1.掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.（難點(diǎn)）2.能運(yùn)用一元二次方程解決與面積有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.（重點(diǎn)）
如圖在一長(zhǎng)為40cm、寬為28cm的矩形鐵皮的四角截去四個(gè)全等的小正方形后，折成一個(gè)無(wú)蓋 的長(zhǎng)方體形盒子. 若已知長(zhǎng)方體 形盒子的底面積為364 cm2，求 截去的四個(gè)小正方形的邊長(zhǎng).
將鐵皮截去四個(gè)小正方形后，可以得到圖，這個(gè)長(zhǎng)方體形盒子的底面就是圖中的陰影部分，因此本問(wèn)題涉及的等量關(guān)系是： 盒子的底面積 ＝ 盒子的底面長(zhǎng)×盒子的底面寬 .
解：設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為 x cm， 則無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的底面長(zhǎng)與寬分別為 (40 - 2x) cm，(28 - 2x) cm. 根據(jù)等量關(guān)系，可以列出方程 (40 - 2x)(28 - 2x) = 364. 整理，得x2 - 34x + 189 = 0. 解得 x1 = 27，x2 = 7.
如果截去的小正方形的邊長(zhǎng)為 27 cm，那么左下角和右下角的兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)之和為 54 cm，這超過(guò)了矩形鐵皮的長(zhǎng)度(40cm).因此 x1 = 27 不合題意，應(yīng)當(dāng)舍去. 因此，截去的小正方形的邊長(zhǎng)為 7 cm.
分析 雖然“整個(gè)矩形的面積－道路所占面積＝綠化面積”，但道路不是規(guī)則圖形，因此不便于計(jì)算！若把道路平移，則可得到圖②，此時(shí)綠化部分就成了一個(gè)新的矩形了，再由本問(wèn)題涉及的等量關(guān)系： 矩形的面積＝矩形的長(zhǎng)×矩形的寬，就可建立一個(gè)一元二次方程 .
解 ：設(shè)道路寬為 x m，則新矩形的長(zhǎng)為 (32 - x) m，寬為(20 - x)m. 根據(jù)等量關(guān)系得 (32 - x)(20 - x) = 540. 整理，得 x2 - 52x + 100 = 0. 解得 x1 = 2，x2 = 50 (不合題意，舍去）． 答：道路寬為 2 m.
解：設(shè)道路的寬為 x 米
1、如圖，在一塊寬為20m， 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為540㎡，求道路的寬為多少？
(32 - x)(20 - x) = 540
整理，得 x2 - 52x + 100 = 0
解得 x1 = 2，x2 = 50
當(dāng) x = 50 時(shí)，32 - x = -18，不合題意，舍去.
答：道路的寬為 2 米.
在寬為20m， 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為540m2，求這種種方案下的道路的寬為多少？
(32 - 2x)(20 - x) = 540
(32 - 2x)(20 - 2x) = 540
在寬為20m， 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑四條道路，余下的部分種上草坪，如果橫、縱小路的寬度比為3：2，且使小路所占面積是矩形面積的四分之一，求道路的寬為多少？
小路所占面積是矩形面積的四分之一
剩余面積是矩形面積的四分之三
解：設(shè)橫、豎小路的寬度分別為3x、 2x， 于是可列方程
我們利用“圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖的位置修路）.
解得 x1= x2 = 3. 答：點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)3s后可使ΔPCQ的面積為9c㎡.
解：設(shè)AB長(zhǎng)是 x m. (100 - 4x)x = 400 x2 - 25x + 100 = 0 x1 = 5，x2 = 20 x = 20，100 - 4x = 20 < 25 x=5，100 - 4x = 80 > 25 x = 5(舍去)答：羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)各是 20m，20m.
如圖：要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)各是多少米？
如圖，一農(nóng)戶(hù)要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m的門(mén)，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80平方米？
解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長(zhǎng)為x m，
由題意得 x(25 - 2x + 1) = 80
化簡(jiǎn)，得 x2 - 13x + 40 = 0
解得 x1 = 5 ， x2 = 8
當(dāng) x = 5 時(shí)，26 - 2x = 16 > 12 (舍去）
當(dāng) x = 8 時(shí)，26 - 2x = 10 < 12
故所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m，寬為8m.
則平行于住房墻的一邊長(zhǎng) (25 - 2x + 1) m.
主要集中在幾何圖形的面積問(wèn)題, 這類(lèi)問(wèn)題的面積公式是等量關(guān)系. 如果圖形不規(guī)則應(yīng)割或補(bǔ)成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關(guān)系,再運(yùn)用規(guī)則圖形的面積公式列出方程;
1.如圖，在長(zhǎng)為 100m、寬為 80m的矩形地面上要修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進(jìn)行綠化．若要使綠化面積為 7644 m2，則道路的寬應(yīng)為多少米？
解：設(shè)道路的寬應(yīng)為 x 米， 由題意有 (100 - x)(80 - x) = 7644， 解得 x1 = 178(舍去)，x2 = 2. 答：道路的寬應(yīng)為2米.
2.如圖，在 RtΔABC 中，∠C = 90°，AC = 8cm，BC = 6cm.點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AC，BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng). 問(wèn)點(diǎn)，Q出發(fā)幾秒后可使 ΔPCQ 的面積為 RtΔABC 面積的一半？
x2 - 14x + 24 = 0(x - 2)(x-12) = 0x1 = 12(舍去)，x2 = 2即點(diǎn)P，Q出發(fā)2秒后可使△PCQ的面積為Rt△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半.
3.一塊長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)是寬的2倍，如果在4個(gè)角上截去邊長(zhǎng)為5cm的小正方形，? 然后把四邊折起來(lái)，做成一個(gè)沒(méi)有蓋的盒子，盒子的容積是3000 cm3，求鐵板的長(zhǎng)和寬．
解：設(shè)鐵板的寬為x cm,則有長(zhǎng)為2x cm
5(2x - 10)(x - 10) = 3000 x2 - 15x – 250 = 0解得 x1 = 25 x2 = -10 (舍去)所以 2x = 50
答：鐵板的長(zhǎng)50cm，寬為25cm.
4.如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)寬20cm，長(zhǎng)為30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎彩條，橫豎彩條的寬度之比為2∶3 ，若使所有彩條的面積是原來(lái)矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？
解：設(shè)橫向彩條的寬度2xcm ，豎彩條的寬度3xcm (20 - 6x)(30 - 4x) = 400 6x2 - 65x + 50 = 0

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