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2022-2023學(xué)年高中畢業(yè)班階段性測試（七）
數(shù)學(xué)
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡集合，由條件可得，根據(jù)集合關(guān)系列不等式求的取值范圍.
【詳解】因為，
所以，即，
因為，所以，又，
所以，
故實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
2. 已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則求的代數(shù)形式，再確定其在復(fù)平面所對應(yīng)的點及其象限.
【詳解】因為，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，該點在第四象限.
故選：D.
3. 已知是圓錐的一個軸截面，分別為母線的中點，，則圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)軸截面求出底面半徑和母線長，再根據(jù)側(cè)面積公式可求出結(jié)果.
【詳解】如圖：

因為，所以，則圓錐底面半徑，
，即母線，
所以圓錐的側(cè)面積.
故選：D
4. 記為等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A. 30 B. 28 C. 26 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，列出首項和公差的方程組，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，
則，，，
所以.
故選：C
5. 函數(shù)的部分圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代入特殊點及結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析即可.
【詳解】由解析式可得，，排除A；
觀察C、D選項，其圖象關(guān)于縱軸對稱，而，
說明不是偶函數(shù)，即其函數(shù)圖象不關(guān)于縱軸對稱，排除C、D；顯然選項B符合題意.
故選：B
6. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算，分別利用對數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)作商即可求解.
【詳解】因為，，，
由，所以，
由，而，則，所以，
綜上：，
故選：A.
7. 已知點為銳角的外接圓上任意一點，，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)的外接圓的半徑為，根據(jù)向量線性運算和數(shù)量積運算公式化簡可得，根據(jù)正弦定理可求，再求出的范圍，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可求的范圍.
【詳解】因為，
所以
所以，
設(shè)的外接圓的半徑為，則

所以，
所以，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
所以，
因為，所以，
因為，
所以，
所以，
又，所以，故，
所以，所以，
又在上都增函數(shù)，
所以，故，
又，，，
，故，
所以，
其中當(dāng)時，即點與點重合時左側(cè)等號成立，
所以的取值范圍為.
故選：B.

8. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交于點，過點作，垂足分別為，且為線段的中點，，則雙曲線的離心率為（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由條件證明為線段的中點，由此可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，由勾股定理可得的關(guān)系，由此可求曲線的離心率.
【詳解】因為，為雙曲線的左?右焦點，
所以，
因為
所以，又為線段的中點，
所以為線段的中點，且，
又為線段的中點，
所以，
在中，，，
所以，
所以，
因為點在雙曲線的右支上，
所以，
故，
在中，，，，
由勾股定理可得：，
所以，即，
所以，又，
故，
所以，
故選：D.

【點睛】方法點睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，
然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 如圖為國家統(tǒng)計局公布的2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費支出統(tǒng)計圖，則（ ）

A. 2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費支出均呈增長趨勢
B. 2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出的中位數(shù)為27535
C. 2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差大于人均消費支出的極差
D. 2022年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出占人均可支配收入的比例大于80%
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)圖表逐項進(jìn)行判斷即可求解.
【詳解】對于，由圖知年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入呈增長趨勢，但人均消費支出2020年比2019年少，所以A不正確；
對于B，由圖可知年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出的中位數(shù)為，所以B正確；
對于C，年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為，人均消費支出的極差為，所以C正確；
對于D，2022年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出占人均可支配收入的比例為，小于，所以D不正確.
故選：BC.
10. 已知為坐標(biāo)原點，動點滿足，記動點的軌跡為，設(shè)為軌跡上的兩點，為直線上一動點，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 直線與軌跡有兩個公共點
B. 若直線為軌跡的一條切線，則的最小值為1
C. 當(dāng)時，的最大值是
D. 若為軌跡的兩條切線，則四邊形面積的最小值為1
【答案】BD
【解析】
【分析】由條件求出點的軌跡方程，由此確定其軌跡，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系判斷A，再求切線長的最小值，由此判斷BD，結(jié)合向量的運算判斷C.
【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，
因為，所以，
所以動點的軌跡為以原點為圓心，為半徑的圓，
因為，
所以直線的方程為，
因為圓心到直線的距離，
所以直線與軌跡沒有公共點，A錯誤；
因為直線為軌跡的一條切線，
所以，所以，
因為點到直線的距離，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)且在線段上時取等號，
又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且在線段上時取等號，
故的最小值為1，
所以的面積，
同理可得的面積，
所以四邊形面積，
當(dāng)且僅當(dāng)且在線段上時取等號，
所以四邊形面積的最小值為1，所以B，D 正確；

