?微專題74　帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
1．帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中一般做勻變速直線運(yùn)動(dòng)或勻變速曲線運(yùn)動(dòng)；在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中一般做勻速圓周運(yùn)動(dòng).2.明確各段運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，特別注意各銜接點(diǎn)的速度方向、大?。?br /> 1.在如圖所示的xOy平面的第一象限內(nèi)，存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1、B2的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫(huà)出)．Oa是兩磁場(chǎng)的邊界，且與x軸的夾角為45°.一不計(jì)重力、帶正電的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正向射入磁場(chǎng)．之后粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡恰與y軸相切但未離開(kāi)磁場(chǎng)．則兩磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比為(　　)

A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案　C
解析　設(shè)帶電粒子在B1中運(yùn)動(dòng)的半徑為R1，在B2中運(yùn)動(dòng)的半徑為R2，根據(jù)條件作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由圖中幾何關(guān)系可知R1＝2R2，根據(jù)qvB＝m可得＝＝，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤．

2.(多選)(2023·遼寧省丹東質(zhì)檢)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)有一虛線，虛線與x軸正方向間夾角θ＝30°.虛線上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.75×10－3 T．虛線下方到第四象限內(nèi)有與虛線平行、電場(chǎng)強(qiáng)度E＝20 N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一比荷＝2×105 C/kg的帶電粒子從y軸正半軸上的P點(diǎn)以速度v0＝300 m/s沿x軸正方向射入磁場(chǎng)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，從虛線上的M點(diǎn)(M點(diǎn)圖中未畫(huà)出)垂直虛線方向進(jìn)入電場(chǎng)(不計(jì)重力)，則(　　)

A．該帶電粒子一定帶正電
B．OM之間的距離為2 m
C．粒子第一次穿過(guò)虛線后與x軸間的最小距離約為0.98 m
D．粒子第一次穿過(guò)虛線后能擊中x軸
答案　BC
解析　根據(jù)題目的描述可知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受到的洛倫茲力豎直向下，根據(jù)左手定則可知，帶電粒子帶負(fù)電，故A錯(cuò)誤；粒子受到的洛倫茲力提供向心力，則qv0B＝
代入數(shù)據(jù)解得：r＝2 m，根據(jù)幾何關(guān)系可知，O點(diǎn)為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，因此OM之間的距離也等于半徑，即為2 m，故B正確；將粒子進(jìn)入電場(chǎng)后的速度分解為水平和豎直方向，將粒子的加速度也分解為水平和豎直方向，則在豎直方向上：y＝，其中，a＝，聯(lián)立解得：y≈0.02 m，因此粒子第一次穿過(guò)虛線后與x軸間的最小距離約為rsin 30°－y≈0.98 m，無(wú)法擊中x軸，故C正確，D錯(cuò)誤．
3．(2023·云南省玉溪三中高三月考)如圖所示，在x軸上方及下方存在方向垂直紙面向里的范圍足夠大勻強(qiáng)磁場(chǎng)，上方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、下方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為.一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從x軸上的O點(diǎn)以速度v0垂直x軸向上射出．不計(jì)粒子重力．求：

(1)射出后粒子第二次到達(dá)x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離，并畫(huà)出該過(guò)程粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡；
(2)射出后粒子經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間第二次到達(dá)x軸．
答案　(1)　軌跡見(jiàn)解析圖　(2)
解析　(1)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示

由Bqv＝m
得圓周運(yùn)動(dòng)半徑r＝
故在x軸上方做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有r1＝
在x軸下方做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有r2＝＝
射出后粒子第二次到達(dá)x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離
d＝2r2－2r1＝
(2)由T＝
可得圓周運(yùn)動(dòng)周期T＝
在x軸上方做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，
有t1＝T1＝×＝
在x軸下方做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)t2＝T2＝×＝
則射出后粒子第二次到達(dá)x軸所用時(shí)間t＝t1＋t2＝.
4.(2023·安徽省江淮十校第一次聯(lián)考)如圖所示，在第Ⅰ象限的區(qū)域存在方向沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第Ⅱ象限的區(qū)域存在方向沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為E，在第Ⅲ、Ⅳ象限的區(qū)域存在方向垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一個(gè)氕核H和一個(gè)氘核H先后從點(diǎn)A(－l，l)處?kù)o止釋放．已知H進(jìn)入磁場(chǎng)后從坐標(biāo)原點(diǎn)O處第一次射出磁場(chǎng).H的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)氕核、氘核重力．求：

(1)H第一次進(jìn)入磁場(chǎng)的位置到原點(diǎn)O的距離；
(2)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；
(3)H第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的位置到進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)入射點(diǎn)的距離．
答案　(1)2l　(2)　(3)2l
解析　根據(jù)題意作出氕核軌跡如圖所示

