陜西省武功縣普集高級(jí)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月四模理科數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)虛部為（    ）A． B． C． D．2．已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．3．《數(shù)書九章》有這樣一個(gè)問題：有5位士兵按從低到高站成一排（從低到高依次為甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差數(shù)列，已知乙士兵的身高為5尺1寸，這五位士兵身高之和為26尺（1尺為10寸），則丁士兵的身高為（    ）A．5尺2寸 B．5尺3寸 C．5尺4寸 D．5尺5寸4．已知2022年第1季度農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出為4391元，為本季度農(nóng)村居民人均可支配收入的76%，本季度農(nóng)村居民人均可支配收入的來源及其占比的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的餅狀圖如圖所示，根據(jù)餅狀圖，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．財(cái)產(chǎn)凈收入占農(nóng)村居民人均可支配收入的4%B．工資性收入占農(nóng)村居民人均可支配收入的40%C．經(jīng)營(yíng)凈收入比轉(zhuǎn)移凈收入大約多659元D．財(cái)產(chǎn)凈收入約為173元5．已知過雙曲線：的右焦點(diǎn)作軸的垂線與兩條漸近線交于，，的面積為，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C．2 D．6．一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（    ）  A．1 B． C． D．77．函數(shù)的大致圖象可能為（    ）A．   B．   C．   D．  8．已知為第二象限角，，則（    ）A． B．C． D．9．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（    ）A． B．16 C． D．3210．在直四棱柱中，E，F分別為AC，的中點(diǎn)，在線段上，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）A．平面B．異面直線與夾角的正切值為2C．三棱錐的體積為定值D．11．已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）A．是周期函數(shù)B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．的值域?yàn)?/span>D．關(guān)于對(duì)稱12．已知不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D． 二、填空題13．已知的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為__________.14．已知菱形中，，則__________.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作拋物線的切線，切點(diǎn)為，，則拋物線的方程為__________.16．已知圓柱外接球的表面積為，則該圓柱表面積的最大值為______. 三、解答題17．已知分別是的角的對(duì)邊，.(1)求證：；(2)求的取值范圍.18．南水北調(diào)中線工程建成以來，通過生態(tài)補(bǔ)水和減少地下水開采，華北地下水位有了較大的回升，水質(zhì)有了較大的改善，為了研究地下水位的回升情況，對(duì)2015年~2021年河北某平原地區(qū)地下水埋深進(jìn)行統(tǒng)計(jì)如下表：年份2015201620172018201920202021埋深（單位：米）25.7425.2224.9523.0222.6922.0320.36根據(jù)散點(diǎn)圖知，該地區(qū)地下水位埋深與年份t（2015年作為第1年）可以用直線擬合.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)求線性回歸方程，并利用該回歸方程預(yù)測(cè)2023年北京平原地區(qū)地下水位埋深；(2)從2016年至2021年這6年中任取3年，該地區(qū)這3年中每一年地下水位與該地區(qū)上一年地下水位相比回升超過0.5米的年份數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附相關(guān)表數(shù)據(jù)：，；參考公式：，其中，.19．已知多面體，四邊形是等腰梯形，，，四邊形是菱形，，E，F分別為QA，BC的中點(diǎn)，.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面夾角的正弦值.20．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，（不在軸上）是橢圓上一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，的周長(zhǎng)為3，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓上一點(diǎn)，過作圓：的切線，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，判定，的斜率之積是否為定值，若為定值，求出定值.21．已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.22．已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為與曲線交于點(diǎn)，.(1)將曲線的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)已知是曲線上異于，的兩點(diǎn)，求面積的最大值.23．已知函數(shù).(1)解不等式；(2)已知的最小值為，正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.
