樹德中學(xué)高2021級(jí)高二下期5月階段性測(cè)試數(shù)學(xué)（文科）一?選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知A＝{，0，1 }，B＝{，，1}，則A∪B的真子集的個(gè)數(shù)為（    ）A. 3 B. 7 C. 15 D. 31【答案】C【解析】【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算法則可求得，代入子集計(jì)算公式，即可求得答案.【詳解】由題意得：，所以的真子集個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：C2. 若條件，條件，則是的（    ）A. 必要而不充分條件 B. 充分而不必要條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義即可求解.【詳解】由題意可知，?，所以是的充分而不必要條件.故選：B.3. 已知為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，解得，代入中，利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)即可.【詳解】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，.故選：C4. 對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，其回歸方程為，且，，則實(shí)數(shù)的值是（     ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出、，根據(jù)回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，求出參數(shù)的值.【詳解】解：，，，，樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入回歸直線，可得，．故選：D．5. 已知命題p：對(duì)任意x∈R,2x2＋2x＋<0，命題q：存在x∈R，sin x－cos x＝，則下列判斷正確的是(　　)A. p是真命題 B. q是假命題C. p的否定是假命題 D. q的否定是假命題【答案】D【解析】【分析】利用配方法可得2x2+2x+≥0判斷命題p為假命題，由兩角和的正弦公式判斷命題q為真命題，則答案可求．【詳解】∵2x2+2x+=，∴命題p：?x∈R，2x2+2x+＜0為假命題；∵sinx﹣cosx=sin（），∴命題q：?x∈R，sinx﹣cosx=為真命題．∴￢q是假命題．故選D．6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為4，則的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接按照程序框圖執(zhí)行即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體，時(shí)結(jié)束循環(huán)，輸出，所以執(zhí)行程序框圖，；；；，結(jié)束循環(huán)，因此的取值范圍為.故選：C.7. 下列各圖中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB//平面MNP的圖形的序號(hào)是A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用線面平行的判定、面面平行及線面相交、面面平行的性質(zhì)，并結(jié)合圖形即可判斷結(jié)論在各圖中是否正確【詳解】，如圖，作//，連接，得平面，平面?//平面即//平面，故①項(xiàng)正確；②項(xiàng)，如圖，連結(jié)由已知可得平面//平面；∵和平面相交，∴不平行于平面，故②項(xiàng)錯(cuò)誤；③項(xiàng)，如圖，連接由已知可得//，而//，可得//，又∵//，，∴平面//平面，又∵平面∴//平面，故③項(xiàng)正確；④項(xiàng)，如圖，由//，平面，若//平面，又則平面//平面而由圖可知，平面不可能平行平面∴不平行于平面，故④項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上，①③符合題意.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的線面、面面平行關(guān)系，結(jié)合圖形，綜合運(yùn)用了線面、面面平行的判定及面面平行的性質(zhì)8. 若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】計(jì)算，再將問題轉(zhuǎn)化為在有2個(gè)不同的兩側(cè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根，從而利用二次函數(shù)的根的分布即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，所以在有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知這兩根的兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，所以，解得.故選：C.9. 已知，且，則下列結(jié)論一定正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此證明，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷BC.【詳解】由，化簡(jiǎn)可得，故，又，故考慮構(gòu)造函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，即所以， A正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以，B錯(cuò)誤；取，則，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且，，存在滿足該方程， 此時(shí)，C錯(cuò)誤；故選：A.10. 已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，圓與的漸近線相切.為右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為.給出以下結(jié)論：①的離心率；②兩漸近線夾角為；③為定值；④的最小值為.則所有正確結(jié)論為（    ）A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓與漸近線相切可求出，，根據(jù)離心率公式求出離心率可判斷①正確；根據(jù)漸近線方程可得傾斜角，從而可得兩漸近線的夾角，可判斷②不正確；設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出為定值，可判斷③正確；設(shè)，聯(lián)立直線方程解得的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出可判斷④正確.