一、二、三象限的直線為y=ax+b，則a>0，b>0，所以直線y=bx+a經(jīng)過第一、二、三象限，所以A選項錯誤；
B、若經(jīng)過第一、二、四象限的直線為y=ax+b，則a0，所以直線y=bx+a經(jīng)過第一、三、四象限，所以B選項錯誤；
C、若經(jīng)過第一、三、四象限的直線為y=ax+b，則a>0，b0，b>0，所以直線y=bx+a經(jīng)過第一、二、三象限，所以D選項錯誤；
故選：C．

??
7.【答案】x≥0且x≠2?
【解析】解：由題意得，x≥0且x?2≠0，
解得x≥0且x≠2．
故答案為：x≥0且x≠2．
根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．
本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：
(1)當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；
(2)當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
(3)當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．

8.【答案】y=2x?4?
【解析】解：一次函數(shù)y=2x+1，向下平移5個單位長度得到的函數(shù)解析式為y=2x+1?5=2x?4．
故答案為：y=2x?4．
根據(jù)一次函數(shù)圖象與幾何變換得到直線y=2x+1向下平移5個單位得到的函數(shù)解析式為y=2x+1?5．
本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換：一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)的圖象為直線，當直線平移時k不變，當向上平移m個單位，則平移后直線的解析式為y=kx+b+m．

9.【答案】5.5?
【解析】解：∵一組數(shù)據(jù)4，x，5，y，7，9的眾數(shù)為5，
∴x，y中至少有一個是5，
∵一組數(shù)據(jù)4，x，5，y，7，9的平均數(shù)為6，
∴16(4+x+5+y+7+9)=6，
∴x+y=11，
∴x，y中一個是5，另一個是6，
∴這組數(shù)為4，5，5，6，7，9，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是12(5+6)=5.5，
故答案為：5.5．
先判斷出x，y中至少有一個是5，再用平均數(shù)求出x+y=11，即可得出結論．
本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的知識，解答本題的關鍵是掌握各個知識點的概念．

10.【答案】2 5?
【解析】解：根據(jù)圖形可知：長方形的長是正方形的對角線為4，
長方形的寬是正方形對角線的一半為2，
則長方形的對角線長= 22+42=2 5．
故答案為：2 5．
根據(jù)圖形可得長方形的長是正方形的對角線為4，長方形的寬是正方形對角線的一半為2，然后利用勾股定理即可解決問題．
本題考查了正方形的性質(zhì)，七巧板，矩形的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握正方形的性質(zhì)．

11.【答案】8 3?
【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=4，
∴BD=8，
∵菱形ABCD的面積=12AC?BD=12?AC×8=32 3，
∴AC=8 3，
故答案為：8 3．
由菱形的性質(zhì)得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，再求出BD=8，然后由菱形面積求出AC=8 3，即可解決問題．
本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．

12.【答案】2或2 3或2 7?
【解析】解：∵AO=OB=2，
∴當BP=2時，∠APB=90°，
或當AP=2時，∠APB=90°，此時BP=2 3；
當∠PAB=90°時，
∵∠AOP=60°，
∴AP= 3OA=2 3，
∴BP= AB2+AP2=2 7；
當∠PBA=90°時，
∵∠POB=60°，
∴BP= 3OB=2 3；
故答案為：2或2 3或2 7．
分∠APB=90°、∠PAB=90°、∠PBA=90°三種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可，注意∠APB=90°又分兩種情況．
本題主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．

13.【答案】(1)原式= 16×5? 4×5+ 5
=4 5?2 5+ 5
=3 5；
(2)證明：∵四邊形ABCD是正方形．∴AD=BC，AD//BC，即AD//CE，
∵點C為BE的中點，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AC//DE．?
【解析】(1)首先化簡，再依據(jù)二次根式的運算法則計算；
(2)首先證明AD//CE，AD=CE，得到四邊形ACED是平行四邊形，進而得證．
本題考查了二次根式的加減法、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等，在解以正方形為背景的幾何題時，一定要注意題目中的隱含條件，如相等的邊，相等的角，90°的角等．

14.【答案】解：a2+2a+1a2?1?a+2a?1
=(a+1)2(a+1)(a?1)?a+2a?1
=a+1a?1?a+2a?1
=a+1?a?2a?1
=11?a，
當a= 2+1時，原式=11? 2?1=? 22．?
【解析】先對分子分母分解因式，然后約分，再算減法，最后將a的值代入化簡后的式子計算即可．
本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．

