?湖南省長沙市第一中學2022-2023學年高二下學期第三次階段性測試數(shù)學試卷
學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題
1、若，則( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2、在平面直角坐標系xOy中，若角以x軸非負半軸為始邊，其終邊與單位圓交點的橫坐標為，則的一個可能取值為( )
A. B. C. D.
3、已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象( )
A.關于點對稱 B.關于點對稱
C.關于點對稱 D.關于點對稱
4、已知向量，，，若，，則（ ）
A.-5 B.-6 C.5 D.6
5、我國新型冠狀病毒感染疫情的高峰過后，關于藥物浪費的問題引發(fā)了廣泛的社會關注．過期藥品處置不當，將會給環(huán)境造成危害．現(xiàn)某藥廠打算投入一條新的藥品生產(chǎn)線，已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計年產(chǎn)量為（單位：萬件），但如果年產(chǎn)量超過60萬件，將可能出現(xiàn)產(chǎn)量過剩，產(chǎn)生藥物浪費．因此從避免藥物浪費和環(huán)境保護的角度出發(fā)，這條生產(chǎn)線的最大生產(chǎn)期限應擬定為( )
A.7年 B.8年 C.9年 D.10年
6、如圖所示，已知一個球內接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為3和4，球的體積為，則該圓臺的側面積和體積分別為( )

A.， B.， C.， D.，
7、數(shù)學對于一個國家的發(fā)展至關重要，發(fā)達國家常常把保持數(shù)學領先地位作為他們的戰(zhàn)略需求．現(xiàn)某大學為提高數(shù)學系學生的數(shù)學素養(yǎng)，特開設了“古今數(shù)學思想”，“世界數(shù)學通史”，“數(shù)學方法論”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學”五門選修課程，要求數(shù)學系每位同學每學年至多選3門，大一到大三三學年必須將五門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式有( )
A.150種 B.210種 C.300種 D.360種
8、已知點M，N是拋物線和動圓的兩個公共點，點F是的焦點，當MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，則當r變化時，的最小值為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、多項選擇題
9、下列有關四邊形ABCD的形狀，判斷正確的有( )
A.若，則四邊形ABCD為平行四邊形
B.若，且，則四邊形ABCD為菱形
C.若，則四邊形ABCD為矩形
D.若，且，則四邊形ABCD為正方形
10、已知函數(shù)，，則下列結論中正確的是( )
A.若，則將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱
B.若，且的最小值為，則
C.若在上單調，則的取值范圍為
D.若在上有且僅有2個零點，則的取值范圍是
11、如圖，在正三棱錐中，底面的邊長為4，E為AD的中點，，則下列結論正確的是( )

A.該棱錐的體積為
B.該棱錐外接球的體積為
C.異面直線CE與BD所成角的余弦值為
D.以D為球心，AD為半徑的球截該棱錐各面所得交線長為
12、定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為滿足，若對于任意，則一定成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空題
13、某產(chǎn)品廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
廣告費x/萬元
1.8
2.2
3
5
銷售額y/萬元
12
■
28
40
根據(jù)上表已得回歸方程為，表中一數(shù)據(jù)模糊不清，請推算該數(shù)據(jù)的值為________．
14、若直線與曲線相切，則實數(shù)________．
15、已知雙曲線的左、右焦點分別為，若雙曲線的左支上存在一點P，使得與雙曲線的一條漸近線垂直于點H，且，則此雙曲線的離心率為______．
16、拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點”.在中，已知，且，現(xiàn)以BC，AC，AB為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的面積最大值為______.
四、解答題
17、每年4月23日是世界讀書日，設立的目的是推動更多的人去閱讀和寫作，享受閱讀帶來的樂趣．為了鼓勵同學們閱讀四大名著，學校組織了相關知識競答活動，該活動有個人賽和團體賽，每人只能參加其中的一項，根據(jù)各位學生答題情況，獲獎學生人數(shù)統(tǒng)計如下：
獎項組別
個人賽
團體賽獲獎
一等獎
二等獎
三等獎
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
（1）從獲獎學生中隨機抽取1人，若已知抽到的學生獲得一等獎，求抽到的學生來自高一的概率；
（2）從高一和高二獲獎者中各隨機抽取1人，以X表示這2人中團體賽獲獎的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．
18、已知數(shù)列中，，前n項和為，若對任意的，均有．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列滿足，求（且）的值（結果用m表示）．
19、在幾何體中，，，點D，E在棱AC上，且，三棱柱是直三棱柱，且．

