?吉林省長(zhǎng)春市長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題
1．已知圓錐軸截面為正三角形，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的體積等于（????）
A． B． C． D．
2．若，，，則事件與的關(guān)系是（????）
A．事件與互斥 B．事件與對(duì)立
C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與既互斥又相互獨(dú)立
3．在下列判斷兩個(gè)平面與平行的4個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（????）．
①都垂直于平面r，那么
②都平行于平面r，那么
③都垂直于直線l，那么
④如果l、m是兩條異面直線，且，，，，那么
A．0 B．1 C．2 D．3
4．將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到的向量為，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是
A． B． C． D．
5．如圖，在中，D為AB的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，設(shè)，，以向量，為基底，則向量（????）

A． B． C． D．
6．從含有三件正品和一件次品的產(chǎn)品中任取兩件，則取出的兩件中恰有一件次品的概率是（????）
A． B． C． D．
7．已知，，，；若P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則的最大值為是（????）
A．17 B．13 C．12 D．15
8．如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列命題正確的是（????）
??
A．正方體外接球的半徑為
B．點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則四面體的體積不變
C．與所有12條棱都相切的球的體積為
D． 是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點(diǎn)，則長(zhǎng)的最小值是

二、多選題
9．為深入學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校開(kāi)展了“奮進(jìn)新征程，強(qiáng)國(guó)伴我行”二十大主題知識(shí)競(jìng)賽.其中高一年級(jí)選派了10名同學(xué)參賽，且該10同學(xué)的成績(jī)依次是：.則下列針對(duì)該組數(shù)據(jù)說(shuō)法正確的是（????）
A．平均數(shù)為89，方差為3.06
B．中位數(shù)為90，眾數(shù)為88和92
C．每個(gè)數(shù)都加5后平均數(shù)和方差均無(wú)變化
D．分位數(shù)為93，極差為19
10．已知向量在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列選項(xiàng)中正確的是（????）

A．
B．向量在向量方向上的投影向量為
C．
D．若，則
11．在中，角所對(duì)的邊分別為，下列說(shuō)法中正確的是（????）
A．
B．若，則
C．若，則是直角三角形
D．若，三角形面積，則三角形的外接圓半徑為
12．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中正確的是（????）
A．直線與直線AC夾角為60°
B．平面截正方體所得截面的面積為18
C．若，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為π
D．若平面，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為

三、填空題
13．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 .
14．中岳嵩山是著名的旅游勝地，天氣預(yù)報(bào)6月30日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，產(chǎn)生之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，假定表示當(dāng)天下雨，表示當(dāng)天不下雨，每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：

據(jù)此用頻率估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率的近似值為 .

四、雙空題
15．在某次模擬測(cè)試中，30名男生的平均分?jǐn)?shù)是70分，樣本方差是10；20名女生的平均分?jǐn)?shù)是80分，樣本方差是15，則該次模擬考試中這50名同學(xué)成績(jī)的平均分為 ，方差為 .

五、填空題
16．如圖所示，直線垂直于圓所在的平面，內(nèi)接于圓，且為圓的直徑，.現(xiàn)有以下命題：
??
①；
②當(dāng)點(diǎn)在圓周上由點(diǎn)逐步向點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，二面角會(huì)逐步增大；
③當(dāng)點(diǎn)在圓周上由點(diǎn)逐步向點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，三棱錐的體積的最大值為.
其中正確的命題序號(hào)為 .

六、解答題
17．已知平面向量，滿足，，．
(1)求與的夾角；
(2)求．
18．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為中點(diǎn)，為與的交點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積；
(2)證明：平面；
(3)證明：平面.
19．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，為提倡節(jié)約用水，我市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)家庭用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得了2021年 100個(gè)家庭的月均用水量（單位：t），將數(shù)據(jù)按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
??
(1)求全市家庭月均用水量不低于 6t的頻率；
(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，求全市家庭月均用水量平均數(shù)的估計(jì)值；
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）.
20．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角B的大??；
(2)若，，求b和的值．
21．為普及消防安全知識(shí)，某學(xué)校組織相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.
(1)甲在比賽中恰好贏一輪的概率；
(2)從甲、乙兩人中選1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？
(3)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.
22．如圖，已知四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，E, F分別是AB,CD的中點(diǎn).
??
(1)求證：平面平面；
(2)當(dāng)四棱錐是正四棱錐時(shí)，求此時(shí)二面角的余弦值；
(3)當(dāng)四棱錐的體積有最大值時(shí)，求直線與平面PCD所成角的正弦值.

