?2023年寧夏回族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題
1．的絕對值是（????）
A． B． C． D．
2．下面是由七巧板拼成的圖形（只考慮外形，忽略內(nèi)部輪廓），其中軸對稱圖形是（????）

A． B． C． D．
3．下列計算正確的是（????）
A． B． C． D．
4．勞動委員統(tǒng)計了某周全班同學(xué)的家庭勞動次數(shù)（單位：次），按勞動次數(shù)分為4組：，，，，繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖．從中任選一名同學(xué)，則該同學(xué)這周家庭勞動次數(shù)不足6次的概率是（????）
??
A． B． C． D．
5．估計的值應(yīng)在（????）
A．和4之間 B．4和之間
C．和5之間 D．5和之間
6．將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把和角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于，兩點(diǎn)，則的長是（????）
??
A． B． C．2 D．
7．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（????）
??
A．隨的增大而增大
B．
C．當(dāng)時，
D．關(guān)于，的方程組的解為
8．如圖，在中，，，．點(diǎn)在上，且．連接，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．則的面積是（????）
??
A． B． C． D．

二、填空題
9．計算： ．
10．如圖，在邊長為2的正方形中，點(diǎn)在上，連接，．則圖中陰影部分的面積是 ．

11．方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為 ．
12．如圖，在標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四宮格里任選兩個小方格，則所選方格中數(shù)字之和為4的概率是 ．

13．如圖，四邊形內(nèi)接于，延長至點(diǎn)，已知，那么 ．

14．如圖，點(diǎn)，，在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)是的中點(diǎn)，線段，則點(diǎn)表示的數(shù)是 ．

15．如圖是某種桿秤．在秤桿的點(diǎn)處固定提紐，點(diǎn)處掛秤盤，點(diǎn)為0刻度點(diǎn)．當(dāng)秤盤不放物品時，提起提紐，秤砣所掛位置移動到點(diǎn)，秤桿處于平衡．秤盤放入克物品后移動秤砣，當(dāng)秤砣所掛位置與提扭的距離為毫米時秤桿處于平衡．測得與的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：
/克
0
2
4
6
10
/毫米
10
14
18
22
30
由表中數(shù)據(jù)的規(guī)律可知，當(dāng)克時， 毫米．
??
16．如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)，，，，，，均在格點(diǎn)上．下列結(jié)論：
??
①點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱；
②連接，，，則平分；
③連接，則點(diǎn)，到線段的距離相等．
其中正確結(jié)論的序號是 ．

三、解答題
17．計算：
18．解不等式組
下面是某同學(xué)的部分解答過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：
解：由①得：
????????第1步
????????第2步

????????第3步
????????第4步
任務(wù)一：該同學(xué)的解答過程第_______步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是_______，不等式①的正確解集是_______；
任務(wù)二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．
19．如圖，已知，，分別是和上的點(diǎn)，．求證：四邊形是平行四邊形．
??
20．“人間煙火味，最撫凡人心”，地攤經(jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源．某經(jīng)營者購進(jìn)了型和型兩種玩具，已知用520元購進(jìn)型玩具的數(shù)量比用175元購進(jìn)型玩具的數(shù)量多30個，且型玩具單價是型玩具單價的倍．
(1)求兩種型號玩具的單價各是多少元？
根據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出如下方程：
甲：，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解．
乙：，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解．
則甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______；
(2)該經(jīng)營者準(zhǔn)備用1350元以原單價再次購進(jìn)這兩種型號的玩具共200個，則最多可購進(jìn)型玩具多少個？
21．給某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣體體積（）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．
??
(1)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓超過時，氣球會爆炸．若將氣球近似看成一個球體，試估計氣球的半徑至少為多少時氣球不會爆炸（球體的體積公式，取3）；
(2)請你利用與的關(guān)系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎．
22．如圖，糧庫用傳送帶傳送糧袋，大轉(zhuǎn)動輪的半徑為10cm，傳送帶與水平面成角．假設(shè)傳送帶與轉(zhuǎn)動輪之間無滑動，當(dāng)大轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)時，傳送帶上點(diǎn)處的糧袋上升的高度是多少？（傳送帶厚度忽略不計）
??　　??
23．學(xué)校組織七、八年級學(xué)生參加了“國家安全知識”測試（滿分100分）．已知七、八年級各有200人，現(xiàn)從兩個年級分別隨機(jī)抽取10名學(xué)生的測試成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計：
七年級??86??94??79??84??71??90??76??83??90??87
八年級??88??76??90??78??87??93??75??87??87??79
整理如下：
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
七年級
84

