考試要求：1．了解函數(shù)的奇偶性的概念及幾何意義．2．結合三角函數(shù)，了解函數(shù)的周期性、對稱性及其幾何意義．
必備知識·回顧教材重“四基”
一、教材概念·結論·性質(zhì)重現(xiàn)1．函數(shù)的奇偶性的定義
2．函數(shù)圖象的對稱性(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱．
3．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝_______，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)__就叫做這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個_____的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期(若不加特別說明，T一般都是指最小正周期)．
4．對稱性與周期的關系(1)若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝a和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個周期．(2)若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a，0)和點(b，0)對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個周期．(3)若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a，0)和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a－b|是它的一個周期．
周期函數(shù)定義的實質(zhì)存在一個非零常數(shù)T，使f(x＋T)＝f(x)為恒等式，即自變量x每增加一個T后，函數(shù)值就會重復出現(xiàn)一次．
二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)＝0.(　　)(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱．(　　)(3)如果函數(shù)f(x)，g(x)是定義域相同的偶函數(shù)，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數(shù)．(　　)(4)若T為y＝f(x)的一個周期，則nT(n∈Z)是函數(shù)f(x)的周期．(　　)
5．(多選題)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(　　)A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋xBD　解析：由奇函數(shù)的定義f(－x)＝－f(x)驗證．對于選項A，f(|－x|)＝f(|x|)，為偶函數(shù)；對于選項B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，為奇函數(shù)；對于選項C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，為偶函數(shù)；對于選項D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，為奇函數(shù)．故選BD.
關鍵能力·研析考點強“四翼”
考點1　函數(shù)的奇偶性——基礎性
考點2　函數(shù)的周期性——綜合性
考點3　函數(shù)性質(zhì)的綜合應用——應用性
1．(多選題)若函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)(x∈R)是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是(　　)A．函數(shù)f(g(x))是偶函數(shù)B．函數(shù)g(f(x))是偶函數(shù)C．函數(shù)f(x)·g(x)是奇函數(shù)D．函數(shù)f(x)＋g(x)是奇函數(shù)
ABC　解析：對于選項A，f(g(x))是偶函數(shù)，A正確；對于選項B，g(f(x))是偶函數(shù)，B正確；對于選項C，設h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(huán)(x)是奇函數(shù)；對于選項D，f(x)＋g(x)不一定具備奇偶性．故選ABC.
2．設f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則當xaD．a(chǎn)>c>bD　解析：因為偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為2.所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因為－0.8b.故選D.
1．解決這類問題一定要充分利用數(shù)形結合思想，使問題變得直觀、形象，進而順利求解．2．在解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一個區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉換，再利用單調(diào)性解決相關問題．
1．已知函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，且周期為4.若f(－2)＝2，則f(2 022)＝(　　)A．2B．0C．－2D．－4C　解析：因為函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，且周期為4，所以f(x)為奇函數(shù)，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2.故選C.
2．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)D　解析：因為f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定義在R上的以3為周期的函數(shù)，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故選D.
3．已知奇函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝3對稱，當x∈[0，3]時，f(x)＝－x，則f(－16)＝_________．2　解析：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝3對稱，則有f(x)＝f(6－x)．又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．所以f(x)的最小正周期是12.故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.

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