?武漢市部分重點中學2022～2023學年度下學期期末聯考
高一數學試卷

考試時間：2023年6月27日下午14:00－16:00
試卷滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設為虛數單位，復數z滿足，則為（ ）．
A. B. 5 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用復數的乘法除法法則，結合共軛復數的概念即可求解.
【詳解】由，得，
所以，
所以.
故選：D.
2. 從小到大排列的數據1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位數為（ ）．
A. 3 B. C. 8 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用下四分位數的公式求解.
【詳解】共12個數據從小到大排列，，
故下四分位數為第3個數據和第4個數據平均值，即.
故選：B
3. 已知平面向量，，那么在上的投影向量的坐標是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量的公式以及向量數量積和向量模的坐標運算求解.
【詳解】平面向量，，
在上的投影向量為，
所以在上的投影向量的坐標是.
故選：C
4. 圓臺的上、下底面半徑分別是1和5，且圓臺的母線長為5，則該圓臺的體積是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圓臺的體積公式求解即可.
【詳解】因為圓臺的上、下底面半徑分別是1和5，且圓臺的母線長為5，
所以該圓臺的高為，
則該圓臺的體積為.
故選：B.
5. 在邊長為4的正方形中，動圓Q的半徑為1、圓心在線段（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內部的動點，則的取值范圍是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據數量積的幾何意義，結合圖形關系即可求解最值.
【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，
由數量積的幾何意義可知：等于與在上的投影的乘積，
故當在上的投影最大時，數量積最大，此時點在以為圓心的圓的最上端處，此時投影為，故數量積為，
故當在上的投影最小時，數量積最小，此時點在以為圓心的圓的最下端處，此時投影為，故數量積為,
故，
故選：A

6. 某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）進行比賽，按照分層抽樣的方法從兩個班共抽取10名同學，相關統計情況如下：高三（1）班答對題目的平均數為，方差為；高三（2）班答對題目的平均數為，方差為，則這10人答對題目的方差為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據分層抽樣求各層的人數，再根據平均數、方差的公式運算求解.
【詳解】由分層抽樣可得高三（1）班抽取的人數為，高三（2）班抽取的人數為，
設高三（1）班（6人）答對題目數依次為，高三（2）班（4人）答對題目數依次為，
由題意可得：，
可得，
則這10人答對題目的平均數，
這10人答對題目的方差.
故選：D.
7. 某數學興趣小組要測量一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側．若小明同學在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為和，且米，則該球體建筑物的高度為（ ）米．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據三角函數可得，利用，求解即可得所求．
【詳解】如圖，設球心為，連接，則

設球的半徑為，則，
，

，
，則該球體建筑物的高度為米．
故選：B．
8. 已知正四棱錐的底面邊長為1，側棱長為，的中點為E，過點E作與垂直的平面，則平面截正四棱錐所得的截面面積為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據給定條件，作出平面截正四棱錐所得的截面，再借助余弦定理、三角形面積公式求解作答.
【詳解】在正四棱錐中，連接，則，是正三角形，由的中點為E，得，

而，則，在中，，
，令平面與直線交于，連，則，
，即點在棱上，同理平面與棱相交，令交點為，連，
于是四邊形為平面截正四棱錐所得的截面，由對稱性知，
在中，，而，
在中，，由余弦定理得，
在中，，，
所以所得截面面積.
故選：A
【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知復數，，是方程的三個解，則下列說法正確的是（ ）．
A. B.
C. ，，中有一對共軛復數 D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用立方差公式及一元二次方程的解法，結合共軛復數的定義及復數的四則運算法則即可求解.
【詳解】由，得，即或，解得或或，與互為共軛復數，故C正確；
由題意知，不妨取，，，
所以，故A.錯誤；
所以，故B正確；
所以，故D錯誤.
故選：BC.
10. 伯努利試驗是在同樣的條件下重復地、相互獨立地進行的一種隨機試驗，其特點是每次試驗只有兩種可能結果．若連續(xù)拋擲一枚質地均勻的硬幣n次，記錄這n次實驗的結果，設事件M＝“n次實驗結果中，既出現正面又出現反面”，事件N＝“n次實驗結果中，最多只出現一次反面”，則下列結論正確的是（ ）．
A. 若，則M與N不互斥 B. 若，則M與N相互獨立
C. 若，則M與N互斥 D. 若，則M與N相互獨立
【答案】AD
【解析】
【分析】根據已知條件，結合互斥事件的定義，以及相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解
【詳解】當時，所有基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4種，
其中（正，反）和（反，正）這兩種實驗結果，事件M和事件N同時發(fā)生，故M與N不互斥，A選項正確；
，，，，則M與N不相互獨立，B選項錯誤；
當時，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8種，
其中（正，正，反）、（正，反，正）和（反，正，正）這三種實驗結果，事件M和事件N同時發(fā)生，故M與N不互斥，C選項錯誤；
，，，，則M與N相互獨立，D選項正確.
故選：AD
11. 已知P是所在平面內一點，則下列說法正確的是（ ）．
A. 若，則P是的重心
B. 若P與C不重合，，則P在的高線所在的直線上
C. 若，則P在的延長線上
D. 若且，則的面積是面積的
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角形重心定義判斷A；利用垂直關系的向量表示判斷B；利用向量線性運算及向量共線的意義判斷C；確定點P的軌跡結合三角形面積公式判斷D作答.
【詳解】對于A，取邊的中點，連接，則，而，
即有，因此P是的重心，A正確；
對于B，，由，得，
有，點P在的高線所在的直線上，B正確；
對于C，由，得，即有，則點P在的延長線上，C錯誤；
對于D，由，得，令，則，
而，因此點是直線上任意一點，由知，
線段上的點到直線距離等于點到直線距離的，
即點在與直線平行，并且到直線距離等于點到直線距離的的直線上，
因此邊上的高是邊上的高的，即，D正確.
故選：ABD