90

八年級
84
87


根據(jù)以上信息，回答下列問題：
(1)填空：_______，________．
同學(xué)說：“這次測試我得了86分，位于年級中等偏上水平”，由此可判斷他是________年級的學(xué)生；
(2)學(xué)校規(guī)定測試成績不低于85分為“優(yōu)秀”，估計該校這兩個年級測試成績達(dá)到“優(yōu)秀”的學(xué)生總?cè)藬?shù)；
(3)你認(rèn)為哪個年級的學(xué)生掌握國家安全知識的總體水平較好？請給出一條理由．
24．如圖，已知是的直徑，直線是的切線，切點(diǎn)為，，垂足為．連接．
??
(1)求證：平分；
(2)若，，求的半徑．
25．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是直線．
??
(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最?。簏c(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；
(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
26．綜合與實踐
問題背景
數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．
??
探究發(fā)現(xiàn)
如圖1，在中，，．
??
（1）操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，，則_______，設(shè)，，那么______（用含的式子表示）；
（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：，這個比值被稱為黃金比．在（1）的條件下試證明：；
拓展應(yīng)用：
當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的是黃金三角形．如圖2，在菱形中，，．求這個菱形較長對角線的長．
??

參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答即可．
【詳解】，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，掌握絕對值的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
2．C
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C．是軸對稱圖形，故此選項合題意；
D．不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3．D
【分析】根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪的除法，完全平方公式，積的乘方，逐一計算判斷即可．
【詳解】解：A、，故選項A錯誤；
B、，故選項B錯誤；
C、，故選項C錯誤；
D、，故選項D正確；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算．熟練掌握合并同類項，同底數(shù)冪的除法，完全平方公式，積的乘方法則，是解題的關(guān)鍵．
4．A
【分析】利用概率公式進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：由題意，得：；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查直方圖，求概率．解題的關(guān)鍵是從直方圖中有效的獲取信息．
5．C
【分析】先找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的有理數(shù)之間，然后判斷出所求的無理數(shù)的范圍．
【詳解】∵，
∴，排除A和D，
又∵23更接近25，
∴更接近5，
∴在和5之間，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了無理數(shù)的大小估算，現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算，估算應(yīng)是我們具備的數(shù)學(xué)能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6．B
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由含30度角直角三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可得的長，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，在中，，
??
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
7．C
【分析】結(jié)合圖象，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、隨的增大而增大，故選項A正確；
B、由圖象可知，一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在的圖象與軸的交點(diǎn)的下方，即，故選項B正確；
C、由圖象可知：當(dāng)時，，故選項C錯誤；
D、由圖象可知，兩條直線的交點(diǎn)為，
∴關(guān)于，的方程組的解為；
故選項D正確；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)與一元一次不等式．從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，熟練掌握圖象法解方程組和不等式，是解題的關(guān)鍵．
8．B
【分析】證明，得到，推出為直角三角形，利用的面積等于，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面積等于；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到三角形全等是解題的關(guān)鍵．本題蘊(yùn)含手拉手全等模型，平時要多歸納，多總結(jié)，便于快速解題．
9．
【分析】根據(jù)同分母分式加法法則計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的加法，題目較為基礎(chǔ)．
10．2
【分析】根據(jù)正方形的，，邊長為2，陰影部分面積等于與面積的和，運(yùn)用三角形面積公式，即可求解．
【詳解】∵四邊形為正方形，
∴，，
∵正方形的邊長為2，
∴




．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形，三角形面積．熟練掌握正方形的邊角性質(zhì)，三角形面積公式，是解題的關(guān)鍵．
11．
【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
解得：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式，熟練掌握，方程有兩個相等的實數(shù)根，是解題的關(guān)鍵．
12．
【分析】利用列表法求概率即可．
【詳解】解：列表如下：