若，設(shè)圓心到直線的距離為，
則，
設(shè)的中點為，則，
所以，
因為為直線上一動點，所以無最大值，
所以無最大值，C錯誤；

故選：BD.
11. 已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上有且僅有三個對稱中心，則（ ）
A. 的取值范圍是
B. 的圖象在區(qū)間上有2條或3條對稱軸
C. 在區(qū)間上最大值不可能為3
D. 在區(qū)間上為增函數(shù)
【答案】BD
【解析】
【分析】化簡得，令，求出其對稱中心的橫坐標(biāo)，由及有且只有三個整數(shù)值，可得，故A不正確；令，求出其對稱軸，結(jié)合的范圍分析可知B正確；利用得，由的范圍分析可得C不正確；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得D正確.
【詳解】，
令，得，
由結(jié)合，得，
依題意有且只有三個整數(shù)值，所以，得，故A不正確；
令，得，
由結(jié)合，得，
當(dāng)時，，此時或，函數(shù)的圖象在區(qū)間上有2條對稱軸，為，，
當(dāng)時，，此時或或，函數(shù)的圖象在區(qū)間上有2條對稱軸，為，，，
所以的圖象在區(qū)間上有2條或3條對稱軸，故B正確；
當(dāng)時，，
因為，所以，所以當(dāng)，即時，取得最大值，故C不正確；
由，得，因為，所以，
因為，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，故D正確.
故選：BD
12. 如圖，在直四棱柱中，分別為側(cè)棱上一點，，則（ ）

A. B.
C. 的最大值為 D. 當(dāng)時，
【答案】AD
【解析】
【分析】通過證明平面，可得A正確；以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算可得B不正確，C不正確，D正確.
【詳解】在等腰梯形中，因為，
根據(jù)平面幾何知識可得，，，
在直棱柱中，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因為平面，所以，故A正確；
因為兩兩垂直，所以以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，，，，
，，，
，則，故B不正確；
，
令，則，
所以當(dāng)，時，取得最小值，則，
根據(jù)平面向量夾角的范圍可知，的最大值為，故C不正確；
當(dāng)時，，，，
所以，又與不相交，所以，故D正確.
故選：AD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，則__________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用兩角和的正弦公式，化簡求，再化簡求值.
【詳解】已知，所以，，
.
故答案為：2
14. 已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則的展開式中的系數(shù)為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求，結(jié)合二項式定理展開式的通項公式求展開式中的系數(shù).
【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，且，
所以，故，
二項式展開式的通項，
令，可得，
所以展開式中的系數(shù)為，
故答案為：.
15. 已知在平面直角坐標(biāo)系中橢圓的離心率為分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上不同于四個頂點的任意一點，延長線段到，若在軸上存在一點，滿足，垂足為，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】由條件結(jié)合離心率定義求，由條件證明，結(jié)合橢圓定義可得，利用中位線性質(zhì)求.
【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則，故，
由題可知，解得.
因為，
所以為線段的中點，且是的垂直平分線，
則.
由橢圓定義可知.
因為為的中點，
所以.
故答案為：.

16. 已知，且，則的最小值為__________.
【答案】1
【解析】
【分析】由，得，構(gòu)造函數(shù)，，用導(dǎo)數(shù)得在上為增函數(shù)，可得，即，代入后再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出最小值.
【詳解】因為，，所以，所以，且，
所以，
設(shè)，，
則，因為，所以，在上為增函數(shù)，
因為，所以，則，所以，
所以，
令，則，
令，則，則在上為增函數(shù)，
令得，即，
則存在唯一實數(shù)，使得，即，
所以當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以.
所以的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：將變形為，再利用指對同構(gòu)，設(shè)，，將化為是本題解題關(guān)鍵.
四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 從①，②，③前項和滿足中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答.
已知數(shù)列的首項，且__________.
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）選①因式分解得，則有，則可得到其通項，選②兩邊同加得，則可寫出通項，選③移項整理有，則可得到其通項；
（2），通過列項求和即可得到答案.
【小問1詳解】
選①：
由，
可得.
因為，所以
所以是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以
選②：
由，得，
所以，所以，
故數(shù)列是常數(shù)列，
所以，故.
選③：
由，得，則，
所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以，則.
當(dāng)時，，
易知也滿足上式，
故的通項公式為.
【小問2詳解】
由（1）可得，
則

18. 鄉(xiāng)村民宿立足農(nóng)村，契合了現(xiàn)代人遠(yuǎn)離喧囂?親近自然?尋味鄉(xiāng)愁的美好追求.某鎮(zhèn)在旅游旺季前夕，為了解各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿的品質(zhì)，隨機抽取了8家規(guī)模較大的鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計得到各家的房間數(shù)如下表：
民宿點
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
普通型民宿
16
8
12
14
13
18
9
20
品質(zhì)型民宿
6
16
4
10
11
10
9
12