(1)H在第二象限內(nèi)由動(dòng)能定理有
qEl＝mv02
在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)
x＝v0t
l＝at2
qE＝ma
得x＝2l
(2)由(1)得tan θ＝＝1
可得θ＝45°，v＝v0
由幾何關(guān)系知，H在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝l，由qvB＝m
得B＝
(3)同理對(duì)H
qEl＝·2mv12
在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)
x1＝v1t1
l＝a1t12
qE＝2ma1
得x1＝2l
tan θ1＝＝1
可得θ1＝45°，v′＝v1＝v0
即仍從相同位置以相同角度進(jìn)入磁場(chǎng)．則H在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r＝R＝2l，由幾何關(guān)系得H第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的位置到進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)入射點(diǎn)的距離為d＝2rcos 45°＝2l.
5．(2023·重慶市模擬)如圖所示，在真空中的xOy平面內(nèi)，有四個(gè)邊界垂直于x軸的條狀區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ寬度均為d，內(nèi)有沿－y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E；區(qū)域Ⅱ、Ⅳ寬度均為2d，內(nèi)有垂直于xOy平面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1和B2.M是區(qū)域Ⅲ右邊界與x軸的交點(diǎn)．質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子甲以速度v0從O點(diǎn)沿x軸正方向射入電場(chǎng)E，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，沿x軸正方向與靜止在M點(diǎn)的粒子乙結(jié)合在一起，成為粒子丙進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅳ，之后直接從右邊界上Q點(diǎn)(圖中未標(biāo)出)離開(kāi)區(qū)域Ⅳ.粒子乙不帶電，質(zhì)量為2m，結(jié)合前后無(wú)電荷損失，結(jié)合時(shí)間極短，已知E＝，粒子重力不計(jì)．求：

(1)粒子甲離開(kāi)區(qū)域Ⅰ時(shí)速度的大小v1和與x軸正方向的夾角θ；
(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大?。?br /> (3)粒子丙從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的最長(zhǎng)時(shí)間tm.
答案　(1)60°　(2)　(3)
解析　(1)設(shè)粒子甲在區(qū)域Ⅰ電場(chǎng)中的加速度為a1，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1，離開(kāi)區(qū)域Ⅰ時(shí)速度大小為v1，與x軸正方向夾角為θ，v1沿y軸負(fù)方向的大小為vy，則：
根據(jù)牛頓第二定律有：qE＝ma1
水平方向：d＝v0t1
豎直方向：vy＝a1t1
由速度的合成與分解及幾何關(guān)系有：vy＝v0tan θ、v1＝
解得：v1＝2v0，θ＝60°
(2)粒子甲運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)速度沿x軸正方向，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，粒子甲在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡關(guān)于區(qū)域Ⅱ垂直于x軸的中線對(duì)稱，設(shè)軌道半徑為r1，則
由對(duì)稱性和幾何關(guān)系：d＝r1sin θ
洛倫茲力提供向心力：qv1B1＝
聯(lián)立解得：B1＝
(3)設(shè)粒子甲在M點(diǎn)與粒子乙結(jié)合前速度大小為v2，粒子丙在M點(diǎn)速度大小為v3，則
由題意知：v2＝v0
以x軸正方向?yàn)檎较?，根?jù)動(dòng)量守恒定律有：mv2＝3mv3
粒子丙在磁場(chǎng)B2中以速度v3做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且從右邊界上Q點(diǎn)離開(kāi)，則當(dāng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r2＝2d時(shí)，粒子丙在磁場(chǎng)B2中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，設(shè)為t4，則t4＝＝.

6．(2023·江蘇揚(yáng)州市模擬)如圖所示的xOy平面內(nèi)，x＜0的區(qū)域內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在0＜x≤2L區(qū)域內(nèi)，處于第一象限的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1；處于第四象限的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2，大小關(guān)系為B2＝2B1，均垂直于紙面向外．一質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的粒子，在t＝0時(shí)刻，從P(－2L，－L)點(diǎn)以速度v0沿x軸正向水平射出，恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)入第一象限，最終從x軸上的Q(2L,0)點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力．求：

(1)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；
(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的最小值；
(3)若B1＝，整個(gè)過(guò)程粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t.
答案　(1)　(2)　(3)(2＋5π).
解析　(1)粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將其分解為沿＋x方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿＋y方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，其沿y軸分速度大小為vy，末速度v與x軸正方向的夾角為θ，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則有：

a＝
2L＝v0t1
L＝at12
vy＝at1
tan θ＝
v＝
聯(lián)立解得：E＝；θ＝30°；v＝v0；t1＝
(2)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力有：
qvB1＝m
解得：B1＝
可見(jiàn)磁感應(yīng)強(qiáng)度B1最小時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)半徑最大，由幾何關(guān)系可知粒子在第一象限磁場(chǎng)中由O直接到Q點(diǎn)，其半徑最大，則有：
rmax＝＝＝2L
解得磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的最小值：B1min＝＝＝；
(3)當(dāng)B1＝時(shí)，由洛倫茲力提供向心力有qvB1＝m
解得粒子在第一象限中運(yùn)動(dòng)半徑為r1＝＝L，
軌跡的弦長(zhǎng)為：d1＝2r1sin θ＝r1＝L
t2＝·＝
設(shè)粒子在第四象限中的運(yùn)動(dòng)半徑為r2，同理可得r2＝＝＝r1
軌跡的弦長(zhǎng)為：d2＝2r2sin θ＝L
軌跡圓心角為360°－2θ＝360°－60°＝300°
t3＝·＝
粒子由O到Q的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，粒子最終從第一象限經(jīng)過(guò)x軸上的Q點(diǎn)，粒子先是重復(fù)O→M→N的運(yùn)動(dòng)，設(shè)重復(fù)次數(shù)為n，需滿足關(guān)系：

n(d1－d2)＋d1＝OQ＝2L
聯(lián)立解得：n＝4
則整個(gè)過(guò)程粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t＝t1＋n(t2＋t3)＋t2＝＋4(＋)＋＝(2＋5π).

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