?2020~2021學(xué)年度上學(xué)期華科附聯(lián)考體期中考試
高一數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1. 已知命題p：R，，則p的否定為（ ）
A. R， B. R，
C. R， D. R，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題可得答案.
【詳解】因?yàn)樘胤Q(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題
所以p的否定為R，
故選：B
2. 已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖形可得陰影部分表示的集合為，求出即可.
【詳解】根據(jù)圖形可得陰影部分表示集合為,
.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖形判斷集合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
3. 冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)可得，代入得，從而得解.
【詳解】?jī)绾瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，
所以.
故選：A.
4. “”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
，根據(jù)必要不充分條件的定義易判斷.
【詳解】解：，顯然的單調(diào)遞減區(qū)間，
時(shí)，不能得出“函數(shù)在上單調(diào)遞減”，
若“函數(shù)在上單調(diào)遞減”，則
“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的必要不充分條件，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷以及函數(shù)的單調(diào)性，基礎(chǔ)題.
5. 已知點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向和單調(diào)性確定正確選項(xiàng).
【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，在上遞減，
由于，則，
且，
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
6. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求定義域，分母不為0，即：，再根據(jù)抽象函數(shù)的定義域的求法可得：，聯(lián)立即可的解.
【詳解】有意義需，解得，
所以的定義域?yàn)?
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)定義域，考查了分母不為0以及求抽象函數(shù)定義域，屬于基礎(chǔ)題.
7. 中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱(chēng)為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，則此三角形面積的最大值為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，p＝10，S，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．
【詳解】由題意，p＝10，
S8，
∴此三角形面積的最大值為8．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．
8. 設(shè)定義在R上的奇函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析出函數(shù)在上是增函數(shù)，由得出，分和解不等式，即可得出原不等式的解集.
【詳解】解：由于奇函數(shù)在上是增函數(shù)，則該函數(shù)在上也是增函數(shù)，且，
，，
由可得，即.
當(dāng)時(shí)，得，解得；
當(dāng)時(shí)，可得，解得.
因此，原不等式的解集為或.
故選：D
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.
9. （多選）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2 km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過(guò)的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60 min
B. 甲從家到公園的時(shí)間是30 min
C. 甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快
D. 當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y與x的關(guān)系式為y＝x
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)圖表逐項(xiàng)判斷即可
【詳解】在A中，甲在公園休息的時(shí)間是10 min，所以只走了50 min，A錯(cuò)誤；
由題中圖象知，B正確；
甲從家到公園所用的時(shí)間比從公園到乙同學(xué)家所用的時(shí)間長(zhǎng)，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯(cuò)誤；
當(dāng)0≤x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得，D正確.
故選：BD
10. 下面四個(gè)命題中，真命題是（ ）
A. 若且，則 B. 若，則
C 若，則 D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于AC，利用作差法分析判斷，對(duì)于B，舉例判斷，對(duì)于D，利用基本不等式分析判斷
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榍?，所以，所以，所以，所以A正確，
對(duì)于B，若，則滿足，此時(shí)，則，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)椋裕?br /> 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以D正確，
故選：ACD
11. 若函數(shù)同時(shí)滿足：①對(duì)于定義域上的任意x，恒有；②對(duì)于定義域上的任意，，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱(chēng)函數(shù)為“理想函數(shù)”．則下列函數(shù)中能被稱(chēng)為“理想函數(shù)”的有（ ）
A. B. ；
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】已知條件說(shuō)明函數(shù)是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，因此判斷各選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可得．
【詳解】已知性質(zhì)1說(shuō)明函數(shù)是奇函數(shù)，性質(zhì)2說(shuō)明函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，
選項(xiàng)A，函數(shù)在及是減函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，選項(xiàng)B，在上是增函數(shù)，均不合題意，
選項(xiàng)C，，時(shí)，，時(shí)，，因此在定義域內(nèi)，函數(shù)為在奇函數(shù)，
上是減函數(shù)且，在上也是減函數(shù)且，因此函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，滿足題意，
選項(xiàng)D，易知其滿足題意．
故選：CD．
12. 對(duì)于實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)的最大值為1
C. 函數(shù)的最小值為0
D. 方程有無(wú)數(shù)個(gè)根
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)A選項(xiàng)直接計(jì)算進(jìn)行判斷，B、C、D選項(xiàng)根據(jù)函數(shù)定義，研究函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
，A正確；
由定義可得，所以，
所以無(wú)最大值，但有最小值且最小值為0，B錯(cuò)，C正確；
方程可化為，
所以，D正確，
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.
【答案】3
【解析】
【分析】由集合的元素，以及，分類(lèi)討論，結(jié)合集合元素互異性，即可得出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由題可得，若，則，不滿足集合元素的互異性，舍去；
若，解得或，其中不滿足集合元素的互異性，舍去，
所以.
故答案為：3.
【點(diǎn)睛】本題考查集合元素的互異性，結(jié)合元素與集合關(guān)系以及通過(guò)對(duì)集合中元素構(gòu)成的特點(diǎn)求參數(shù)值.
14. 二次不等式的解集為，則的值為_(kāi)______.
【答案】6
【解析】
【分析】由二次不等式與二次方程的關(guān)系可得，從而得解.
【詳解】二次不等式的解集為，
則，且的兩個(gè)根為和.
所以，解得.
所以
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次方程與二次不等式的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
15. 函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，恒有，且，則不等式的解集是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用賦值法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得到結(jié)論．
【詳解】，，
，
則不等式等價(jià)為，
函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，
不等式等價(jià)為，
即，解得，
不等式的解集為，
故答案為：.
16. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，與的圖像有8個(gè)交點(diǎn)，分別為，則_______.
【答案】16
【解析】
【分析】由為奇函數(shù)可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，分離常數(shù)可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，繼而可得與圖像的8個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，可求，結(jié)果可得.
【詳解】為奇函數(shù)
函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
與圖像的8個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
,,,
可得
同理可知