1
2
3
4
1

3
4
5
2
3

5
6
3
4
5

7
4
5
6
7

共有12種等可能的結(jié)果，其中和為4有2種等可能的結(jié)果，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查列表法求概率．熟練掌握列表法，是解題的關(guān)鍵．
13．
【分析】根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和平角的定義即可得解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
14．
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)平分線段進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，線段，
∴，
∴點(diǎn)表示的數(shù)是：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，以及線段的中點(diǎn)．熟練掌握線段中點(diǎn)的定義，以及數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．
15．50
【分析】根據(jù)表格可得y與x的函數(shù)關(guān)系式，再將代入求解即可．
【詳解】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所掛位置與提扭的距離增加4毫米，則物品每增加1克，秤砣所掛位置與提扭的距離增加2毫米，
當(dāng)不掛重物時，秤砣所掛位置與提扭的距離為10毫米，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
當(dāng)時，，
故答案為：50．
【點(diǎn)睛】本題考查由表格得函數(shù)關(guān)系式以及求函數(shù)值，通過表格得出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
16．①②③
【分析】根據(jù)描述，作圖，逐一進(jìn)行判斷即可；
【詳解】解：①如圖：
??
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱；故①正確；
②如圖：
??
由圖可知：，
∴為等腰三角形，
∵經(jīng)過的中點(diǎn)，
∴平分，故②正確；
③如圖，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，
??
∴，
∴點(diǎn)，到線段的距離相等，故③正確；
綜上，正確的有①②③；
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題考查中心對稱圖形，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是根據(jù)描述，正確的畫圖，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)．
17．
【分析】先化簡各式，在按照運(yùn)算順序進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：原式

．
【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，實數(shù)的混合運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行計算．
18．任務(wù)一：4，不等號的方向沒有發(fā)生改變，；任務(wù)二：，
【分析】任務(wù)一：系數(shù)化1時，系數(shù)小于0，不等號的方向要發(fā)生改變，即可得出結(jié)論；
任務(wù)二：移項，合并同類項，系數(shù)化1，求出不等式②的解集，進(jìn)而得出不等式組的解集即可．
【詳解】解：任務(wù)一：∵，
∴；
∴該同學(xué)的解答過程第4步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是不等號的方向沒有發(fā)生改變，不等式①的正確解集是；
故答案為：4，不等號的方向沒有發(fā)生改變，；
任務(wù)二：，
，
，
；
又，
∴不等式組的解集為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式，求不等式組的解集．解題的關(guān)鍵是正確的求出每一個不等式的解集，注意系數(shù)化1時，系數(shù)是負(fù)數(shù)，不等號的方向要發(fā)生改變．
19．見解析
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證得，再根據(jù)平行四邊形的判定即可證得結(jié)論．
【詳解】證明：，
，
又，
，
，
，
四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證得是解決問題的關(guān)鍵．
20．(1)型玩具的單價；購買型玩具的數(shù)量
(2)最多購進(jìn)型玩具個

【分析】（1）根據(jù)方程表示的意義，進(jìn)行作答即可；
（2）設(shè)最多購進(jìn)型玩具個，根據(jù)題意，列出方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：對于甲：表示的是：用520元購進(jìn)型玩具的數(shù)量比用175元購進(jìn)型玩具的數(shù)量多30個，
∴分別表示型玩具和型玩具的數(shù)量，
∴表示型玩具的單價；
對于乙：表示的是：型玩具單價是型玩具單價的倍，
∴，分別表示表示型玩具和型玩具的單價，
∴表示購買型玩具的數(shù)量；
故答案為：型玩具的單價；購買型玩具的數(shù)量
（2）設(shè)購進(jìn)型玩具個，則購買型玩具個，
由（1）中甲同學(xué)所列方程的解可知：型玩具的單價為5元，則型玩具的單價為元，
由題意，得：，
解得：，
∵為整數(shù)，
∴；
答：最多購進(jìn)型玩具個．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用．讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程和不等式，是解題的關(guān)鍵．
21．(1)氣球的半徑至少為時，氣球不會爆炸；
(2)由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內(nèi)氣壓增大導(dǎo)致爆胎．