15.【答案】解：(1)如圖(1)中：菱形EHFG即為所求；
(2)如圖(2)中：菱形DNBM即為所求．
?
【解析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)及菱形的判定定理作圖；
(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定定理作圖．
本題考查了復雜作圖，掌握平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定定理是解題的關鍵．

16.【答案】解：(1)根據(jù)勾股定理，得
AC= 22+42=2 5．

(2)同理BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，
AC2=20，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．?
【解析】(1)利用勾股定理解決問題即可．
(2)利用勾股定理的逆定理證明即可．
本題考查勾股定理以及逆定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

17.【答案】解：(1)把B(?2,0)代入y1=kx?2得，0=?2k?2，
解得k=?1；
把C(4,0)代入y2=x+b得，0=4+b，
解得b=?4；
(2)聯(lián)立方程組得y=?x?2y=x?4，解得x=1y=?3，
∴A點坐標為(1,?3)，
∵B(?2,0)，C(4,0)，
∴BC=6，
∴S△ABC=12×6×3=9．?
【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得k、b的值；
(2)解析式聯(lián)立，解方程組即可求得A的坐標，然后利用三角形面積公式即可求得．
本題考查了兩條直線的交點問題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解此題的關鍵．

18.【答案】解：(1)17，20? ；
(2)2，2；
(3)扇形統(tǒng)計圖中“3次”所對應扇形的圓心角的度數(shù)為360°×20%=72°；
(4)估計該校學生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù)為2000×350=120(人)，
答：估計該校學生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù)為120人．?
【解析】解：(1)∵被調(diào)查的總人數(shù)為13÷26%=50(人)，
∴a=50?(7+13+10+3)=17，b%=1050×100%=20%，即b=20，
故答案為：17，20；
(2)由于共有50個數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
而第25、26個數(shù)據(jù)均為2，
所以中位數(shù)為2，
出現(xiàn)次數(shù)最多的是2，
所以眾數(shù)為2，
故答案為：2、2；
(3)見答案
(4)見答案．
(1)先由1次的人數(shù)及其所占百分比求得總人數(shù)，總人數(shù)減去其他次數(shù)的人數(shù)求得a的值，用3次的人數(shù)除以總人數(shù)求得b的值；
(2)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解；
(3)用360°乘“3次”對應的百分比即可得；
(4)用總人數(shù)乘樣本中“4次及以上”的人數(shù)所占比例即可得．
本題考查的是扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．

19.【答案】解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，
∵E是AD的中點，
∴AE=OE=12AD，
∴∠EAO=∠AOE，
∴∠AOE=∠BAO，
∴OE//FG，
∵OG//EF，
∴四邊形OEFG是平行四邊形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴四邊形OEFG是矩形；
(2)∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∴∠AOD=90°，
∵E是AD的中點，
∴OE=AE=12AD=5，
由(1)知，四邊形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∵AE=5，EF=4，
∴AF= AE2?EF2=3，
∴BG=AB?AF?FG=10?3?5=2．?
【解析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關鍵．
(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=12AD，推出OE//FG，求得四邊形OEFG是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結論；
(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=12AD=5；由(1)知，四邊形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根據(jù)勾股定理得到AF= AE2?EF2=3，于是得到結論．

20.【答案】解：(1)設冰墩墩的進價為x元/個，雪容融的進價為y元/個，
由題意可得：15x+5y=1400x+y=136，
解得x=72y=64，
答：冰墩墩的進價為72元/個，雪容融的進價為64元/個；
(2)設冰墩墩購進a個，則雪容融購進(40?a)個，利潤為w元，
由題意可得：w=28a+20(40?a)=8a+800，
∴w隨a的增大而增大，
∵網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的1.5倍，
∴a≤1.5(40?a)，
解得a≤24，
∴當a=24時，w取得最大值，此時w=992，40?a=16，
答：冰墩墩購進24個，雪容融購進16個時才能獲得最大利潤，最大利潤是992元．?
【解析】(1)根據(jù)用1400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，可以列出相應的二元一次方程組，然后求解即可；
(2)根據(jù)題意可以寫出利潤和冰墩墩數(shù)量的函數(shù)關系式，然后根據(jù)網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的1.5倍，可以求得購買冰墩墩數(shù)量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到利潤的最大值．
本題考查二元一次方程組的應用、一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組，寫出相應的函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．