參考答案：
1．A
【分析】依題意求出圓錐的底面半徑和高即可.
【詳解】圓錐母線為，底面半徑為，則，
所以圓錐的體積．
故選：A．
??
2．C
【分析】結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】∵，
∴，
∴事件與相互獨(dú)立、事件與不互斥，故不對(duì)立.
故選：C
3．D
【分析】在正方體中觀察可判斷①；由平面平行的傳遞性可判斷②；由線面垂直的性質(zhì)可判斷③；根據(jù)面面平行判定定理可判斷④.
【詳解】如圖，易知在正方體中相鄰兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面，故①錯(cuò)誤；
由平面平行的傳遞性可知②正確；
由線面垂直的性質(zhì)可知③正確；
過(guò)直線l做平面與分別交于，過(guò)直線m做平面與分別交于，
因?yàn)?，，所以，所?br /> 因?yàn)椋?，所?br /> 同理，
又l、m是兩條異面直線，所以相交，且，
所以，故④正確.
故選：D

4．A
【解析】先將復(fù)數(shù)寫(xiě)成三角形式,再根據(jù)三角形式的運(yùn)算法則求解即可.
【詳解】復(fù)數(shù)的三角形式是,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.
5．D
【分析】利用向量的加減法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求解即可.
【詳解】因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，則.因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，則.所以.
故選：D.
6．D
【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式直接計(jì)算.
【詳解】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的產(chǎn)品中任取兩件的樣本空間，恰有一件次品，
由古典概型得，
故選：D.
7．B
【分析】由題意，畫(huà)圖建立坐標(biāo)系，根據(jù)向量單位化運(yùn)算，可表示出每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合基本不等式，可得答案.
【詳解】由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，，
，，
，，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故選：B.

8．D
【分析】求得正方體外接球的直徑判斷選項(xiàng)A；求得四面體的體積是否變化判斷選項(xiàng)B；求得與所有12條棱都相切的球的體積判斷選項(xiàng)C；求得長(zhǎng)的最小值判斷選項(xiàng)D.
【詳解】選項(xiàng)A：連接，則為正方體外接球的直徑，
又，則正方體外接球的直徑為，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：為邊長(zhǎng)是的等邊三角形，面積為定值，
點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，，與平面相交，
所以與平面相交，所以四面體的高是變化的，
所以四面體的體積是變化的，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：與所有12條棱都相切的球的半徑為，
該球體積為，
則與所有12條棱都相切的球的體積為，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：正方體的內(nèi)切球的半徑為，球心為中點(diǎn)，
是球面上任意一點(diǎn)，則長(zhǎng)的最小值是,故D正確.

故選:D.
9．BD
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)和極差的概念，逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可求解.
【詳解】對(duì)于A，平均數(shù)為，
方差
，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，中位數(shù)為，眾數(shù)為和，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)可得，每個(gè)數(shù)都加5后平均數(shù)對(duì)應(yīng)的加上5，方差不發(fā)生改變，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋缘牡诜治粩?shù)為93，極差為，故選項(xiàng)D正確，
故選：BD.
10．ABD
【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算，投影向量和向量平行公式即可判斷每個(gè)選項(xiàng)
【詳解】由圖可得，
對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正確；
對(duì)于C，，
所以，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故，故D正確.
故選：ABD
11．ABC
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)判斷A；利用正弦定理結(jié)合三角形邊角關(guān)系判斷B；利用余弦定理計(jì)算判斷C，利用面積定理、正余弦定理計(jì)算判斷D作答.
【詳解】對(duì)于A，在中，，A正確；
對(duì)于B，在中，由正弦定理得：，B正確；
對(duì)于C，在中，由余弦定理得：，整理得，，C正確；
對(duì)于D，依題意，，解得，
由余弦定理得：，
由正弦定理得外接圓半徑，D不正確.
故選：ABC
12．ABD
【分析】對(duì)A，根據(jù)的平行線確定直線與直線夾角即可；
對(duì)B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，作出平面截正方體所得截面并求其面積即可；
對(duì)C，由題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心的四分之一圓弧，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可；
對(duì)D，先判斷過(guò)且平行于平面的平面截正方體的面，再分析的軌跡即可.
【詳解】對(duì)A，連接，可得正，根據(jù)正方體的性質(zhì)，，故直線與直線夾角為直線與直線的夾角為，故A正確；
??
對(duì)B，因?yàn)槊婷妫矫婷妫?br /> 根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得平面截的交線，
故平面截的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，
故，故截面為等腰梯形.
在等腰梯形中，高，
故截面的面積為，故B正確；
??
對(duì)C，若，則，
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心的四分之一圓弧，其長(zhǎng)度為，故C錯(cuò)誤；
??
對(duì)D，取中點(diǎn)，連接如圖，由B知截面為等腰梯形，
由四邊形為平行四邊形得.
又面面，所以面，
由四邊形為平行四邊形得，面面，
所以面.
由平面,得平面平面，
又平面，所以平面.
故的軌跡為線段，其長(zhǎng)度為，故D正確；
??
故選:ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對(duì)點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問(wèn)題中要么很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過(guò)計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問(wèn)題并沒(méi)有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.
13．
【分析】由對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)求出復(fù)數(shù)，代入算式中化簡(jiǎn).
【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，
.
故答案為：
14．0.4/
【分析】求出表中數(shù)據(jù)四天中恰有三天下雨的情況即可得出概率.
【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，2436，0753，共8組，
所以估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率為.
故答案為：0.4
15．
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算可得.
【詳解】記名男生得分記為，，，，
名女生得分記，，，，
男生得分平均分，則，
女生得分平均分，則，
所以總平均分，
總方差為，
所以此人該次模擬考試成績(jī)的平均分是，方差是．
故答案為：；
16．①③
【分析】由線面垂直的判定定理可判斷①；由面面垂直的判定定理可判斷②；由等體積法可判斷③.
【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以?br /> 又因?yàn)闉閳A的直徑，所以，平面，
所以平面，而平面，所以，故①正確；
因?yàn)槠矫?，而平面，所以平面平面?br /> 故當(dāng)點(diǎn)在圓周上由點(diǎn)逐步向點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，二面角恒為，故②不正確；
因?yàn)椋?br /> 所以三棱錐的體積,
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
所以，所以，
所以求三棱錐的體積的最大值，即求的最大值，
當(dāng)點(diǎn)在圓周上由點(diǎn)逐步向點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，
最大，且的最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為，故③正確；
故答案為：①③.
??
17．(1)
(2)12

