2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第4節(jié)數(shù)列求和學(xué)案

這是一份2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第4節(jié)數(shù)列求和學(xué)案，共20頁(yè)。學(xué)案主要包含了教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)，基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?第四節(jié)　數(shù)列求和
考試要求：1．掌握等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．
2．掌握非等差、非等比數(shù)列求和的幾種方法，如分組求和、裂項(xiàng)相消以及錯(cuò)位相減等．

一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)
1．求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法
方法
數(shù)列
求和公式
公式法
等差數(shù)列
Sn＝na1+an2＝na1＋nn-12d
等比數(shù)列
Sn＝na1，q=1， a1-anq1-q=a1(1-qn)1-q，q≠1
分組
求和法
等差±
等比
適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加(減)構(gòu)成的數(shù)列求和
倒序
相加法
對(duì)偶型
將一個(gè)數(shù)列倒過來排列與原數(shù)列相加，主要用于倒序相加后對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和有公因式可提的數(shù)列求和
裂項(xiàng)
相消法
積商化
差型
適用于通項(xiàng)公式可以積商化差的數(shù)列求和
錯(cuò)位
相減法
等差×
等比
適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘(除)構(gòu)成的數(shù)列求和
并項(xiàng)
求和法
正負(fù)號(hào)
間隔
適用于奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)正負(fù)號(hào)間隔的數(shù)列求和，常需對(duì)n分奇偶討論


一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn+12.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
(4)12＋22＋…＋n2＝nn+12n+16.
(5)13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝n2n+124.
2.常用結(jié)論
常見的裂項(xiàng)技巧
(1)1nn+1＝1n-1n+1.
(2)1nn+2＝121n-1n+2.
(3)12n-12n+1＝1212n-1-12n+1.
(4)1n+n+1＝n+1-n.
(5)1nn+1n+2＝121nn+1-1n+1n+2.
(6)loga1+1n＝loga(n＋1)－logan(a＞0且a≠1)．
二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)
1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”．
(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和為Sn＝a1-an+11-q.
(　√　)
(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和．
(　√　)
(3)當(dāng)n≥2時(shí)，1n2-1＝121n-1-1n+1. (　√　)
(4)求數(shù)列12n+2n+3的前n項(xiàng)和可用分組求和法． (　√　)
2．在數(shù)列{an}中，an＝1nn+1，若{an}的前n項(xiàng)和為20192 020，則項(xiàng)數(shù)n為(　　)
A．2 016 B．2 017
C．2 018 D．2 019
D　解析：an＝1nn+1＝1n-1n+1，Sn＝1－12+12-13＋…＋1n-1n+1＝1－1n+1＝nn+1＝2 0192 020，所以n＝2 019.故選D．
3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為(　　)
A．－200 B．－100
C．200 D．100
D　解析：根據(jù)題意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.故選D．
4．已知數(shù)列：112，214，318，…，n+12n，…，則其前n項(xiàng)和為________．
nn+12＋1－12n 　解析：設(shè)所求的數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則
Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12+14＋…＋12n＝nn+12＋1－12n.
5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝10n－n2，數(shù)列{bn}滿足bn＝|an|，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T4＝________，T30＝________．
24　650　解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝9；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝10n－n2－[10(n－1)－(n－1)2]＝－2n＋11，當(dāng)n＝1時(shí)也滿足上式，所以an＝－2n＋11(n∈N*)．所以當(dāng)n≤5時(shí)，an>0，bn＝an，當(dāng)n>5時(shí)，an0，可得an＋1－an＝3，所以{an}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，
所以an＝3n－2.
(2)因?yàn)閍n＝3n－2，所以bn＝1anan+1＝13n-23n+1＝1313n-2-13n+1，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝131-14+14-17+…+13n-2-13n+1＝n3n+1.

本例的條件變?yōu)椋篴n＝12n-1，bn＝an+1an+1an+1+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
解：因?yàn)閎n＝12n12n-1+112n+1＝112n+1-112n-1+1，
所以b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1121+1-1120+1＋1122+1-1121+1+1123+1-1122+1＋…＋112n+1-112n-1+1＝112n+1-12＝2n-122n+1.


應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和的注意點(diǎn)
(1)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：1n+n+k＝1k(n+k-n)，1nn+k＝1k1n-1n+k，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)．
(2)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)等．

在等比數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＋a3＝6.
(1)求an；
(2)設(shè)bn＝2nan+1an+1+1，且b4