參考答案：1．B【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算直接求解得到，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】由題知，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)虛部為，故選：B.2．D【分析】求出集合，結(jié)合集合間的關(guān)系和集合的交集并集運(yùn)算即可求解。【詳解】由題知，錯(cuò)誤；錯(cuò)誤：，故C錯(cuò)誤；，D正確，故選：.3．B【分析】依題意列方程組求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差即可求解.【詳解】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊這5位士兵身高依次所成等差數(shù)列為，公差為，則，解得丁的身高為，故選：B.4．D【分析】根據(jù)題干計(jì)算出本季度農(nóng)村居民人均可支配收入的總額，即可得出各收入占比，由此判斷出選項(xiàng).【詳解】由題知，農(nóng)村居民人均可支配收入為，?工資性收入占農(nóng)村居民人均可支配收入的，?財(cái)產(chǎn)凈收入占農(nóng)村居民人均可支配收入的百分比為，故錯(cuò)、B錯(cuò)；經(jīng)營(yíng)凈收入與轉(zhuǎn)移凈收入差為元，故錯(cuò)誤；財(cái)產(chǎn)凈收入為元，故D正確.故選：D.5．A【分析】先結(jié)合雙曲線的漸近線方程求出，再根據(jù)三角形面積公式得到即可.【詳解】  由題知，雙曲線的漸近線為，得，，，，，故選：A.6．C【分析】復(fù)原圖形可知該幾何體是棱臺(tái)，根據(jù)棱臺(tái)體積公式求解即可.【詳解】由題知，該幾何體是上底面邊長(zhǎng)為1的正方形、下底面邊長(zhǎng)為2的正方形、與底面垂直的側(cè)棱長(zhǎng)為1的棱臺(tái)，其直觀圖如圖所示，其體積為，故選：.  7．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和特殊值排除即可.【詳解】由題知，，，是奇函數(shù)，故排除B；，排除C；，，排除D，故選：A8．B【分析】由平方關(guān)系和輔助角公式可求解.【詳解】為第二象限角，，原式..故選：B.9．D【分析】根據(jù)，求出和的通項(xiàng)公式，代入不等式計(jì)算，再根據(jù)基本不等式即可求解得出.【詳解】，數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為2的等比數(shù)列，，解得或（舍），，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，.故選：.10．D【分析】根據(jù)圖中給定的幾何關(guān)系，運(yùn)用線面平行，異面直線夾角的計(jì)算方法逐項(xiàng)分析.【詳解】  設(shè)為中點(diǎn)，連接分別為的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面，平面，平面平面，，平面平面，平面平面，故正確； 是異面直線與夾角，易得，，故B正確；平面在線段上，到平面的距離為定值，又的面積為定值，三棱錐的體積為定值，故C正確；假設(shè)為的中點(diǎn)，，，又，， ，矛盾，故D錯(cuò)；故選：D.11．D【分析】由周期函數(shù)的定義可判斷A；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論可判斷B；判斷出的單調(diào)性可判斷C；由函數(shù)有對(duì)稱軸的性質(zhì)可判斷D.【詳解】由題知，，，是函數(shù)的一個(gè)周期，故A正確；在區(qū)間上是增函數(shù)，其值域?yàn)?/span>在區(qū)間上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同増異減法則知，在區(qū)間上是增函數(shù)，故B正確；的值域?yàn)?/span>在區(qū)間上是增函數(shù)，的值域?yàn)?/span>，故C正確；不關(guān)于對(duì)稱，故錯(cuò)誤，故選：D.12．C【分析】構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，先利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，從而得到在處取到最小值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)知在處取到最大值，從而可求出結(jié)果.【詳解】，所以不等式有實(shí)數(shù)解，即不等式成立，設(shè)， ，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，又因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椴坏仁?/span>有實(shí)數(shù)解，則故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵在于，通過構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出兩個(gè)函數(shù)的最值，兩個(gè)函數(shù)均在處取到最值，從而得解.13．2【分析】分情況討論，當(dāng)?shù)?/span>1個(gè)因式取時(shí)，第2個(gè)因式展開式中取常數(shù)項(xiàng)；當(dāng)?shù)?/span>1個(gè)因式取時(shí)，第2個(gè)因式展開式中取含，分別求出系數(shù)相加求解即可得出答案.【詳解】當(dāng)?shù)?/span>1個(gè)因式取時(shí)，第2個(gè)因式展開式中取常數(shù)項(xiàng)，其系數(shù)為，當(dāng)?shù)?/span>1個(gè)因式取時(shí)，第2個(gè)因式展開式中取含，其系數(shù)為，由題知，，解得.故答案為：2.14．【分析】根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】設(shè)與交于，則且是線段的中點(diǎn)，，由平面向量數(shù)量積的幾何意義知，.故答案為：15．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立等量關(guān)系，求解即可.【詳解】不妨設(shè)，由拋物線定義知，，當(dāng)時(shí)，，解得拋物線的方程為，故答案為：.16．【分析】根據(jù)球的表面積求出半徑，建立圓柱高和半徑的方程，求出圓柱表面積解析式，三角換元，利用三角函數(shù)知識(shí)求解圓柱表面積的最大值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為、高為，球的半徑為，由題知，，解得，由圓柱的軸截面知，，如圖  所以該圓柱的表面積為，設(shè)，所以，其中，所以當(dāng)即時(shí)，.故答案為：17．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解.