?重慶市第八中學(xué)2022—2023學(xué)年下期高2024屆7月調(diào)研考試
數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題（本題共8小題。每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1.已知集合，則（????）
A. B. C. D.
2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（????）
A.2 B. C. D.
3.已知，則（????）.
A. B. C. D.
4.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（????）
A. B. C. D.
5.漳州某校為加強校園安全管理，欲安排12名教師志愿者（含甲、乙、丙三名教師志愿者）在南門、北門、西門三個校門加強值班，每個校門隨機安排4名，則甲、乙、丙安排在同一個校門值班的概率為（????）
A. B. C. D.
6.已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則與曲線和均相切的直線l有（????）
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
7.已知，且，則的取值范圍是（????）
A. B.
C. D.
8.已知，則（????）
A. B.
C. D.
二、多項選擇題（本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分。）
9.下列說法中正確的是（????）
A.若兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，則經(jīng)驗回歸直線至少過一個樣本點；
B.在經(jīng)驗回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個單位時，響應(yīng)變量平均減少0.85個單位；
C.若某商品的銷售量（件）關(guān)于銷售價格（元/件）的經(jīng)驗回歸方程為，則當(dāng)銷售價格為10元/件時，銷售量一定為300件.
D.線性經(jīng)驗回歸方程一定過樣本中心.
10.甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項活動后合影留念，則（????）.
A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法
B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法
C.5人站成一排，甲不在兩端，共有72種排法
D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法
11.若方程恰有一個實數(shù)根，則實數(shù)a的值為（????）
A.e B.－e C.1 D.－1
12.已知定義域為的函數(shù)滿足，的部分解析式為，則下列說法正確的是（????）
A.函數(shù)在上單調(diào)遞減
B.若函數(shù)在內(nèi)滿足恒成立，則
C.存在實數(shù)，使得的圖象與直線有7個交點
D.已知方程的解為，則
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）
13.已知關(guān)于的方程有兩個異號實數(shù)根，，則是的________條件.
14.用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中.設(shè)，變換后的線性回歸方程為，則_________.
15.在某次國際圍棋比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個小組，其中一個小組有3位，另外一個小組有2位，則甲和乙分在不同小組的概率為______.
16.已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是______.
四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
17．（本小題滿分10分）
設(shè)集合,
(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
18．（本小題滿分12分）
已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間和極小值.
19．（本小題滿分12分）
一個口袋中有4個白球，2個黑球，每次從袋中取出一個球
(1)若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；
(2)若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的條件下，第二次取出的是黑球的概率；
(3)若不放回的取3次球，求取出白球次數(shù)X的分布列及.
20．（本小題滿分12分）
已知.
(1)若，分別求出，，的值；
(2)求的展開式中系數(shù)最大的項.
21．（本小題滿分12分）
第40屆中國洛陽牡丹文化節(jié)以“花開洛陽、青春登場”為主題，緊扣“顛覆性創(chuàng)意、沉浸式體驗、年輕化消費、移動端傳播”，組織開展眾多文旅項目，取得了喜人的成績，使洛陽成為最熱門的全國“網(wǎng)紅打卡城市”之一.其中“穿漢服免費游園”項目火爆“出圈”，倍受廣大游客喜愛，帶火了以“夢里隋唐盡在洛邑”為主的漢服體驗活動為了解漢服體驗店廣告支出和銷售額之間的關(guān)系，在洛陽洛邑古城附近抽取7家漢服體驗店，得到了廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下：
體驗店
A
B
C
D
E
F
G
廣告支出/萬元
3
4
6
8
11
15
16
銷售額/萬元
6
10
15
17
23
38
45
對進入G體驗店的400名游客進行統(tǒng)計得知，其中女性游客有280人，女性游客中體驗漢服的有180人，男性游客中沒有體驗漢服的有80人.
(1)請將下列2×2列聯(lián)表補充完整，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為體驗漢服與性別有關(guān)聯(lián)；
性別
是否體驗漢服
合計
體驗漢服
沒有體驗漢服
女
180

280
男

80

合計


400
(2)設(shè)廣告支出為變量x（萬元），銷售額為變量y（萬元），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此說明可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（若，則線性相關(guān)程度很強，可用線性回歸模型擬合）；
(3)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測廣告支出為18萬元時的銷售額（精確到0.1）.
附：參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，，，
相關(guān)系數(shù)，
在線性回歸方程中中，，.
，.