故答案為：
四、解答題：（本大題共6小題，共70分）.
17. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)得到關(guān)于的一元二次不等式，解得求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；
（2）依題意可得，分和兩種情況討論，分別得到不等式（組），解得即可.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，即，解得，
即，
時(shí)，
；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋裕?br /> ①當(dāng)時(shí)，則有，；
②當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上可得，即的取值范圍為.
18. 已知函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；
（2）根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間函數(shù)上單調(diào)遞減.
【答案】（1）是奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）奇偶性的判定可先求函數(shù)的定義域并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再驗(yàn)證之間的關(guān)系；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義可證明,先取值且，再作差并判定符號(hào)比較大小，即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
是奇函數(shù)，證明如下：
函數(shù)的定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
又
是奇函數(shù).
【小問(wèn)2詳解】
證明：設(shè)且，則

且即
即
函數(shù)在上是減函數(shù).
19. 給定函數(shù).

（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖像；
（2） 表示中的較大者，記為.結(jié)合圖像寫(xiě)出函數(shù)的解析式，并求的最小值.
【答案】（1）圖象見(jiàn)解析
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析直接畫(huà)圖象即可；
（2）先求出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)圖象可求出的解析式和其最小值.
【小問(wèn)1詳解】
對(duì)于，過(guò)作一條直線即可得到的圖象，
對(duì)于是對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上的拋物線，過(guò)作平滑曲線可得的圖象，圖象如圖所示，
【小問(wèn)2詳解】
由，得或，結(jié)合圖象，可得的解析式為
，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，.
20. 已知函數(shù).
（1）若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先分為和兩種情況,再結(jié)合二次函數(shù)值域恒成立求解即可;
（2）先參數(shù)分離把原不等式轉(zhuǎn)化為在有解,再根據(jù)二次函數(shù)求最值即可求出范圍.
【小問(wèn)1詳解】
對(duì)恒成立，
i）若，顯然成立，
ii）若，則，解得
所以，.
【小問(wèn)2詳解】
不等式在上有解
整理為在有解