（2）由（1）知，，利用正弦定理可得，然后利用換元思想得，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）由正弦定理及知，，由余弦定理得，，或..（2）由（1）和正弦定理得，，，設(shè)，則，則，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，則，即.的取值范圍為.18．(1)，(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2 【分析】（1）利用題目數(shù)據(jù)結(jié)合最小二乘法求解線性回歸直線方程，代入計(jì)算即可；（2）先求出隨機(jī)變量的所有取值，再求出對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題知，又，所以，所以，所以線性回歸方程為，令，則.（2）由題知，在2016年至2021年6年中，2016年、2018年、2020年、2021年共4年該地的地下水位上升超過0.5米，所以的取值可能為，則，所以的分布列為123所以.19．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合線面垂直的判定定理可證平面，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）建系，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）設(shè)是線段的中點(diǎn)，連接，過作，垂足為，因?yàn)樗倪呅?/span>為等腰梯形，，所以，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，可得，則，即四邊形為平行四邊形，可得，所以，又因?yàn)樗倪呅?/span>是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，則是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得，則，可得，因?yàn)?/span>平面平面，所以平面，且平面，所以平面平面.（2）以為原點(diǎn)、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，可得，設(shè)直線與平面的夾角為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為.20．(1)(2)是定值，定值為 【分析】（1）根據(jù)的周長(zhǎng)，離心率結(jié)合橢圓的定義得到關(guān)于的方程，再結(jié)合，解方程即可得出答案；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由直線與圓：相切可得③，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，將③代入化簡(jiǎn)即可得出，的斜率之積為定值；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求出的坐標(biāo)，由斜率公式也可驗(yàn)證.【詳解】（1）由題知，①由橢圓定義知，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為②由①②解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由直線與圓：相切，得，③，將代入，整理得.，，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，則，綜上，直線的斜率之積為定值，定值為-1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：探索曲線過定點(diǎn)的常見方法有兩種：① 可設(shè)出曲線方程 ，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)(直線過定點(diǎn)，可以根據(jù)直線的各種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程找出定點(diǎn)). ② 從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān).21．(1)答案見解析(2)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論含參函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而求出極值，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）由題知，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是?函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).（2）由（1）知，，定義域?yàn)?/span>，，設(shè)，在區(qū)間上是增函數(shù)，存在唯一，使，即，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取極大值為，設(shè)，其知在區(qū)間上是減函數(shù).在內(nèi)無零點(diǎn)，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有且只有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，主要是由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．難點(diǎn)是在確定零點(diǎn)存在時(shí)，零點(diǎn)兩邊函數(shù)值異號(hào)時(shí)點(diǎn)的取得．22．(1)(2) 【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程即可.（2）利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式求出結(jié)果.【詳解】（1）由（為參數(shù)）得，（為參數(shù)），消去得，，即，將代入上式得，，曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，將代入得，則，由題知，直線的直角坐標(biāo)方程為，由（1）知曲線是圓心為，半徑為2的圓，圓心到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離的最大值為，面積的最大值為.23．(1)(2) 【分析】（1）范圍根據(jù)x的取值展開，解出不等式即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出的最小值，代入上式利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）由題知，原不等式等價(jià)于或或，解得不等式的解集為（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，. 

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