（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
20、在直角坐標系xOy中，動點Q到直線的距離與到點的距離之比為2，動點Q的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）P是直線l上一點，過點P作曲線C的兩條切線PA、PB，切點為A、B，求的最大值．
21、設，函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的零點個數(shù)；
（2）若函數(shù)有兩個零點，，求證：．
22、已知，是方程的兩個實根，且.
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知，，若存在正實數(shù)，使得成立，證明：.
參考答案
1、答案：C
解析：依題意，，于是，
所以.
故選：C
2、答案：B
解析：依題意可得，則,或，
所以的一個可能取值為.
故選：B
3、答案：A
解析：函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關于對稱，
則函數(shù)關于對稱，
所以函數(shù)的圖象關于對稱．
故選：A.
4、答案：A
解析：向量，，，
，又，
，即，
解得實數(shù)．
故選：A．
5、答案：B
解析：第一年年產(chǎn)量為，以后各年年產(chǎn)量為，，
當時也符合上式，．令，
得．設，對稱軸為，
則當時，單調遞增，又因為，，
則最大生產(chǎn)期限應擬定為8年，，
故選：B．
6、答案：D
解析：設球的半徑為R，則，所以，取圓臺的軸截面ABCD，
如圖所示；設圓臺的上、下底面圓心分別為F、E，則E、F分別為AB、CD的中點，
連接OE、OF、OA、OB、OC、OD，則．

由垂徑定理可如，，，
所以，，
所以，．因此，圓臺的側面積為，
圓臺的體積為，
故選：D．
7、答案：B
解析：第1步，將五門選修課程分為3組，若分為3、1、1三組，有種分組方法，
若分為3，2，0三組，有種分組方法，
若分為2、2、1三組，有種分組方法，
則一共有種分組方法．
第2步將分好的三組安排在三年內選修，有種情況，
則有種選修方式，
故選：B.
8、答案：B
解析：圓的圓心，
當MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，
設直線MN的方程為，化簡為：，
，消去y可得：，
設，，所以，
因為C是MN的中點，所以，解得：，
故，，由拋物線的定義可知，過點M作交l于點H，
過點C作交l于點P，
所以，所以，
當C,P,M三點在一條直線時取等.
故選：B.

9、答案：AB
解析：選項A，若，則，，則四邊形ABCD為平行四邊形，故A正確；
選項B，若，則 ，，則四邊形ABCD為平行四邊形，
又，則，則四邊形ABCD一定是菱形，故B正確；
選項C，若，則，則，
則，僅由不能判定四邊形ABCD為矩形，故C錯誤；
選項D，若，則，，則四邊形ABCD為平行四邊形，
又由，可得，所以對角線，則平行四邊形ABCD為菱形，故D錯誤，
故選：AB．
10、答案：ABC
解析：函數(shù)．
選項A：若，，
將的圖象向左平移個單位長度得函數(shù)的圖象，所以A正確；
選項B：若，則，分別是函數(shù)的最大值點，最小值點(或者最小值點和最大值點)，若的最小值為，則最小正周期是，所以，B正確；
選項C：設，當時，，若在上單調，
則，所以，C正確；
選項D：當時，，若在僅有2個零點，
則在僅有2個零點，則，所以，D錯誤，
故選：ABC．
11、答案：BCD
解析：因為，由正三棱錐性質可知，AC，AB，AD兩兩垂直，
且，利，所以，，
所以，A錯誤；
設外接球半徑為R，補形成以AC，AB，AD同一頂點出發(fā)的三條棱長的正方體可知，
則正方體的體對角為其外接球的的直徑，即，即，
所以外接球體積為，B正確；
記AB中點為H，連接CH，EH，則，
由于,所以，所以為銳角，所以即為異面直線CE與BD所成角．
因，，
所以，故C正確；
如圖，易知以D為球心，AD為半徑的球截該棱錐各面所得交線，是以D為圓心，AD為半徑的三段圓弧，其圓心角分別為，，，
所以其交線長為，故D正確．
故選:BCD．