0.05
0.01
0.001

3.841
6.635
10.828
22．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)有兩個極值點，且.
(1)求的取值范圍；(2)若，證明：

數(shù)學(xué)答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
B
B
D
C
B
C
BD
BCD
BCD
BCD
部分選擇題解析：
6.函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則有，
即，解得，所以，
由，所以在點處的切線方程為，整理得.
設(shè)，直線l與的圖像相切于點，因為，
所以切線方程為，整理得，則（*），
整理得，
當(dāng)時，，方程有兩個非零實數(shù)根，
也滿足方程，故有3個解，
所以方程組（*）有3組解，故滿足題中條件的直線l有3條.
7.，
∵，
∴，所以，
設(shè)，則，
則，，
由雙鉤函數(shù)的性質(zhì)可得∵在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，時，；m＝2時，，
∴的取值范圍為：.
8.由，
構(gòu)造函數(shù)，則.
由可知：當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得最大值.
由在單調(diào)遞增可知：，即.
由在單調(diào)遞減區(qū)間，令有兩個解，且，
則，可得①，得②，
令，則，當(dāng)時在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即時，.
若，即，結(jié)合①②，得，則有.
又當(dāng)時，，故，由在單調(diào)遞減知：
，即.
故.
11.令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，
當(dāng)x趨向正無窮大時，趨向正無窮，故作出的大致圖象，如圖所示：
??
由題意，方程恰有一個實數(shù)根，
即函數(shù)的圖象與直線的圖象有一個公共點，
易知點為函數(shù)的圖象與直線的公共點，
又曲線在點處的切線方程為，所以，
顯然也成立，故實數(shù)a的值為或，
12.因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
函數(shù)的圖象如圖所示，
??
對于選項A，函數(shù)在上不單調(diào)，故A錯誤；
對于選項B，，結(jié)合圖象可知，故B正確：
對于選項C，令，即，
由，解得或，
將代入中，得到，
分析可得，當(dāng)時，的圖象與直線有7個交點，故C正確；
對于選項D，當(dāng)方程的解為4個時，，不妨設(shè)，根據(jù)對稱性可得.
分析圖象可知，當(dāng)時，方程的解為3個，，
又因為，，所以，故D正確.
13.必要不充分 14. 15./ 16.
16. ，，，
設(shè)，，
當(dāng)時，恒成立，即恒成立，單調(diào)遞增，不滿足；
故，即或，
當(dāng)時，在上恒成立，
單調(diào)遞增，不滿足，故，
現(xiàn)證明時滿足條件：
設(shè)方程的兩個解為，，不妨取，，，
當(dāng)和時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
，故，，
當(dāng)趨近時，趨近，當(dāng)趨近時，趨近，
故在和上分別有一個零點，滿足條件.
綜上所述：實數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
17.（1）當(dāng)時，，； 5分
（2）， 6分
當(dāng)時，滿足題意，此時，解得； 8分
當(dāng)時，解得， 9分
實數(shù)m的取值范圍為. 10分
18.（1）函數(shù)，求導(dǎo)得， 4分
所以曲線在點處的切線方程為，即. 6分
（2）函數(shù)，
求導(dǎo)得， 8分
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 10分
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，在處取得極小值. 12分
19.（1）設(shè)“第次取到白球”，“第次取到黑球”，
因為是有放回的取2次球，則每次都是從6個球中取球，每次取球的結(jié)果互不影響，
所以. 3分
（2）問題相當(dāng)于“從3個白球，2個黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，
所以所求概率； 6分
（3）不放回的依次取出3個球，則取到白球次數(shù)X的可能取值為1，2，3，
所以；；. 9分
則X的分布列為：








故. 12分
20.（1）解：由，
二項式的展開式的通項公式為， 2分
則，令，得， 3分
令，得，所以， 4分
由，求導(dǎo)得：
， 5分
令，得； 6分
（2）的展開式的通項公式為，
設(shè)第r+1項為系數(shù)最大，
則，即， 9分
解得，則， 11分
所以的展開式中系數(shù)最大的項是. 12分
21.（1）根據(jù)題意，列聯(lián)表完成如下：
性別
是否體驗漢服
合計
體驗漢服
沒有體驗漢服
女
180
100
280
男
40
80
120
合計
220
180
400
2分
假設(shè)為：性別與體驗漢服之間無關(guān)聯(lián).
根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到
， 3分
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立.
即認(rèn)為體驗漢服與性別之間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過. 4分
（2）由數(shù)據(jù)可知，
因為，
， 6分

，因為， 7分
所以線性相關(guān)程度很強，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系. 8分
（3）由數(shù)據(jù)及公式可得：， 9分
， 10分
故關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為， 11分
當(dāng)萬元時，銷售額預(yù)計為萬元. 12分
22.（1）在上有兩個變號零點，即有兩個不等實根，
設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
而，且當(dāng)，恒有成立，于是，且，
即有，又，
則，
令，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞減，
從而，所以. 4分
（2）由（1）知，方程的兩個實根，即，
亦即，從而，設(shè)，又，即，
要證，即證，即證，
即證，即證，
即證，即證，即證，
令，
設(shè)，
則在上單調(diào)遞增，有，
于是，即有在上單調(diào)遞增，因此，即，
所以成立. 12分

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