（1）從這8家中隨機抽取3家，在抽取的這3家的普通型民宿的房間均不低于10間的條件下，求這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間的概率；
（2）從這8家中隨機抽取4家，記X為抽取的這4家中普通型民宿的房間不低于15間的家數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件概率公式即可求解.
(2)根據(jù)超幾何分布，即可求出分布列和期望.
【小問1詳解】
由題可知這8家鄉(xiāng)村民宿中普通型民宿的房間不低于10間的有6家，品質(zhì)型民宿和普通型民宿的房間均不低于10間的有4家.
記“這3家的普通型民宿的房間均不低于10間”為事件，“這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間”為事件，則，
所以.
【小問2詳解】
這8家鄉(xiāng)村民宿中普通型民宿的房間不低于15間的有3家，故的所有可能取值為.
，
，
所以的分布列如下表：

0
1
2
3





所以.
19. 如圖，在四棱柱中，

（1）求證：平面平面；
（2）設(shè)為棱的中點，線段交于點平面，且，求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.
（2）由（1）的信息，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.
【小問1詳解】
設(shè)交于點，連接，如圖，
因為，則點在線段的垂直平分線上，即有為的中點，
又因為，則，
又平面，因此平面，而平面，
所以平面平面.
【小問2詳解】
由（1）知，平面，而平面，則平面平面，
在平面內(nèi)過作，又平面平面，因此平面，
射線兩兩垂直，以為原點，射線的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
因為為棱的中點，則點是正的重心，
又，平面，且，
則，
所以，
設(shè)平面法向量為，
則，令，得，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
20. 如圖，在中，分別為邊上一點，.


（1）若，求的長；
（2）若，求的長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中由余弦定理求，在中由勾股定理求的長；
（2）設(shè)，在中由正弦定理求得，再由正弦定理求.
【小問1詳解】
在中由余弦定理可得，
又，
所以，
所以，
解得或，
因為為的斜邊，，
故，
所以，且；
【小問2詳解】
設(shè)，
則，又，故，
因為，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
設(shè)，
則，故，
因為，所以，所以，
所以，即，
由正弦定理可得，
所以，
所以.

21. 已知點是拋物線焦點，準(zhǔn)線與軸的交點為，點是拋物線上任一動點.當(dāng)點的橫坐標(biāo)為8時，的面積為.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)是拋物線的準(zhǔn)線上的兩個不同點，點的橫坐標(biāo)大于1，坐標(biāo)原點到的邊的距離都等于1，求的周長的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解.
（2）設(shè)點，點，點，通過點到直線、的距離為1，得到是關(guān)于的方程的兩個不等實根.從而得到根與系數(shù)的關(guān)系，從而求出面積的最小值，即可求出周長的最小值.
【小問1詳解】
將代入拋物線方程，得.
因為的面積為，
所以，解得
所以拋物線的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)點，點，點，
則直線的方程為，即.
由原點到直線的距離為1，可得，
故.
由條件知，上式化簡得.
同理有.
所以是關(guān)于的方程的兩個不等實根.
由根與系數(shù)的關(guān)系可得.
所以.
因為，所以，
又點到直線的距離為，
所以的面積為.
令，則.
因為，
上述兩個不等式都當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，
故面積的最小值為.
因為原點到的三邊距離都等于1，所以，
所以的周長為，
所以的周長的最小值為.

22 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；
（2）若的圖象與直線恰有兩個不同的公共點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上有兩個零點即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，求導(dǎo)得，則，而，
所以的圖象在點處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
設(shè)，其定義域為，
則，
①若，即，當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為時，時，，
所以要使有兩個零點，則，解得，故；
②若，即，由，解得，所以有且僅有1個零點，則不符合題意；
③若，即，由，得或，由，得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為時，時，，
所以要使有兩個零點，則或，
若，解得，不符合題意；
若，設(shè)，
則化為，
當(dāng)時，，所以無解，
即無解，故不符合題意；
④若，即恒成立，則在上單調(diào)遞增，從而最多有1個零點，則不符合題意.
⑤若，即，由，得或，由，得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為時，時，，
所以要使有兩個零點，則或，
若，解得，不符合題意，
若，
設(shè)，則化為，
令，則，
設(shè)，則當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，
從而，所以在上單調(diào)遞減，
所以，則無解，即無解，故不符合題意，
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】思路點睛：涉及含參的函數(shù)零點問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.




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