?廣東省梅州市五華縣2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題
1．如圖是由6個完全相同的小正方體組成的幾何體，其俯視圖為（????）

A． B． C． D．
2．如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（???）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．位似
3．如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）

A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD?AC D．
4．如圖，是由個全等的等邊三角形組成的圖案，假設可以隨機在圖中取點，那么這個點取在陰影部分的概率是（????）
??
A． B． C． D．
5．如下圖，矩形的對角線，交于點O，，，則邊長為（????）

A． B． C．1 D．2
6．已知關于x的方程mx2﹣4x+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（　?。?br /> A．m＜2 B．m＞2 C．m＞2且m≠0 D．m＜2且m≠0
7．如下圖，在平面直角坐標系中，為的邊上一點，，過作交于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則點的縱坐標為（????）
??
A．5 B．6 C．8 D．3
8．如下圖，在菱形紙片中，是邊上一點，將沿直線翻折，使點落在上，連接．已知，，則的度數(shù)為（??）
??
A． B． C． D．
9．如圖，在中，點是線段上一點，，過點作交的延長線于點，若的面積等于4，則的面積等于（????）

A．2.4 B．3 C． D．4
10．已知反比例函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點．如上圖，過點作直線與函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，且，過點作直線，交軸于點，則線段的長為（????）

A． B． C． D．

二、填空題
11．方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是 ．
12．如果兩個相似三角形的面積比是4：9，那么它們對應高的比是
13．盒子里裝有除顏色外沒有其他區(qū)別的2個紅球和1個黑球，攪勻后從中取出1個球，放回攪勻再取出第2個球，則兩次取出的球是1紅1黑的概率為 ．
14．如圖，在中，，，，垂足為D，點E是的中點，連接，則的度數(shù)是

15．如圖，在中，點在上，點分別在、上，四邊形是矩形，，是的高，，，那么的長為 ．
??

三、解答題
16．解方程：．
17．如圖所示，中，為上一個點，垂直平分交于，交于，若，判斷四邊形AEDF的形狀并說明理由．

18．碧桂園進駐揭西，一棟棟高樓拔地而起．如圖，小明（線段AB）利用學到的知識，計算樓房（線段CD）的層數(shù)，他把一鏡子放在E處（點B、E、D共線），此時小明通過鏡子剛好可以看到大樓的頂端C，若小明身高1.5m，測得BE＝1m，ED＝58m，碧桂園層高為2.9m，求這棟樓房有多少層？

19．已知關于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；
(2)若的兩邊、的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊的長為，當是等腰三角形時，求的值．
20．某中學積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務質(zhì)量，促進學生全面健康發(fā)展為優(yōu)化師資配備，學校面向七年級參與課后服務的部分學生開展了“你選修哪門課程（要求必須選修一門且只能選修一門）？”的隨機問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

請結(jié)合上述信息，解答下列問題：
(1)共有　名學生參與了本次問卷調(diào)查；“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角是　度；
(2)補全調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計圖；
(3)小剛和小強分別從“禮儀”等五門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率．
21．北京時間年月日時分，神舟十五號載人飛船成功發(fā)射，為弘揚航天精神，某校在教學樓上懸掛了一幅勵志條幅（即）．小亮同學想知道條幅的長度，他的測量過程如下：如圖，剛開始他站在距離教學樓的點處，在點正上方點處測得，然后向教學樓條幅方向前行到達點處，在點正上方點處測得，若，，均為，的長為．

(1)如圖1，請你幫助小亮計算條幅長度
(2)若小亮從點開始以每秒的速度向點行走至（正上方點），經(jīng)過多少秒后，以、、為頂點的三角形與相似．
22．（1）【問題原型】如圖①，在正方形中，點分別在邊，上，且，點為，的交點，求證：．
（2）【探究發(fā)現(xiàn)】某數(shù)學興趣小組，在嘗試對上述問題進行變式，轉(zhuǎn)換了問題的背景圖形：如圖②，在等邊中，點，分別在邊，上（不與三角形頂點重合），且，點為，的交點，請畫出圖形并求的度數(shù)．
（3）【拓展提升】利用【探究發(fā)現(xiàn)】的思路及結(jié)論，繼續(xù)探究，嘗試解決如下問題：
如圖③，在菱形中，，點分別在邊，上，且，，點為，的交點，求的度數(shù)．

23．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點C，軸于點D，，點關于直線的對稱點為點．
??
(1)點是否在這個反比例函數(shù)的圖象上？請說明理由；
(2)連接、，若四邊形為正方形．
①求、的值；
②若點在軸上，當最大時，求點的坐標．

