2022-2023學年新疆和田地區(qū)皮山高級中學高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

這是一份2022-2023學年新疆和田地區(qū)皮山高級中學高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析），共16頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
?2022-2023學年新疆和田地區(qū)皮山高級中學高一（下）期末數(shù)學試卷
一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中選出符合題目的一項）
1．的運算結果是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．若2+ai＝b﹣i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a2+b2＝（　　）
A．0 B．2 C． D．5
3．設l是直線，α、β是兩個不同的平面，那么下列判斷正確的是（　?。?br /> A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥β，l∥α，則l∥β
C．若α⊥β，l⊥α，則l∥β D．若l∥α，l⊥β，則α⊥β
4．設平面向量，．若，則x＝（　?。?br /> A．﹣6 B． C． D．6
5．若復數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，b∈R且b≠0）為純虛數(shù)，則＝（　?。?br /> A． B． C． D．
6．如題圖所示，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD的斜二測直觀圖為平行四邊形A′B′C′D′．已知A′B′＝3，B′C′＝2，AA1＝5，則將該長方體截去一個三棱錐A﹣A1B1D1后剩余的幾何體體積為（　　）

A．50 B．30 C．25 D．15
7．已知向量，滿足||＝1，||＝4，且（+）?（2﹣）＝﹣12，則，的夾角為（　　）
A． B． C． D．
8．復數(shù)z在復平面內對應點的坐標為（3，6），則|z﹣2i|＝（　?。?br /> A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知某圓錐的高為，體積為，則該圓錐的側面積為（　　）
A． B．3πcm2 C．6πcm2 D．12πcm2
10．如圖，在△ABC中，AB＝3AD，CE＝ED，設，，則＝（　?。?br />
A． B． C． D．
11．為了測量河對岸兩點C，D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距2km的兩點A，B處分別測得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，則C，D間的距離為（　?。?br />
A． B．2 C． D．4
12．已知復數(shù)z滿足|z|＝1，則|z+3﹣4i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為（　?。?br /> A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空題（本大題共4小題共20.0分）
13．在復平面內，復數(shù)z所對應的點為（1，1）．則＝　 ?。?br /> 14．正△ABC的邊長為2，D為BC邊的中點，則的模等于 　 　．
15．復數(shù)z＝（）i+i2002（i為虛數(shù)單位），則|z|＝　 ?。?br /> 16．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠A＝，cos∠ADB＝，則△BCD的面積　 ?。?br />
三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝（1，1）．
（1）求向量與的夾角的大小；
（2）若，求實數(shù)k的值．
18．已知復數(shù)z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虛數(shù)單位）．
（1）若在復平面內對應的點落在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若虛數(shù)z1是實系數(shù)一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求實數(shù)m的值．
19．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點E，F(xiàn)，M，N分別為相應棱的中點．
（1）求證：四邊形EFMN為平行四邊形．
（2）若AC＝BD＝2，，求異面直線AC與BD所成的夾角．

20．在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知．
（1）求角C的大??；
（2）若b＝2，，求△ABC的面積．
21．設復數(shù)z＝a2﹣a﹣（a﹣1）i（a∈R）．
（1）若z為純虛數(shù)，求z?；
（2）若z在復平面內對應的點在第四象限，求a的取值范圍．
22．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，側面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中點．
（1）求證：AD∥平面PBC；
（2）求證：AB⊥平面PAD



