?2023北京西城高一（下）期末
數(shù) 學(xué)
2023.7
本試卷共6頁(yè)，共150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘，考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列函數(shù)中，最小正周期為且是偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，則（ ）
A． B．1 C． D．
4．某城市—年中12個(gè)月的月平均氣溫y（單位℃）與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)來(lái)表示，已知月平均氣溫最高值為28℃，最低值為18℃，則（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則可能的取值為（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知直線m，直線n和平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
7．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知等邊的邊長(zhǎng)為4，P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
9．已知函數(shù)，則“在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
10．已知點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P都在單位圓上，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
第二部分（選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則為_(kāi)_____．
12．設(shè)向量，，若，則______．
13．已知圓柱的底面半徑為3，體積為的球與該圓柱的上、下底面相切，則球的半徑為_(kāi)_____，圓柱的體積為_(kāi)_____．
14．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)______．
①，；
②，恒成立．
15．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），點(diǎn)E在線段上，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在點(diǎn)P，使得平面平面；
②存在點(diǎn)P，使得是等腰直角三角形；
③若，則點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為；
④當(dāng)時(shí)，則平面截正方體所得截面圖形的面積為18．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．
16．（本小題13分）
已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
17．（本小題13分）
如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：平面．

18．（本小題14分）
已知在中，．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若，在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，求的周長(zhǎng)．
①的面積為；②；③AB邊上的高線CD長(zhǎng)為．
19．（本小題15分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．
20．（本小題15分）
如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，四邊形ABCD為正方形，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為SB上一點(diǎn)，M為BC上一點(diǎn)，且平面平面SCD．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：M為線段BC中點(diǎn)，并直接寫出M到平面SCD的距離；
（Ⅲ）在棱SC上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面ABCD？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由．

21．（本小題15分）
對(duì)于定義在R上的函數(shù)和正實(shí)數(shù)T，若對(duì)任意，有，則為T-階梯函數(shù)．
（Ⅰ）分別判斷下列函數(shù)是否為1-階梯函數(shù)（直接寫出結(jié)論）：
①；②．
（Ⅱ）若為T-階梯函數(shù)，求T的所有可能取值；
（Ⅲ）已知為T-階梯函數(shù)，滿足：在上單調(diào)遞減，且對(duì)任意，有．若函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，記其中正的零點(diǎn)從小到大依次為
直接給出一個(gè)符合題意的a的值，并證明：存在，使得在上有4046個(gè)零點(diǎn)，且．


參考答案
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．
1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．B 10．A
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．1 12．-2 13．2， 14．（答案不唯一） 15．①③④
注：第13題第一問(wèn)2分，第二問(wèn)3分；第15題全部選對(duì)得5分，不選或有錯(cuò)選得0分，其他得3分．
三、解答題：本大題共6小題，共85分．其他正確解答過(guò)程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分．
16．（本小題13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?，?br /> 所以，．
又因?yàn)?，所以?br /> 所以．
（Ⅱ）．
17．（本小題13分）
（Ⅰ）證明：，所以平面．

因?yàn)槠矫?，所以?br /> 因?yàn)闉檎叫?，所以?br /> 又因?yàn)?，所以平面?br /> （Ⅱ）設(shè)，連接OE．
因?yàn)闉檎襟w，所以，且，
所以，且．
因?yàn)镋，F(xiàn)分別，的中點(diǎn)，所以，且．
所以，且．
所以四邊形為平行四邊形．所以．
又因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面．
18．（本小題14分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，得．
所以．
因?yàn)?，所以，所以?br /> 因?yàn)?，，所以，即?br /> 又因?yàn)?，所以?br /> （Ⅱ）選擇①
因?yàn)?，即?br /> 即，所以．
又因?yàn)椋矗?br /> 所以，所以的周長(zhǎng)為．
選擇③
因?yàn)锳B邊上的高線CD長(zhǎng)為，即，所以．
又因?yàn)椋?br /> 所以，所以的周長(zhǎng)為．
19．（本小題15分）
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）

由，，
得．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（Ⅲ）因?yàn)椋裕?br /> 依題意，解得．
所以m的取值范圍為．
20．（本小題15分）
解：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以．
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面SAD，
又平面SAD，所以．
（Ⅱ）因?yàn)槠矫嫫矫鍿CD，平面平面，
平面平面，所以，
又因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以M為線段BC中點(diǎn)．
M到平面SCD的距離為．

（Ⅲ）存在，N為SC中點(diǎn)，連接EC，DM交于點(diǎn)O，連接SE．
因?yàn)椋⑶?，所以四邊形EMCD為平行四邊形，所以．
又因?yàn)镹為SC中點(diǎn)，所以．
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，
又平面SAD，由已知，
所以平面ABCD，所以平面ABCD．
又因?yàn)槠矫鍰MN，所以平面平面ABCD．
所以存在點(diǎn)N，使得平面平面ABCD，．
21．（本小題15分）
解：（Ⅰ）①否；②是．
（Ⅱ）因?yàn)闉門-階梯函數(shù)，所以對(duì)任意有：
．
所以，對(duì)任意，，
因?yàn)槭亲钚≌芷跒榈闹芷诤瘮?shù)，
又因?yàn)椋?，?br /> （Ⅲ）．
函數(shù)，則有：
，
．
取，則有：
，，
由于在上單調(diào)遞減，因此在上單調(diào)遞減，
結(jié)合，則有：
在上有唯一零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)．
又由于，則對(duì)任意，有：
，，
因此，對(duì)任意，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)：，．
綜上所述，存在，使得在上有4046個(gè)零點(diǎn)：
，，，，…，，，
其中，．

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