參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)從上面看到的圖形即為俯視圖進一步分析判斷即可.
【詳解】從上面看第一排是三個小正方形，第二排右邊是一個小正方形，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了三視圖的判斷，熟練掌握相關方法是解題關鍵.
2．D
【分析】根據(jù)位似的定義，即可解決問題．
【詳解】根據(jù)位似的定義可知：三角尺與影子之間屬于位似．
故選：D．
【點睛】本題考查了生活中位似的現(xiàn)象，解決本題的關鍵是熟記位似的定義．
3．D
【分析】根據(jù)有兩個角對應相等的三角形相似，以及根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，分別判斷得出即可．
【詳解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此選項不合題意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此選項不合題意；
C、∵AB2=AD?AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此選項不合題意；
D、不能判定△ADB∽△ABC，故此選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解題的關鍵.
4．D
【分析】先設每個小等邊三角的面積為，則陰影部分的面積是，得出整個圖形的面積是，再根據(jù)幾何概率的求法即可得出答案．
【詳解】解：先設每個小等邊三角的面積為，
則陰影部分的面積是，整個圖形的面積是，
則這個點取在陰影部分的概率是．
故選：D．
【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發(fā)生的概率．
5．D
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，進而利用等邊三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：四邊形是矩形，，
，
，
是等邊三角形，
，
故選：D．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，關鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)得出解答．
6．D
【分析】由二次項系數(shù)非零及根的判別式Δ＞0，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍．
【詳解】∵關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴且，
解得：且．
故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，解題的關鍵是要熟記一元二次方程的二次項系數(shù)不為0和根的判別公式．
7．A
【分析】根據(jù)得到，得到，根據(jù)，得出，根據(jù)、兩點縱坐標分別為1、3，得出，即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵、兩點縱坐標分別為1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴點的縱坐標為5．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了相似三角形，平面直角坐標系中點的坐標，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，平面直角坐標系中平行y軸的直線上兩點之間的距離，是解題的關鍵．
8．B
【分析】由翻折的性質(zhì)知，，再由菱形的性質(zhì)得，，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，
∴，，
∵沿直線翻折，使點B落在上，
∴，，
∴，，
∴，
，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，求出是解題的關鍵．
9．B
【分析】證明可求，從而可求，，即可求解．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關鍵．
10．C
【分析】由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，直接利用待定系數(shù)法求解即可求得答案；首先分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，易得，即可求得A的坐標，由，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求得答案．
【詳解】∵反比例函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點 ，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為，
分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，則，，

∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴， 即 ，
∴．
∴點A的縱坐標為4，
∴把代入，
∴．
∴，
設直線解析式為， 把，代入解析式得，
，
解得： ，
∴直線解析式為，
當時，， 解得：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴ ，
解得：．
故選：C．
【點睛】此題考查了待定系數(shù)求反比例與一次函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．
11．x1＝4，x2＝﹣3
【分析】直接利用因式分解法解方程即可．
【詳解】解：∵（x﹣4）（x+3）＝0，
∴x﹣4＝0或x+3＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣3；
故答案為：x1＝4，x2＝﹣3．
【點睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
12．2：3/
【詳解】解：∵兩個相似三角形的面積比是4：9，
兩個相似三角形的相似比是2：3，
∴它們對應高的比是2：3．
故答案為：2：3．
13．
【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩次取出的球是1紅1黑的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次取出的球是1紅1黑的結(jié)果有4種，
∴兩次取出的球是1紅1黑的概率為．
故答案為：．
【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．
14．
【分析】利用互余關系及斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)解題即可．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∵，點E是的中點，
∴在中，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，能夠熟練運用性質(zhì)及互余是解題關鍵．
15．6
【分析】通過四邊形為矩形推出，因此與兩個三角形相似，將視為的高，可得出，再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案．
【詳解】解：設與交于點M．
??
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵和分別是和的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，靈活運用相似三角形的性質(zhì)是本題的關鍵．
16．，
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可．
【詳解】解：



或
∴，
【點睛】此題考查了一元二次方程的求解，解題的關鍵是掌握一元二次方程的求解方法．
17．四邊形是菱形，證明見解析
【分析】首先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，，證明可得，進而得到，即可得四邊形是菱形．
【詳解】解：四邊形是菱形，
理由：∵垂直平分交于，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形．
【點睛】此題主要考查了菱形的判定，關鍵是掌握四邊相等的四邊形是菱形．
18．30層
【分析】證，得，求出，進而得出答案．
【詳解】解：由已知可得：，
又，
，
，
即，
解得：，
（層，
答：這棟樓房有30層．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．
19．(1)見解析；
(2)或．