參考答案
一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中選出符合題目的一項）
1．的運算結果是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)向量和向量加法的幾何意義，向反向量的概念即可進行向量的運算．
解：＝．
故選：D．
【點評】考查向量和向量加法的幾何意義，以及相反向量的概念．
2．若2+ai＝b﹣i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a2+b2＝（　　）
A．0 B．2 C． D．5
【分析】直接利用復數(shù)相等的條件列式求得a，b的值，代入a2+b2得答案．
解：∵2+ai＝b﹣i，
∴b＝2，a＝﹣1，
∴a2+b2＝5．
故選：D．
【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)相等的條件，是基礎題．
3．設l是直線，α、β是兩個不同的平面，那么下列判斷正確的是（　?。?br /> A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥β，l∥α，則l∥β
C．若α⊥β，l⊥α，則l∥β D．若l∥α，l⊥β，則α⊥β
【分析】由平行于同一直線的兩平面的位置關系判斷A；由直線與平面平行、平面與平面垂直判斷直線與平面的位置關系判斷B；由直線與平面垂直、平面與平面垂直判斷直線與平面的位置關系判斷C；直接證明D正確．
解：若l∥α，l∥β，則α∥β或α與β相交，故A錯誤；
若α⊥β，l∥α，則l?β或l∥β或l與β相交，相交也不一定垂直，故B錯誤；
若α⊥β，l⊥α，則l∥β或l?β，故C錯誤；
若l∥α，過l的平面與α相交，交線為m，則l∥m，
又l⊥β，
所以m⊥β，可得α⊥β，故D正確．
故選：D．
【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的判定及應用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎題．
4．設平面向量，．若，則x＝（　?。?br /> A．﹣6 B． C． D．6
【分析】根據(jù)即可得出﹣3﹣2x＝0，然后解出x的值即可．
解：∵，
∴﹣3﹣2x＝0，解得．
故選：B．
【點評】本題考查了平行向量的坐標關系，考查了計算能力，屬于基礎題．
5．若復數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，b∈R且b≠0）為純虛數(shù)，則＝（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)已知條件，結合純虛數(shù)的定義，以及復數(shù)的四則運算，即可求解．
解：＝＝i為純虛數(shù)，
則，即4a+3b＝0，
故．
故選：D．
【點評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，以及復數(shù)的四則運算，屬于基礎題．
6．如題圖所示，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD的斜二測直觀圖為平行四邊形A′B′C′D′．已知A′B′＝3，B′C′＝2，AA1＝5，則將該長方體截去一個三棱錐A﹣A1B1D1后剩余的幾何體體積為（　?。?br />
A．50 B．30 C．25 D．15
【分析】利用斜二測法畫法規(guī)則求出長方體的長、寬、高，從而可求出長方體的體積和三棱錐A﹣A1B1D1的體積，進而可求出結果．
解：因為A′B′＝3，B′C′＝2，AA1＝5，
所以在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，
所以長方體的體積為V＝3×4×5＝60，
又，
所以長方體截去一個三棱錐A﹣A1B1D1后剩余的幾何體體積為60﹣10＝50，
故選：A．
【點評】本題考查長方體的截面問題，幾何體的體積的求解，屬基礎題．
7．已知向量，滿足||＝1，||＝4，且（+）?（2﹣）＝﹣12，則，的夾角為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則求解即可．
解：因為向量，滿足||＝1，＝4，且（+）?（2﹣）＝﹣12，
所以＝﹣12，可得＝2，即cos＜，＞＝＝，＜，＞∈[0，π]，
所以＜，＞＝．
故選：B．
【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，向量的夾角的求法，屬于基礎題．
8．復數(shù)z在復平面內對應點的坐標為（3，6），則|z﹣2i|＝（　?。?br /> A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根據(jù)題意寫出復數(shù)z＝3+6i，再求z﹣2i的模長．
解：復數(shù)z在復平面內對應點的坐標為（3，6），則z＝3+6i，
所以z﹣2i＝3+4i，
所以|z﹣2i|＝＝5．
故選：C．
【點評】本題考查了復數(shù)的概念與運算問題，是基礎題．
9．已知某圓錐的高為，體積為，則該圓錐的側面積為（　?。?br /> A． B．3πcm2 C．6πcm2 D．12πcm2
【分析】先設該圓錐的底面半徑與母線長分別為r，l，再根據(jù)題意求得r的值，結合勾股定理求得l的值，進而即可求得圓錐的側面積．
解：設該圓錐的底面半徑與母線長分別為r，l，
由，得r＝1，
所以，
所以該圓錐的側面積S＝πrl＝3π．
故選：B．
【點評】本題主要考查了圓錐的結構特征，以及圓錐的側面積和體積公式，屬于基礎題．
10．如圖，在△ABC中，AB＝3AD，CE＝ED，設，，則＝（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】因為CE＝ED，所以，因為AB＝3AD，所以．代入化簡即可．
解：因為AB＝3AD，所以．
因為CE＝ED，所以＝．
故選：D．
【點評】本題考查平面向量的線性運算，屬于基礎題．
11．為了測量河對岸兩點C，D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距2km的兩點A，B處分別測得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，則C，D間的距離為（　　）

