高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第6章數(shù)列第4節(jié)數(shù)列求和學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

　數(shù)列求和[考試要求]　1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法．1．公式法(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝＝na1＋d；(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝2．幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消(注意消項規(guī)律)，從而求得前n項和．裂項時常用的三種變形：①＝－；②＝；③＝－.(3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解．(4)倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解．(5)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf (n)類型，可采用兩項合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，則有＝. (　　)(2)當(dāng)n≥2時，＝. (　　)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．????????????? (　　)(4) 利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5. (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√二、教材習(xí)題衍生1．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5等于(　　)A．1 B． C． D．B　[∵an＝＝－，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…＋－＝.]2．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為(　　)A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2C　[Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.]3．Sn＝＋＋＋…＋等于(　　)A． B．C． D．B　[由Sn＝＋＋＋…＋，①得Sn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－，∴Sn＝.]4．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝ .9　[S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]考點一　分組求和與并項求和　分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an}的前n項和．(2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．提醒：注意在含有字母的數(shù)列中要對字母進行分類討論．[典例1]　已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和．[解]　(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝＝3，所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n∈N*)．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1.因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.設(shè)Sn為數(shù)列{cn}的前n項和，從而數(shù)列{cn}的前n項和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.點評：解答此類問題首先應(yīng)抓住基本量，利用方程的思想求得an，bn，在此基礎(chǔ)上用分組求和，分別求得相應(yīng)數(shù)列的和并相加．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝(－1)n－1an，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n.[解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)．∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)＝(－2)×n＝－2n.考點二　裂項相消法求和　裂項相消法的步驟、原則及規(guī)律(1)基本步驟(2)裂項原則一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．(3)消項規(guī)律消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．　形如an＝(k為非零常數(shù))型[典例2－1]　已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝6，b1＋＋＋…＋＝an＋1.(1)求{an}，{bn}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．[解]　(1)數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝6，b1＋＋＋…＋＝an＋1.所以當(dāng)n＝1時，a2＝b1＝6，故an＝6＋2(n－2)＝2n＋2，由于b1＋＋＋…＋＝an＋1，①當(dāng)n≥2時，b1＋＋＋…＋＝an，②①－②得：＝an＋1－an＝2，所以bn＝2n.所以bn＝.(2)當(dāng)n＝1時，S1＝＝＝.當(dāng)n≥2時，＝＝，則Sn＝＋＝＋＝，當(dāng)n＝1時滿足上式，故Sn＝.點評：本例第(1)問在求{bn}的通項公式時靈活運用了數(shù)列前n項和與項的關(guān)系，注意通項公式是否包含n＝1的情況；第(2)問在求解中運用了裂項法，即若{an}是等差數(shù)列，則＝.　形如(k為非零常數(shù))型[典例2－2]　已知函數(shù)f (x)＝xα的圖象過點(4,2)，令an＝，n∈N*，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 020＝(　　)A．－1 B．－1C．－1 D．＋1C　[由f (4)＝2得4α＝2，解得α＝，則f (x)＝.∴an＝＝＝－，S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.]點評：運用分母有理化對分式正確變形并發(fā)現(xiàn)其前后項之間的抵消關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．　形如bn＝(q為等比數(shù)列{an}的公比)型[典例2－3](2020·杭州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2＝8，Sn＝－n－1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和Tn.[解]　(1)∵a2＝8，Sn＝－n－1，∴a1＝S1＝－2＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－n－1－，即an＋1＝3an＋2，又a2＝8＝3a1＋2，∴an＋1＝3an＋2，n∈N*，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，且首項為a1＋1＝3，公比為3，∴an＋1＝3×3n－1＝3n，∴an＝3n－1.(2)∵＝＝－.∴數(shù)列的前n項和Tn＝＋＋…＋＝－.點評：本例第(1)問在求解通項公式時運用了構(gòu)造法，形如an＋1＝λan＋μ的數(shù)列遞推關(guān)系求通項公式都可以采用此法；第(2)問運用了裂項相消法求和，bn＝＝－.　形如an＝型[典例2－4]　正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜.[解]　(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正項數(shù)列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.綜上，數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.(2)證明：由于an＝2n，故bn＝＝＝.Tn＝＝＜＝.點評：(1)與不等式相結(jié)合考查裂項相消法求和問題應(yīng)分兩步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放縮法、單調(diào)性等證明不等式．(2)放縮法常見的放縮技巧有：①＜＝－.②＜＝.③－＜＜－.④2(－)＜＜2(－)．1．(2017·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝ .　[設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，依題意有解得所以Sn＝，＝＝2，因此＝2＝.]2．(2020·廣州模擬)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前n項和．[解]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由a＝9a2a6，得a＝9a，所以q2＝.由已知條件得q＞0，所以q＝.由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，解得a1＝.故數(shù)列{an}的通項公式為an＝.(2)由(1)可得bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－，故＝－＝－2，所以＋＋…＋＝－2＝－.