安徽省合肥市重點(diǎn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試——數(shù)學(xué)

這是一份安徽省合肥市重點(diǎn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試——數(shù)學(xué)，共8頁。
?2021級高一下學(xué)期期末考試
數(shù)學(xué)試題
注意事項(xiàng)：
1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知平面向量，則與同向的單位向量為（）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 如果復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù)）為純虛數(shù)，那么z的虛部為（）
A. B. C. D.
【答案】A
3. 如圖，已知正方體的棱長為2，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A. 直線與為異面直線 B. 平面
C. 平面平面 D. 三棱錐的體積為
【答案】D
4. 甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，這些小球除顏色外完全相同，從甲、乙兩袋中各任取1個(gè)球，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A. 2個(gè)球顏色相同的概率為 B. 2個(gè)球不都是紅球的概率為
C. 至少有1個(gè)紅球的概率為 D. 2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為
【答案】B
5. 在中，角所對的邊分別為，若，則（）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
6. 已知在三棱錐M-ABC中，MA⊥平面ABC，，且為直角三角形，則該三棱錐的外接球的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
7. 如圖所示，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，滿足：，與的夾角為，且，與的夾角為45°，若，則（）


A. 1 B. C. D.
【答案】C

8. 等邊的邊長為，過點(diǎn)的直線與過的平面交于點(diǎn)．將平面繞轉(zhuǎn)動(dòng)（不與平面重合），且三條直線、、與平面所成的角始終相等．當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，與平面所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】D

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 如下四個(gè)命題中，說法正確的是（）
A. 向量的長度與向量的長度相等；
B. 兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；
C. 兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；
D. 向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上．
【答案】AB
10. 盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)事件A＝“兩個(gè)球顏色相同”，B＝“第1次取出的是紅球”，C＝“第2次取出的是紅球”，D＝“兩個(gè)球顏色不同”．則下列說法正確的是（）
A. A與B相互獨(dú)立 B. A與D互為對立 C. B與C互斥 D. B與D相互獨(dú)立
【答案】ABD

11. 在銳角三角形ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，a，b，c分別為A，B，C所對的三邊，則下列結(jié)論成立的是（）
A. 若，則 B. 若，則B的取值范圍是
C. D.
【答案】ACD

12. 正方體中，下列說法正確的是（）
A. 在空間中，過作與夾角都為60°的直線可以作4條
B. 在空間中，過作與夾角都為45°的直線可以作4條
C. 棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，在空間中，能且只能作一條直線與直線，，都相交
D. 在空間中，過與直線，，夾角都相等的直線有4條
【答案】AD


三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 研究下列問題：①合肥市今年“八一”前后的氣溫；②某種新型電路元件使用壽命的測定；③“安徽新聞聯(lián)播”的收視率；④近年來我國大學(xué)生入學(xué)人數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)．其中，通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)的是__________．（填寫問題對應(yīng)的序號(hào)）
【答案】②
14. 銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積的取值范圍是________
【答案】

15. 已知圓O的半徑為2，A為圓內(nèi)一點(diǎn)，，B，C為圓O上任意兩點(diǎn)，則的取值范圍是_________．
【答案】
16. 在側(cè)棱長為，底面邊長為2的正三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，M，N分別為PE和平面PAF上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．
【答案】

四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知復(fù)數(shù)，，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.

18. 已知向量，，，．
（1）若，且，求x的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）或；
（2）存在；.

19. （1）樹人中學(xué)高一（1）班50名同學(xué)期中考試（100分制）數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間是，，，，，，試求數(shù)學(xué)成績的分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；

（2）樹人中學(xué)組建足球隊(duì)備戰(zhàn)全市高中生足球聯(lián)賽．隊(duì)員分別來自高一、高二兩個(gè)年級，且高一年級隊(duì)員占隊(duì)員總數(shù)的．已知高一年級隊(duì)員體重（單位：kg）的平均數(shù)為70，方差為300；高二年級隊(duì)員體重的平均數(shù)為60，方差為200．求足球隊(duì)全體隊(duì)員體重的平均數(shù)及方差．
【答案】（1）；（2）平均數(shù)為；方差為．

20. 在△ABC中，a，b，c分別A，B，C所對邊，．
（1）求A；
（2）若，求BC邊上的高．
【答案】（1）
（2）

21. 一個(gè)盒中裝有紅、白兩種顏色的玻璃球，其中紅球3個(gè)，白球2個(gè)．
（1）若一次從盒中隨機(jī)取出2個(gè)玻璃球，求至少取到一個(gè)白色球的概率；
（2）依次從盒中隨機(jī)取球，每次取一個(gè)，取后不放回．當(dāng)某種顏色的球全部取出后即停止取球．求最后一次取出的是紅色玻璃球的概率．
【答案】（1）；
（2）.

22. 如圖，在三棱臺(tái)中，與、都垂直，已知，．

（1）求證：平面平面；
（2）直線與底面所成的角的大小為多少時(shí)，二面角的余弦值為？
（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)C到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）.
【小問1詳解】
∵與、都垂直，又由棱臺(tái)的性質(zhì)，
∴，，又，
∴平面，又平面．
故平面平面．
【小問2詳解】
由（1）知，平面平面．
如圖所示，過作于D，則平面，
∴是與平面所成的角，即．
作于E，則為二面角的平面角．
在中，易得．
在中，，，，．
由，得．
∵，∴，即，
于是，，，
注意到，故．
【小問3詳解】
點(diǎn)C到平面的距離即為點(diǎn)C到平面的距離．
，，，
，又由可知，
點(diǎn)C到平面的距離即點(diǎn)到平面ABC的距離，
由（2）知，平面ABC，且，
于是，C到平面的距離為．