【分析】（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，用待定系數(shù)法可得，即可得當(dāng)時，，從而求出；
（2）由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內(nèi)氣壓增大導(dǎo)致爆胎．
【詳解】（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，
根據(jù)圖象可得：，
，
當(dāng)時，，
，
解得：，
，
隨的增大而減小，
要使氣球不會爆炸，，此時，
氣球的半徑至少為時，氣球不會爆炸；
（2）由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內(nèi)氣壓增大導(dǎo)致爆胎．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，涉及立方根等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式．
22．糧袋上升的高度是cm
【分析】先求出糧袋移動的距離，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)大轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)時，糧袋移動到點(diǎn)，
??
則：，
過點(diǎn)作，于點(diǎn)，
∴，
∴，即：糧袋上升的高度是cm．
【點(diǎn)睛】本題考查求弧長，含30度的直角三角形．解題的關(guān)鍵是掌握糧袋移動的距離為大輪轉(zhuǎn)動的距離．
23．(1)85，87，七；
(2)220
(3)八年級，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求出答案；
（2）分別求出七、八年級優(yōu)秀的比例，再乘以總?cè)藬?shù)即可；
（3）兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，通過方差的大小直接比較即可．
【詳解】（1）解：把七年級10名學(xué)生的測試成績排好順序為：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根據(jù)中位數(shù)的定義可知，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，
八年級10名學(xué)生的成績中87分的最多有3人，所以眾數(shù)，
A同學(xué)得了86分大于85分，位于年級中等偏上水平，由此可判斷他是七年級的學(xué)生；
故答案為：85，87，七；
（2）（人），
答：該校這兩個年級測試成績達(dá)到“優(yōu)秀”的學(xué)生總?cè)藬?shù)為220人；
（3）我認(rèn)為八年級的學(xué)生掌握國家安全知識的總體水平較好，
理由：因為七、八年級測試成績的平均數(shù)相等，八年級測試成績的方差小于七年級測試成績的方差，所以八年級的學(xué)生掌握防震減災(zāi)科普知識的總體水平較好．
【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義和計算方法以及用樣本估計總體，理解各個概念的內(nèi)涵和計算方法是解題的關(guān)鍵．
24．(1)見解析
(2)的半徑為

【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出即可；
（2）連接，過點(diǎn)O作于F，證明，根據(jù)正切的定義列式求出，再根據(jù)勾股定理求出即可．
【詳解】（1）證明：連接，
??
∵直線是的切線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：連接，過點(diǎn)O作于F，則，
??
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形以及勾股定理等知識，靈活運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．
25．(1)
(2)點(diǎn)，的最小值為
(3)

【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時，的值最小，為的長，求出直線的解析式，解析式與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式求出的長，即為的最小值；
（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，設(shè)，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，對稱軸為直線，
∴點(diǎn)為；
（2）當(dāng)時，，
∴，
連接，
????
∵，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，的值最小，為的長，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，
∴；
∴點(diǎn)，的最小值為；
（3）過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)，如圖所示，
????
∵，
設(shè)拋物線的解析式為：，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則：，
由（2）知：直線：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時，有最大值，此時．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
26．（1）（2）證明見解析，拓展應(yīng)用：
【分析】（1）利用等邊對等角求出的長，翻折得到，，利用三角形內(nèi)角和定理求出，，，表示出即可；
（2）證明，利用相似比進(jìn)行求解即可得出；
拓展應(yīng)用：連接，延長至點(diǎn)，使，連接，得到為黃金三角形，進(jìn)而得到，求出的長即可．
【詳解】解：（1）∵，，
∴，
∵將折疊，使邊落在邊上，
∴，，
∴，；
故答案為：；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：（負(fù)值已舍掉）；
經(jīng)檢驗是原分式方程的解．
∴；
拓展應(yīng)用：
如圖，連接，延長至點(diǎn)，使，連接，
??
∵在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為黃金三角形，
∴，
∴．即菱形的較長的對角線的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是理解并掌握黃金三角形的定義，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，得到黃金三角形的底邊與腰長的比為．

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