故數(shù)列的前n項和為－.考點三　錯位相減法求和　錯位相減法求和的具體步驟[典例3]　設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，數(shù)列{bn}滿足a1＝b1，點P(bn，bn＋1)在直線x－y＋2＝0上，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)設(shè)cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.[解]　(1)由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，所以a2＝3a1.故{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．所以an＝3n－1.由點P(bn，bn＋1)在直線x－y＋2＝0上，所以bn＋1－bn＝2.則數(shù)列{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．則bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.(2)因為cn＝＝，所以Tn＝＋＋＋…＋.則Tn＝＋＋＋…＋＋，兩式相減得：Tn＝1＋＋＋…＋－.所以Tn＝3－－＝3－.點評：本例巧妙地將數(shù)列{an}及其前n項和Sn，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等知識融合在一起，難度適中．求解的關(guān)鍵是將所給條件合理轉(zhuǎn)化，并運用錯位相減法求和．(2020·全國卷Ⅰ)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項和．[解]　(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.故{an}的公比為－2.(2)記Sn為{nan}的前n項和．由(1)及題設(shè)可得，an＝(－2)n－1.所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n.可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n.所以Sn＝－. 核心素養(yǎng)4　用數(shù)學(xué)語言表達世界——數(shù)列中等量關(guān)系的建立有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題，是讓學(xué)生能夠在實際情境中用數(shù)學(xué)的思想分析數(shù)據(jù)間的內(nèi)在聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語言表述其內(nèi)在關(guān)系，用數(shù)列的方法求解數(shù)列模型，并用數(shù)學(xué)結(jié)論指導(dǎo)實際問題的過程，也是近幾年高考所考查的數(shù)學(xué)探索、發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用的動向之一，因此備考中應(yīng)引起足夠的重視. 直接借助等差(等比)數(shù)列的知識建立等量關(guān)系　從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？[解]　(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×萬元，…，第n年投入為800×萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為：an＝800＋800×＋…＋800×＝4 000×，第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×萬元，…，第n年旅游業(yè)收入400×萬元．所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn＝400＋400×＋…＋400×＝1 600×. (2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即1 600×－4000×＞0，化簡得5×＋2×－7＞0，令x＝，代入上式得：5x2－7x＋2＞0.解得x＜，或x＞1(舍去)．即＜，由此得n≥5.∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入. [評析]　本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點，正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，第(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧．公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d＞0)，歷年所交納的儲備金數(shù)目a1，a2，…，是一個公差為d的等差數(shù)列．與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利．如果固定年利率為r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍1(1＋r)n－1，第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍2(1＋r)n－2，…，以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額．求證：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一個等比數(shù)列，{Bn}是一個等差數(shù)列．[證明]　T1＝a1，對n≥2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an，①在①式兩端同乘1＋r，得(1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋an－1(1＋r)2＋an(1＋r)，②②－①，得rTn＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)]－an＝[(1＋r)n－1－r]＋a1(1＋r)n－an.即Tn＝(1＋r)n－n－.如果記An＝(1＋r)n，Bn＝－－n，則Tn＝An＋Bn，其中{An}是以(1＋r)為首項，以1＋r(r＞0)為公比的等比數(shù)列；{Bn}是以－－為首項，－為公差的等差數(shù)列．借助數(shù)列的遞推關(guān)系建立等量關(guān)系　大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)已成為當(dāng)代潮流．某大學(xué)大三學(xué)生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬元作開店資金，全部用作批發(fā)某種商品．銀行貸款的年利率為6%，約定一年后一次還清貸款．已知夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投入資金的15%，每月月底需要交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%，當(dāng)月房租等其他開支1 500元，余款作為資金全部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營，如此繼續(xù)，假定每月月底該商品能全部賣出．(1)設(shè)夏某第n個月月底余an元，第n＋1個月月底余an＋1元，寫出a1的值并建立an＋1與an的遞推關(guān)系；(2)預(yù)計年底夏某還清銀行貸款后的純收入．(參考數(shù)據(jù)：1.1211≈3.48,1.1212≈3.90,0.1211≈7.43×10－11,0.1212≈8.92×10－12)[解]　(1)依題意，a1＝20 000(1＋15%)－20 000×15%×20%－1 500＝20 900(元)，an＋1＝an(1＋15%)－an×15%×20%－1 500＝1.12an－1500(n∈N*,1≤n≤11)．(2)令an＋1＋λ＝1.12(an＋λ)，則an＋1＝1.12an＋0.12λ，對比(1)中的遞推公式，得λ＝－12 500.則an－12 500＝(20 900－12 500)1.12n－1，即an＝8 400×1.12n－1＋12 500.則a12＝8 400×1.1211＋12 500≈41 732(元)．又年底償還銀行本利總計20 000(1＋6%)＝21 200(元)，故該生還清銀行貸款后純收入41 732－21 200＝20 532(元)．[評析]　(1)先求出a1的值，并依據(jù)題設(shè)得出an＋1與an的關(guān)系；(2)利用構(gòu)造法求得{an}的通項公式，并求相應(yīng)值．容器A內(nèi)裝有6升質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水溶液，容器B內(nèi)裝有4升質(zhì)量分?jǐn)?shù)為5%的鹽水溶液，先將A內(nèi)的鹽水倒1升進入B內(nèi)，再將B內(nèi)的鹽水倒1升進入A內(nèi)，稱為一次操作；這樣反復(fù)操作n次，A、B容器內(nèi)的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為an，bn.(1)求a1，b1，并證明{an－bn}是等比數(shù)列；(2)至少操作多少次，A、B兩容器內(nèi)的鹽水濃度之差小于1%？(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)；(3)求an，bn的表達式．[解]　(1)由題意，b1＝＝，a1＝＝.∵bn＋1＝，an＋1＝(5an＋bn＋1)＝，∴an＋1－bn＋1＝(an－bn)，∴{an－bn}是等比數(shù)列．(2)由(1)知an－bn＝×，∴×＜1%，∴n－1＞≈5.7，∴n≥7，故至少操作7次．(3)∵bn＋1＝，∴bn＋1－bn＝×，∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋×＝－×＋.∴an＝bn＋×＝×＋.

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