?2022—2023學(xué)年度第二學(xué)期期中試卷
高一數(shù)學(xué)
2023.4
考生須知
1.本試卷共4頁(yè)，共兩部分，21道小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.
2.在答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校、姓名、班級(jí)和教育ID號(hào).
3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.
4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.
5.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定正確答案.
【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限.
故選：A
2. 在平行四邊形中，等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量減法的三角形法則計(jì)算.
【詳解】由平面向量減法的三角形法則，可得.
故選：B
3. 若且，則角所在象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的正負(fù)，確定角所在的象限.
【詳解】，則角在第三，四象限，，則角在第二，四象限，
所以滿足且，角在第四象限.
故選：D
4. 為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（ ）
A. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)平移變換對(duì)解析式的影響求解即可.
【詳解】對(duì)于A，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，故C正確；
對(duì)于D，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
5. 在中，若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理列式計(jì)算即可.
【詳解】由正弦定理可得，，
所以，解得.
故選：A
6. 已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 3 B. 6 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共線的條件即可求解.
【詳解】由題意，
因?yàn)?，所以，解?
故選：D.
7. 函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圖象，先確定以及周期，進(jìn)而得出，分類討論，結(jié)合求出，從而求得函數(shù)解析式.
【詳解】因?yàn)?，根?jù)圖像易得，
因?yàn)椋?，所以，則，
當(dāng)時(shí)，，
由得，
所以，即，，
因?yàn)?，所以?br /> 所以；
當(dāng)時(shí)，，
由得，
所以，即，，
因?yàn)?，所以?br /> 所以；
綜上：，故A正確.
故選：A
8. 若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的數(shù)量積公式及其運(yùn)算法則即可得解．
【詳解】因?yàn)?，是夾角為的兩個(gè)單位向量，
所以，
所以，
，，
故，
又，則.
故選：C.
9. 已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有，那么的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意分析可知為的最小值，為的最大值，故最小值為半個(gè)周期，由此得解.
【詳解】因?yàn)榈闹芷冢?br /> 又由題意可知為的最小值，為的最大值，
所以的最小值為.
故選：B.
10. 已知P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，，則的最大值是（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由所以，再利用數(shù)量積的幾何意義求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?，?br /> 所以，
，
所以的最大值是-3，
故選：D
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.
11. ______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦函數(shù)的倍角公式計(jì)算即可.
【詳解】.
故答案為：.
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，，則向量______；______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用平面向量運(yùn)算與模的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
則.
故答案為：；.
13. 若實(shí)數(shù)b滿足，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可求解.
【詳解】,
所以，即.
故答案為:.
14. 如圖，在的方格中，已知向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)，且滿足，那么______.

【答案】1
【解析】
【分析】可作單位向量，從而可用表示向量，根據(jù)平面向量基本定理即可得出關(guān)于的方程組，求解即可.
【詳解】如圖所示，作單位向量,

則，，
所以.
又，所以,
所以，解得，
所以.
故答案為:1.
15. 已知，.有下列四個(gè)說法：
①的一個(gè)正周期為；②在上單增；
③值域?yàn)椋虎軋D象關(guān)于對(duì)稱.
其中，所有正確說法的序號(hào)是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)：周期性、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等知識(shí)即可求得結(jié)果.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，所以①正確；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
又，所以在單調(diào)遞增，
因?yàn)?，為偶函?shù)，
所以在單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，因?yàn)椋?br /> 所以值域，故③正確；
對(duì)于④，因?yàn)?br /> ，所以圖象關(guān)于對(duì)稱.
故答案為:①③④.
三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）.
（1）求復(fù)數(shù)的模；
（2）求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；
（3）若是關(guān)于方程一個(gè)虛根，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式計(jì)算；
（2）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得答案；
（3）根據(jù)題意，將復(fù)數(shù)代入方程可得，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得的值.
【小問1詳解】
根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得，
【小問2詳解】
根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
【小問3詳解】
由題意，，
則，得，
所以實(shí)數(shù)的值為
17. 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期；
（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的周期公式即可得解；
（2）利用整體代入法，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)
，
所以，
故的最小正周期為.
【小問2詳解】
因?yàn)?在上單調(diào)遞減，
令，得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.
18. 已知向量.
（1）求；
（2）設(shè)夾角為，求的值；
（3）若向量，求實(shí)數(shù)值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用坐標(biāo)計(jì)算即可；
（2）直接利用向量的夾角公式計(jì)算即可；
（3）先求出的坐標(biāo)，再由，得列方程求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)橄蛄浚?br /> 所以，
【小問2詳解】
因?yàn)橄蛄?，的夾角為，
所以，
【小問3詳解】
因?yàn)橄蛄浚?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，解得
19. 已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)，從而可得的值；
（2）由得，從而結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)?br /> ，
所以.
【小問2詳解】
由，可得，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.
20. 在中，，，.

（1）求；
（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理列方程即可求解；
（2）根據(jù)正弦定理求出，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，在中求出，根據(jù)及三角形面積公式即可求解.
【小問1詳解】
由余弦定理可得,
化簡(jiǎn)可得,解得或（舍）.
【小問2詳解】
因?yàn)?，所?
在中，由正弦定理可得,即,解得.
易知為銳角，所以,，
因?yàn)?，所以在中?
根據(jù)三角形面積公式可得,
,
所以.
21. 對(duì)于函數(shù)，，，及實(shí)數(shù)m，若存在，，使得，則稱函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì).
（1）分別判斷下列兩組函數(shù)是否具有“2關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，直接寫出結(jié)論；
①，；，；
②，；，；
（2）若與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，求m的取值范圍；
（3）已知，為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足：
①在上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1；
②對(duì)任意，有.
求證：與不具有“4關(guān)聯(lián)”性質(zhì).
【答案】（1）①有；②沒有；
（2）；
（3）證明過程見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)具有關(guān)系“2關(guān)聯(lián)”性質(zhì)的定義判斷即可.
（2）求解的值域即可得出結(jié)果.
（3）根據(jù)的性質(zhì)求出其值域，結(jié)合三角函數(shù)的值域推理作答.
【小問1詳解】
①存在，，使得，
所以函數(shù)具有“2關(guān)聯(lián)”性質(zhì)；
②，，而，，
因此，，顯然不存在，，使得，
所以函數(shù)不具有“2關(guān)聯(lián)”性質(zhì).
【小問2詳解】
，，則，，
所以m的取值范圍是.
【小問3詳解】
因?yàn)樵谏?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1，
又為定義在上的奇函數(shù)，則在上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，
由對(duì)任意，有，即關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
又，于是函數(shù)的周期為，因此的值域?yàn)?；
，
①當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，
若，則時(shí)，有；
②當(dāng) 時(shí)，，而時(shí)，，
若，則時(shí)，有，顯然，
因此，即不存在，使得 ，
所以與不具有“4關(guān)聯(lián)”性質(zhì).

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