21.【答案】(1)證明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，
∴∠DAF=∠ABE，
在△ADF和△BAE中，
∠DAF=∠ABE∠DFA=∠AEBAD=AB，
∴△ADF≌△BAE(AAS)，
∴AF=BE，DF=AE，
∴EF=AE?AF=DF?BE；
(2)解：設DF=a，AF=b，EF=DF?AF=a?b>0，
∵△ADF的周長為6，AD=2，
∴DF+AF=4，
即a+b=4，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，
即a2+b2=4，
∴(a?b)2=2(a2+b2)?(a+b)2=16?8=8，
∴a?b=2 2，
即EF=2 2．?
【解析】(1)由正方形的性質(zhì)得出AD=AB，證出∠DAF=∠ABE，由AAS證明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出結論；
(2)設DF=a，AF=b，EF=DF?AF=a?b>0，由已知條件得出AD+AF=4，即a+b=4，由勾股定理得出a2+b2=4，再由完全平方公式得出a?b即可．
本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出a與b的關系式是解決問題(2)的關鍵．

22.【答案】 23? 7+ 52?
【解析】解：(1)①23 2=2 23 2× 2= 23，
故答案為： 23；
②1 7? 5= 7+ 5( 7? 5)( 7+ 5)= 7+ 52，
故答案為： 7+ 52；
(2)原式=[ 2+1( 2?1)( 2+1)+ 3? 2( 3+ 2)( 3? 2)+ 4? 3( 4? 3)( 4+ 3)+…+ 2021? 2020( 2021+ 2020)( 2021? 2020)]?( 2021+1)
=( 2++ 3? 2+ 4? 3+...+ 2021? 2020)?( 2021+1)
=( 2021+1)2
=2021+1+2 2021
=2022+2 2021；
(3)1a=1 2020? 2019= 2020+ 2019( 2020+ 2019)( 2020? 2019)= 2020+ 2019，
同理：1b=1 2021? 2020= 2021+ 2020，
1c=1 2022? 2021= 2022+ 2021，
∵1ac．
(1)①將二次根式分母有理化進行計算；
②先確定分母有理化因式，然后進行計算；
(2)利用二次根式分母有理化的計算法則并通過探索數(shù)字規(guī)律進行計算求解；
(3)通過比較a，b，c的倒數(shù)，然后進行a，b，c的大小比較．
本題考查二次根式的混合運算，掌握平方差公式的結構特征，理解二次根式分母有理化的計算方法是解題關鍵．

23.【答案】證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，
∵∠PAQ=∠B，
∴∠PAQ+∠C=180°，
∴∠APC+∠AQC=180°，
∵AP⊥BC，
∴∠APC=90°
∴∠AQC=90°
在△APB和△AQD中，
∠B=∠D∠APB=∠AQD=90°AB=AD
∴△APB≌△AQD(AAS)
∴AP=AQ；
(2)如圖，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．

由(1)可得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，
∴∠EAP=∠FAQ，
在△AEP和△AFQ中，
∠AEP=∠AF∠Q=90°AE=AF∠EAP=∠FAQ
∴△AEP≌△AFQ(ASA)，
∴AP=AQ；
(3)如圖，連接AC、BD交于O，

∵∠ABC=60°，BA=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∵AE⊥BC，
∴BE=EC，
同理，CF=FD，
∴四邊形AECF的面積=12×四邊形ABCD的面積，
由(2)得，四邊形APCQ的面積=四邊形AECF的面積，
∵AB=4，∠B=60°
∴OA=12AB=2，OB= 32AB=2 3，
∴四邊形ABCD的面積=12×2×2 3×4=8 3，
∴四邊形APCQ的面積=4 3．?
【解析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)、結合已知得到AQ⊥CD，證明△APB≌△AQD，由全等三角形的性質(zhì)可得AP=AQ；
(2)作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，由(1)的結論得到∠EAP=∠FAQ，證明△AEP≌△AFQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；
(3)根據(jù)菱形的面積公式、結合(2)的結論解答．
本題四邊形綜合題，考查的是菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．

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