A． B．2 C． D．4
【分析】根據(jù)題意，在△ABC中由正弦定理求得DA，在△DAC中由余弦定理求得DC．
解：因為∠ABD＝60°，∠BAD＝60°，
所以△ABD是正三角形，
所以AB＝BD＝DA＝2km，
因為△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝105°，
所以∠ACB＝30°，
利用正弦定理得＝，
AC＝＝＝2，
△ACD中，∠CAD＝105°﹣60°＝45°，
所以CD2＝AC2+AD2﹣2AC?AD?cos45°＝+22﹣2×2×2×＝4，
所以CD＝2，即C、D間的距離為2km．
故選：B．
【點評】本題主要考查了正弦和余弦定理的應用問題，也考查了運算求解能力和分析推理能力，是基礎題．
12．已知復數(shù)z滿足|z|＝1，則|z+3﹣4i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為（　?。?br /> A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】求出圓心O（0，0）與點P（﹣3，4）的距離d．可得|z+3﹣4i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為d+r．
解：圓心O（0，0）與點P（﹣3，4）的距離d＝＝5．
∴|z+3﹣4i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為5+1＝6．
故選：C．
【點評】本題考查了復數(shù)幾何意義、圓的方程、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
二、填空題（本大題共4小題共20.0分）
13．在復平面內，復數(shù)z所對應的點為（1，1）．則＝　2?。?br /> 【分析】由復數(shù)的幾何意義得到z，，再由復數(shù)的運算法則直接求得．
解：由題得：z＝1+i，，∴．
故答案為：2．
【點評】本題考查復數(shù)的幾何意義、共軛復數(shù)、復數(shù)的運算，屬于基礎題．
14．正△ABC的邊長為2，D為BC邊的中點，則的模等于 　?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，由等邊三角形的性質可得AD⊥BC，即可得?＝0，結合數(shù)量積的計算公式計算可得答案．
解：根據(jù)題意，正△ABC中，D為BC邊的中點，易得AD⊥BC，
則有?＝0，
又由正△ABC的邊長為2，則BC＝2，AD＝
故|+|2＝2+2＝3+4＝7，
則||＝．
故答案為：．

【點評】本題考查向量數(shù)量積的運算，涉及向量模的計算，屬于基礎題．
15．復數(shù)z＝（）i+i2002（i為虛數(shù)單位），則|z|＝　　．
【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)模公式，即可求解．
解：z＝（）i+i2002＝，
故．
故答案為：．
【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題．
16．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠A＝，cos∠ADB＝，則△BCD的面積　　．

【分析】由已知可求sin∠ADB的值，根據(jù)正弦定理即可解得BD的值，利用余弦定理求得∠C的值，再計算△BCD的面積．
解：△ABD中，因為cos∠ADB＝，∠ADB∈（0，π），
所以sin∠ADB＝＝，
根據(jù)正弦定理得，＝，
代入AB＝8，∠A＝，解得BD＝7；
在△BCD中，根據(jù)余弦定理得
cos∠C＝＝＝﹣，
又∠C∈（0，π），所以∠C＝；
所以△BCD的面積為
S△BCD＝BC?CD?sin∠C＝×3×5×sin＝．
【點評】本題主要考查了正弦、余弦定理以及三角形面積公式的綜合應用問題，是中檔題．
三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝（1，1）．
（1）求向量與的夾角的大?。?br /> （2）若，求實數(shù)k的值．
【分析】（1）根據(jù)題意，設向量與的夾角為θ，由、的坐標可得||、||以及?的值，計算可得cosθ的值，結合θ的范圍，分析可得答案；
（2）根據(jù)題意，求出+k的坐標，由向量垂直的判斷方法可得?（+k）＝（﹣3+k）+（1﹣2k）＝﹣2﹣k＝0，解可得k的值，即可得答案．
解：（1）根據(jù)題意，設向量與的夾角為θ，
向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），
則?＝﹣3﹣2＝﹣5，||＝＝，||＝＝，
則，
又因為θ∈[0，π]，故；
（2）向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝（1，1），
則，因為，
?（+k）＝（﹣3+k）+（1﹣2k）＝﹣2﹣k＝0，
解可得k＝﹣2；
故k＝﹣2；
故答案為：（1）；（2）﹣2．
【點評】本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量的坐標計算以及數(shù)量積的坐標計算，屬于基礎題．
18．已知復數(shù)z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虛數(shù)單位）．
（1）若在復平面內對應的點落在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若虛數(shù)z1是實系數(shù)一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求實數(shù)m的值．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結合共軛復數(shù)的定義，以及復數(shù)的幾何意義，即可求解．
（2）將z1代入一元二次方程x2﹣6x+m＝0，再結合復數(shù)相等的條件，即可求解．
解：（1）∵z1＝a+3i，z2＝2﹣ai，
∴，
∵在復平面內對應的點落在第一象限，
∴，解得a＞﹣2，
故a的取值范圍為（﹣2，+∞）．
（2）由，得（a+3i）2﹣6（a+3i）+m＝0，
即a2﹣6a+m﹣9+（6a﹣18）i＝0，
故，解得，
故m＝18．
【點評】本題主要考查復數(shù)相等的條件，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．
19．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點E，F(xiàn)，M，N分別為相應棱的中點．
（1）求證：四邊形EFMN為平行四邊形．
（2）若AC＝BD＝2，，求異面直線AC與BD所成的夾角．