【詳解】因?yàn)閳A與的漸近線相切，所以圓心到漸近線的距離等于圓的半徑，即，解得，所以，離心率，故①正確；因?yàn)?/span>的漸近線為，所以兩漸近線的傾斜角為和，所以兩漸近線夾角為，故②不正確；設(shè)，則，定值，故③正確；依題意設(shè)，聯(lián)立，得，則，聯(lián)立，，則，所以，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立.故④正確.故選：D.11. 定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（ 　 ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)條件可得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而即得.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，由，可得，即，∴，即,所以不等式的解集為：.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而即得.構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).12. 在三棱錐中，，則此三棱錐的外接球的表面積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】正弦定理求外接圓半徑，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求三棱錐外接球半徑，再求表面積.【詳解】設(shè)三棱錐外接球的球心為，外接圓圓心為，如圖所示，  ，，則；，則，，平面，則平面，中，由余弦定理，則，所以外接圓半徑，，中，，即三棱錐的外接球的半徑為，三棱錐的外接球的表面積為，故選：B二?填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13. 已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是__________.【答案】##【解析】【分析】先將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再利用幾何方法求圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值.【詳解】由，得，由，可得直角坐標(biāo)方程，即.由，得，則直角坐標(biāo)方程為，即.點(diǎn)在以為圓心，半徑的圓上，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以所求最小值為點(diǎn)到直線的距離再減去上半徑，即為.故答案為：.14. 設(shè)變量滿足：，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由線性約束條件作出可行域如圖，由得，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線有軸上截距最大，有最大值.故答案為：815. 如圖，一只螞蟻在邊長(zhǎng)分別為，，的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的地方的概率為__________．【答案】【解析】【詳解】如圖，三個(gè)扇形的面積之和為,所以陰影面積為，所以螞蟻恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的地方（陰影區(qū)域）的概率為，故填. 請(qǐng)?jiān)诖颂顚懕绢}解析!16. 橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)在線段上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出切線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用結(jié)合三角形相似建立關(guān)系，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)作答.【詳解】依題意，設(shè)方程為，不妨令點(diǎn)在軸上方，即，由消去y得，，則，解得，由，解得，即，而，則，，設(shè)， ，因?yàn)?/span>，而，則，即有，于是，因此，解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：三?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17. 已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是；    （2）【解析】【分析】（1）直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，求出和的解，即可求出結(jié)果；（2）利用條件，將問題轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，即求在上的最小值，進(jìn)而可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，令，得或，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和；的單調(diào)遞減區(qū)間是；【小問2詳解】函數(shù)，有，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，令，則等價(jià)于在上恒成立，函數(shù)的對(duì)稱軸為，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，所以的取值范圍是.18. 某市為了宣傳環(huán)保知識(shí)，舉辦了一次“環(huán)保知識(shí)知多少”的問卷調(diào)查活動(dòng)（一人答一份).現(xiàn)從回收的年齡在20?60歲的問卷中隨機(jī)抽取了100份， 統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下面的圖表所示.年齡分組抽取份數(shù) 答對(duì)全卷的人數(shù)答對(duì)全卷的人數(shù)占本組的概率[20,30)40280.7[30,40)n270.9[40,50)104b[50,60]20a0.1（1）分別求出n， a， b， c的值；（2）從年齡在[40,60]答對(duì)全卷的人中隨機(jī)抽取2人授予“環(huán)保之星”，求年齡在[50,60] 的人中至少有1人被授予“環(huán)保之星”的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)頻率直方分布圖，通過概率和為1，求求出n，a，b，c的值，