在有解，即求在的最大值，
的對(duì)稱(chēng)軸為，
在上單調(diào)遞增
，

可得.
21. 三位同學(xué)畢業(yè)后，發(fā)現(xiàn)市內(nèi)一些小家電配件的批發(fā)商每天的批發(fā)零售的生意很火爆，于是他們?nèi)藳Q定利用所學(xué)專(zhuān)業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，專(zhuān)門(mén)生產(chǎn)這類(lèi)小家電配件，并與經(jīng)銷(xiāo)商簽訂了經(jīng)銷(xiāo)合同，他們生產(chǎn)出的小家電配件，以每件元的價(jià)格全部由經(jīng)銷(xiāo)商包銷(xiāo).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)這類(lèi)配件，每月需要投入固定成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件配件，還需再投入資金萬(wàn)元.在月產(chǎn)量不足萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）；在月產(chǎn)量不小于萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）.已知月產(chǎn)量是萬(wàn)件時(shí)，需要再投入的資金是萬(wàn)元.
（1）試將生產(chǎn)這些小家電的月利潤(rùn)（萬(wàn)元）表示成月產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)；（注：月利潤(rùn)月銷(xiāo)售收入固定成本再投入成本）
（2）月產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，這三位同學(xué)生產(chǎn)這些配件獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）；（2）月產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí)，這三位同學(xué)生產(chǎn)這些配件獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.
【解析】
【分析】
（1）由求出的值，然后分和兩種情況討論，根據(jù)月利潤(rùn)的計(jì)算公式可得出函數(shù)的解析式；
（2）分和兩段分別求出函數(shù)的最大值，比較大小后可得出結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)樵庐a(chǎn)量是萬(wàn)件時(shí)，需要再投入的資金是萬(wàn)元，
所以，解得.
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
所以；
（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)（萬(wàn)元）；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，此時(shí).
因?yàn)?，所以?dāng)月產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí)，這三位同學(xué)生產(chǎn)這些配件獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.
【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用，建立函數(shù)模型的解析式是關(guān)鍵，同時(shí)也考查了利用基本不等式和二次函數(shù)的基本性質(zhì)求最值，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.
22. 已知二次函數(shù)滿足，且的最小值是．
求的解析式；
若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
函數(shù)，對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【答案】（1）(2) （3）
【解析】
【詳解】試題分析：（1）因，故對(duì)稱(chēng)軸為，故可設(shè)，再由得.（2）有唯一實(shí)數(shù)根可以轉(zhuǎn)化為與有唯一的交點(diǎn)去考慮.（3），任意都有不等式成立等價(jià)于，分、、和四種情形討論即可.
解析：（1）因，對(duì)稱(chēng)軸為，設(shè)，由得，所以.
（2）由方程得，即直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)在的圖象.易得當(dāng)或時(shí)函數(shù)圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍是.
（3）由題意知.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，對(duì)任意都有成立，即，故有，由.
當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，.即，解得，所以.
當(dāng)時(shí)，
即解得.所以.
當(dāng)時(shí)，，即，所以，綜上所述，，
所以當(dāng)時(shí)，使得對(duì)任意都有成立.
點(diǎn)睛：（1）求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，有時(shí)也需要根據(jù)題設(shè)的特點(diǎn)合理假設(shè)二次函數(shù)的形式（如雙根式、頂點(diǎn)式、一般式）；
（2）不等式對(duì)任意的恒成立可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為恒成立.

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2020-2021學(xué)年湖北省宜城一中等五校聯(lián)考高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（PDF版）

2020-2021學(xué)年湖北省宜城一中等五校聯(lián)考高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（PDF版）
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