12、答案：ABD
解析：設，則，所以在上單調遞增．
選項A：由于，所以，則，所以，故A正確；
對于B：由于，且，
所以，
故，故B正確；
對于C：取滿足條件，取,
但，故C錯誤；
對于D：因為，所以，即，
從而，同理可得，
所以，D正確，
故選：ABD．
13、答案：16
解析：設數(shù)據(jù)的值為a，可得，，
由回歸直線方程恒過樣本中心點，可得，
解得．
故答案為：16.
14、答案：2
解析：設切點為，由，得，則，
因為點A為直線與曲線的公共點，則，
所以，，即，可得，故.
故答案為：2.
15、答案：
解析：設雙曲線的左、右焦點分別為：，，
一條漸近線方程為，
可得到漸近線的距離為，，
則，，
在直角三角形中，，
在中，可得，
化為，即有.
故答案為：.
16、答案：
解析：設的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.
連接，則由題設得，，

因為以BC，AC，AB為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，
所以，，
所以
在中，由余弦定理可得
即
又，
即（等號當時成立），
由題意可得為等邊三角形，
故
故答案為：
17、答案：（1）
（2）分布列見解析；期望為
解析：（1）記“任取1名學生，該生獲得一等獎”事件A，記“任取1名學生，該生為高一學生”為事件B，
則，，所以．
（2）由已知可得，高一團體賽獲獎的概率，
高二團體賽獲獎的概率，
所以X的可能取值為0，1，2．
所以，
，
．
則X的分布列為
X
0
1
2
P



．
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因為，故，兩式相減得，，
在中令，則可得，故，
故，則數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為3，所以．
（2）．
令，解得，
可得當，2，3時，，當且時，．




19、答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）因為三棱柱是直三棱柱，
所以⊥平面，因為平面，所以．
由，，點D，E在棱AC上，且，
由余弦定理得，
而，則，
即有，，
即有，所以，．
因為，AB，平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面．
（2）由題意，由（1）易知BD，BC，兩兩垂直，
以點B為坐標原點，直線BD，BC，分別為x秞、y軸、z軸建立空間直角坐稱系，
因為，E為CD中點，則，，，，，，
所以，，．
設平而的法向量，
則，即，
取，得，
又平面的一個法向量．
設平面與平面夾角為，則
，
故所求平面與平面所夾角的余弦值為．

20、答案：（1）
（2）
解析：（1）設動點Q的坐標為，
因為動點Q到直線的距離與到點的距離之比為2，
可得，整理得，
即所求曲線C的方程為．
（2）根據(jù)題意，設點，顯然，過P點的切線斜率均存在，設切線方程：，
聯(lián)立方程組，整理得，
由，即，
設兩條切線斜率分別為，，則，
則，當且僅當時取等號，
所以的最大值為．

21、答案：（1）兩個
（2）證明見解析
解析：（1）由題設得．
令，得．設，因為，所以，
所以．
①當時，無解；
②當時，僅有一解，此時x僅有一解；
③當時，有兩解，
此時方程各有一解，所以有兩個零點；
綜上，時，無零點，時，有一個零點，
時，有兩個零點．
（2）有兩個零點時，今，，則，為的兩解，
則，則，則．
由，可得，，所以，
所以．所以．
由可得，，則．
由在遞減，可得，則．
22、答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由，可得，即，
設，函數(shù)為單調遞增函數(shù)，
則，則，即，
所以方程的根即方程的根.
令，則，
當且，；當，；
在上單調遞減，且，在上單調遞減，在上單調遞增，
當，時，的值趨近于正無窮大，
當時，的值趨近于正無窮大，
因為方程有兩個實根，所以，故.
（2）要證，即證，由（1）可得，
只需證明，
下面證明；
令，，所以在R上單調遞增，
又因為，則當時，.
設，則，
當時，，
設，則，
所以當時，，在上單調遞增，
所以，則，
所以，則在單調遞增，
所以，即．
綜上所述，.


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