【分析】（1）結合中位線的性質和平行四邊形的判定定理，即可得證；
（2）由MN∥AC，MF∥BD，知∠FMN或其補角即為所求，再由勾股定理的逆定理和平行四邊形的性質，即可得解．
【解答】（1）證明：∵點E，F(xiàn)，M，N分別為相應棱的中點，
∴MN∥AC，MN＝AC，EF∥AC，EF＝AC，
∴MN∥EF，MN＝EF，
∴四邊形EFMN為平行四邊形．
（2）解：∵點E，F(xiàn)，M，N分別為相應棱的中點，
∴MN∥AC，MF∥BD，且MN＝AC＝1，EN＝MF＝BD＝1，
∴∠FMN或其補角即為異面直線AC與BD所成的夾角，
在△MNE中，有MN2+EN2＝EM2，即∠MNE＝90°，
由（1）知，四邊形EFMN為平行四邊形，
∴∠FMN＝180°﹣∠MNE＝90°，
故異面直線AC與BD所成的夾角為90°．
【點評】本題考查空間中線與線的平行關系、異面直線夾角的求法，利用平移法找出異面直線所成的角是解題的關鍵，考查學生的空間立體感、邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題．
20．在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知．
（1）求角C的大??；
（2）若b＝2，，求△ABC的面積．
【分析】（1）由已知及正弦定理，結合sinA≠0，可求sinC的值，結合C為銳角，可求C的值．
（2）由已知利用余弦定理可得a2﹣2a﹣3＝0，解得a的值，進而利用三角形的面積公式即可求解．
解：（1）由已知及正弦定理可得．
因為A為銳角，則sinA≠0，
所以．
因為C為銳角，則．
（2）由余弦定理，a2+b2﹣2abcosC＝c2，
則，即a2﹣2a﹣3＝0，
即（a﹣3）（a+1）＝0．
因為a＞0，則a＝3．
所以△ABC的面積．
【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．
21．設復數(shù)z＝a2﹣a﹣（a﹣1）i（a∈R）．
（1）若z為純虛數(shù)，求z?；
（2）若z在復平面內對應的點在第四象限，求a的取值范圍．
【分析】（1）直接根據(jù)純虛數(shù)需滿足的條件實部為0虛部部位0即可求解；
（2）直接根據(jù)第四象限內點的坐標滿足的條件求解即可
解：（1）若z為純虛數(shù)，則，
所以a＝0，故z＝i，，；
∴．
（2）若z在復平面內對應的點在第四象限，則，
得a＞1．
【點評】本題考查復數(shù)的基本知識，復數(shù)的概念的應用，考查計算能力．
22．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，側面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中點．
（1）求證：AD∥平面PBC；
（2）求證：AB⊥平面PAD

【分析】（1）利用AD∥BC證明；
（2）由面面垂直的性質證明．
【解答】證明：（1）在四棱錐P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又AD?平面PBC，BC?平面PBC；
∴AD∥平面PBC；
（2）∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩平面ABCD＝AD，
∵AB⊥AD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD
【點評】本題考查了空間線面平行、垂直的證明，屬于基礎題