【分析】（1）根據(jù)定義法直接求解即可；
（2）根據(jù)平方關(guān)系的轉(zhuǎn)化求解向量的模即可.
【詳解】（1）設(shè)與的夾角為
因?yàn)?，，?br /> 所以，
所以，
即與的夾角為
（2）由題意得，.
18．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由棱錐體積公式計(jì)算；
（2）由線面平行的判定定理證明；
（3）由線面垂直的判定定理證明（先計(jì)算與都垂直）．
【詳解】（1）在正方體中，平面且
則
（2）證明：連接，在中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
所以
又平面平面
平面；

（3）證明：連接，在正方體中，

在Rt中，

，
中，，
又，

平面且交于點(diǎn)
平面.
19．(1)0.3
(2)4.92（t）
(3)6.56

【分析】（1）直接由頻率分布直方圖計(jì)算；
（2）用每組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)的頻率再相加可得均值；
（3）由頻率分布直方圖分別求出前3組和前4組的頻率，得出75%分位數(shù)在第4組，求出頻率0.75對(duì)應(yīng)的值即可得．
【詳解】（1）全市家庭月均用水量不低于6t的頻率為.
（2）全市家庭月均用水量平均數(shù)的估計(jì)值為（t）；
（3）因?yàn)?，?br /> 所以全市家庭月均用水量的75％分位數(shù)為.
20．(1)
(2)，

【分析】（1）利用正弦定理和題給條件求得，進(jìn)而求得角B的大??；
（2）先利用余弦定理求得b的值，再利用兩角差的正弦公式即可求得的值．
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理?br /> ，
即．又，所以，
所以，即，
又因?yàn)椋裕?br /> （2）在中，由余弦定理及，，，
得，故，
所以，又，所以，
，又，所以．
所以．
21．(1)
(2)派甲參賽獲勝的概率更大
(3)

【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；
（2）利用獨(dú)立事件的乘法公式分別求出甲乙贏的概率，據(jù)此即可得出結(jié)論；
（3）先求出兩人都沒(méi)有贏得比賽，再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可得解.
【詳解】（1）設(shè)“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”，
“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，
則，，，相互獨(dú)立，且，，，，
設(shè)“甲在比賽中恰好贏一輪”
則；
（2）因?yàn)樵趦奢啽荣愔芯鶆俪鲒A得比賽，則“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，
所以，
，
因?yàn)?，所以派甲參賽獲勝的概率更大；
（3）設(shè)“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，
于是“兩人中至少有一人贏得比賽”，
由（2）知，，
所以，
，
所以.
22．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)

【分析】（1）利用線面垂直證明平面，再根據(jù)平面即可證明；
（2）根據(jù)二面角的定義作出相對(duì)應(yīng)的角，利用勾股定理求出相關(guān)線段長(zhǎng)即可得到其余弦值；
（3）利用等體積法即，求出點(diǎn)到平面的距離，最后根據(jù)線面角的定義即可得到答案.
【詳解】（1），為中點(diǎn)，
，，，
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋裕?br /> 又平面平面，
平面，又平面，
平面平面.
（2）由，，平面平面，平面，平面，
所以即為二面角的平面角，
在平面中，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)四棱錐是正四棱錐，
且E, F分別是AB,CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)為底面中心，
則，
所以點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，
??
.
（3）當(dāng)平面時(shí)，四棱錐體積有最大值，由，
平面，平面，得平面，
所以A到平面的距離，與B到平面的距離相等，
，平面平面，平面，
所以面，則為四棱錐的高，
由（2）知，因?yàn)槊妫?br /> 所以，所以，由（1）知平面，
因?yàn)槠矫?，所以，所以?br /> ，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
根據(jù)，即，即，
解得，
設(shè)直線與平面PCD所成角為，所以.

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吉林省長(zhǎng)春市長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考（12月）數(shù)學(xué)試題：

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吉林省長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題：

這是一份吉林省長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題，共4頁(yè)。

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