【分析】（1）證明即可；
（2）根據(jù) 是等腰三角形分類討論即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴方程總有兩個實數(shù)根．
（2）解：當時，原方程為：，
解得：，
當時，原方程為：，
∴，．
由三角形的三邊關系，可知、、能圍成等腰三角形，
∴符合題意；
當時，則有：，
解得：，
∴原方程為：，
解得：．
由三角形的三邊關系，可知、、能圍成等腰三角形，
∴符合題意．
綜上所述：的值為或．
【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式的意義，解一元二次方程，解題的關鍵是根據(jù)根的情況，對等腰三角形進行分類討論．
20．(1)120，99
(2)見解析
(3)

【分析】（1）由選修“禮儀”的學生人數(shù)除以所占百分比得出參與了本次問卷調(diào)查的學生人數(shù)，即可解決問題；
（2）求出選修“廚藝”和“園藝”的學生人數(shù)，即可解決問題；
（3）畫樹狀圖，共有25種等可能的結(jié)果，其中小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的結(jié)果有5種，再由概率公式求解即可．
【詳解】（1）解：參與了本次問卷調(diào)查的學生人數(shù)為：（名），
則“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角為：，
故答案為：120，99；
（2）解：條形統(tǒng)計圖中，選修“廚藝”的學生人數(shù)為：（名），
則選修“園藝”的學生人數(shù)為：（名），
補全條形統(tǒng)計圖如下：

（3）解：把“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程分別記為、、、、，
畫樹狀圖如下：

共有25種等可能的結(jié)果，其中小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的結(jié)果有5種，
小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的概率為．
【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21．(1)
(2)秒或秒

【分析】（1）根據(jù)已知求出、和，再根據(jù)同位角相等求出，根據(jù)成比例線段求出長度；
（2）設經(jīng)過秒后，以、、為頂點的三角形與相似，則，，利用三角形相似對應邊成比例，分成和兩種情況求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得：，，，
，
，
，即，
解得，
條幅的長度為；
（2）設經(jīng)過秒后，以、、為頂點的三角形與相似，則，，
當時，，即，
解得，
當時，，即，
解得，
∴經(jīng)過秒或秒后，以、、為頂點的三角形與相似．
【點睛】本題考查了相似三角形的應用，平行線的判定，平行線分線段成比例，熟練掌握并靈活運用這些性質(zhì)是解答本題的關鍵．
22．（1）見解析；（2），圖見解析；（3）
【分析】（1）證得，再根據(jù)直角三角形的判定即可得解；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)得，，進而證明得，利用三角形的外角性質(zhì)即可求解；
（3）連接交于．由菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定證是等邊三角形，再證得，從而有，于是根據(jù)（）即可得解．
【詳解】解：（1）四邊形是正方形
∴，．
∵，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）探究發(fā)現(xiàn)，如圖（）中
??
∵是等邊三角形，
∴，，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴，
（3）拓展提升：如圖③中，連接交于．
??
四邊形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等邊三角形，
由（）可知，．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及直角三角形的判定，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關鍵．
23．(1)點在這個反比例函數(shù)的圖象上，理由見解析
(2)①；②

【分析】（1）設點的坐標為，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，平分，如圖，連接交于，得到，再結(jié)合，軸，進而求得，于是得到點在這個反比例函數(shù)的圖像上；
（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，垂直平分，求得，設點的坐標為，得到（負值舍去），求得，，把，代入得，解方程組即可得到結(jié)論；②延長交軸于，根據(jù)已知條件得到點與點關于軸對稱，求得，則點即為符合條件的點，求得直線的解析式為，于是得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：點在這個反比例函數(shù)的圖象上，
理由：∵一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，
∴設點的坐標為，
∵點關于直線的對稱點為點，
∴，平分，
如圖．連接交于，
∴，
??
∵，，
∴，
∴，
∵軸于，
∴軸，
∴，
∵，
∴點在這個反比例函數(shù)的圖象上；
（2）解：①∵四邊形為正方形，
∴，垂直平分，
∴，
設點的坐標為，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把，代入得，
∴；
②延長交軸于，
??
∵，
∴點與點關于軸對稱，
∴，
則點即為符合條件的點，
由①知，，，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴．
故當最大時，點的坐標為．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確地作出輔助線是解題的關鍵．

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