（2）年齡在[40，50）中答對(duì)全卷的4人記為A，B，C，D，年齡在[50，60]中答對(duì)全卷的2人記為a，b，分別列舉出所有的基本事件，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．試題解析：（1）因?yàn)槌槿】倖柧頌?/span>100份，所以n=100-(40+10+20)=30.年齡在中，抽取份數(shù)為10份，答對(duì)全卷人數(shù)為4人，所以b==0.4.年齡在中，抽取份數(shù)為20份，答對(duì)全卷人數(shù)占本組的概率為0.1，所以=0.1，得.根據(jù)頻率直方分布圖，得(0.04+0.03+c+0.01)×10=1，解得.（2）因?yàn)槟挲g在與中答對(duì)全卷的人數(shù)分別為4人與2人．年齡在中答對(duì)全卷的4人記為，，，，年齡在中答對(duì)全卷的2人記為，，則從這6人中隨機(jī)抽取2人授予“環(huán)保之星”獎(jiǎng)的所有可能的情況是：，，，，，，， ，，，，，，，,共15種． 其中所抽取年齡在的人中至少有1人被授予“環(huán)保之星”的情況是：，，，，，，，，共9種．故所求的概率為.19. 如圖，在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，為中點(diǎn).（1）求證：.（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直得到，再利用線線垂直得到線面垂直，即平面，進(jìn)而得到，，從而得到平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）利用等體積法，即利用，再利用條件求出，再求出，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】如圖，取中點(diǎn)，連，，，又因?yàn)?/span>平面，且平面，所以，又因?yàn)?/span>，，平面，平面，所以平面，因平面，所以，又因?yàn)?/span>，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以.【小問2詳解】由已知得，，同理可得，又，，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離，由，得到，則，又因?yàn)?/span>，得到，所以，即點(diǎn)到平面的距離為20. 已知橢圓，是橢圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，三點(diǎn)不共線，記的面積為.  （1）若，求證：；（2）記直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，試探究是否為定值并說明理由.【答案】（1）證明見解析    （2）1，理由見解析【解析】【分析】（1）由三角形面積公式，正余弦的平方關(guān)系和向量夾角余弦公式可得，再根據(jù)向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示完成證明；（2）聯(lián)立方程組，可得，設(shè)直線的方程分別為：，由此利用表示，進(jìn)一步表示，可得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)的夾角為，則，所以，則；  【小問2詳解】由可知，，所以，設(shè)直線的方程分別為：，設(shè).則，所以.  【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角形面積公式，同角關(guān)系，向量夾角公式，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的模的坐標(biāo)表示，直線與橢圓的交點(diǎn)的求法，橢圓中的定值問題，綜合性強(qiáng)，有一定的計(jì)算難度，屬于難題.21. 設(shè)函數(shù).（1）若直線是函數(shù)圖像的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求的值；（2）原不等式可化為，設(shè)，由已知，討論，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，由此確定的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)， 則，解得，，所以；【小問2詳解】不等式可化為：，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，由已知 令，則，令，則，再令，則，所以在單調(diào)遞增，又，則，即，所以在單調(diào)遞增，的值域?yàn)?/span>.①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，則在單調(diào)遞增，又，所以恒成立，符合.②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以存在，使，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，所以對(duì)成立，不符合.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】對(duì)于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)恒成立?；(2)恒成立?.22. 在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，以相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系.已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）設(shè)為參數(shù)，若，求直線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于，設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（為參數(shù)）；（2）.【解析】【分析】（1）由直線的極坐標(biāo)方程求得直角坐標(biāo)方程，將代入，得到，即可得到直線的參數(shù)方程；（2）將直線的參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，得，由，得，由根與系數(shù)的關(guān)系即可計(jì)算出的值.【詳解】（1）直線的極坐標(biāo)方程為，所以，即，因?yàn)?/span>為參數(shù)，將代入上式得，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）由，得，由，代入，得將直線的參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，得，由，解得，設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)參數(shù)、為上述方程的根，由韋達(dá)定理，，，由題意得，，，因?yàn)?/span>，所以，解得，或，因?yàn)?/span>，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、直線和曲線相交弦長(zhǎng)問題，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.
 

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