12. 如圖，在四邊形中，和是全等三角形，，，，．下面有兩種折疊方法將四邊形折成三棱錐．折法①；將沿著折起，得到三棱錐，如圖1．折法②：將沿著折起，得到三棱錐，如圖2．下列說法正確的是（ ）．

A. 按照折法①，三棱錐的外接球表面積恒為
B. 按照折法①，存在滿足
C. 按照折法②﹐三棱錐體積的最大值為
D. 按照折法②，存在滿足平面，且此時與平面所成線面角正弦值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知利用棱錐的結構特征，球的表面積判斷A；由棱錐的結構特征判斷B；由棱錐體積判斷C；由線面角的定義求出大小判斷D.
【詳解】由題意知，
取的中點,由于和是直角三角形且全等，
故,
故在折法①的折疊過程中,三棱錐的外接球的球心為,半徑為1,
故該球的表面積恒為,故A選項正確；
按照折法①,在折起過程中,點在平面內的投影在線段上(不包括端點),
而線段 (不包括端點)不存在使得，故不存在滿足，故B選項錯誤；
按照折法②，取的中點，，
當平面平面時，三棱錐體積取得最大值，
此時體積,故C選項正確;
當時，，，
故此時,,
又因為平面,
故平面,
故為與平面所成線面角,
則，故D選項正確.
故選:ACD.



三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 在正三角形中，，D是的中點，E是的中點，則__________．
【答案】##-1.5
【解析】
【分析】建立直角坐標系，利用數量積的坐標運算即可求解.
【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，,
所以，
故答案為：

14. 從A，B等5名志愿者中隨機選3名參加核酸檢測工作，則A和B至多有一個入選的概率為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用古典概率模型，結合組合數的運算求解.
【詳解】由題可知則A和B至多有一個入選的概率為,
故答案為: .
15. 已知向量，滿足，，則的最大值為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用向量的運算建立平面直角坐標系即可得，由得，則，結合三角函數設，利用三角函數的性質即可求得最值.
【詳解】取平行四邊形，連接

設，則，
因為向量，滿足，所以，即，
設，，如圖以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，

則
所以，則，故，
所以
因為，又，可設
即，所以，其中，所以，所以，
故的最大值為，即的最大值為.
故選：.
16. 如圖是一座山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂S的距離為，B是山坡上一點，且，．為了發(fā)展當地旅游業(yè)，現要建設一條從A到B的環(huán)山觀光公路．若從A出發(fā)沿著這條公路到達B的過程中，要求先上坡，后下坡．則當公路長度最短時，的取值范圍為__________．

【答案】
【解析】
【分析】作圓錐側面展開圖，確定從點到點的最短路徑，由條件確定點的位置，由此求的取值范圍.
【詳解】以為分界線，將圓錐的側面展開，可得其展開圖如下：

則從從點到點的最短路徑為線段，
在上任取一點，連接，則的長表示點到山頂的距離，
若為直角，觀察可得當點從點向點運動時，的長逐漸變小，
即從A出發(fā)沿著這條公路到達的過程中，一直在上坡，與條件矛盾，

若為鈍角，觀察可得當點從點向點運動時，的長逐漸變小，
即從A出發(fā)沿著這條公路到達的過程中，一直在上坡，與條件矛盾，

若為銳角，過點作，垂足為，
觀察可得當點從點向點運動時，的長先變小，后變大，
即從A出發(fā)沿著這條公路到達的過程中，先上坡，后下坡．

由已知，
又弧的長為，，
所以，，
所以，
故，
所以，
又，
所以的取值范圍為，
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求曲面上兩點之間的最短距離常將曲面展開為平面圖形，利用平面上兩點之間線段最短的結論求解.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 某校為了提高學生對數學學習的興趣，舉辦了一場數學趣味知識答題比賽活動，共有1000名學生參加了此次答題活動．為了解本次比賽的成績，從中抽取100名學生的得分（得分均為整數，滿分為100分）進行統計．所有學生的得分都不低于60分，將這100名學生的得分進行分組，第一組，第二組，第三組，第四組 （單位：分），得到如下的頻率分布直方圖．

（1）求圖中m的值，并估計此次答題活動學生得分的中位數；
（2）根據頻率分布直方圖，估計此次答題活動得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學進行獎勵，請估計參賽的學生中有多少名學生獲獎．（以每組中點作為該組數據的代表）
【答案】（1），中位數為82.5．
（2），有520名學生獲獎．
【解析】
【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有頻率之和等于和中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等即可求解；
（2）利用頻率分布直方圖中平均數等于每個小矩形底邊的中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和及不低于平均值的學生人數為總數乘以不低于平均值的頻率即可.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖知：，解得，
設此次競賽活動學生得分的中位數為，
因數據落在內的頻率為0.4，落在內的頻率為0.8，從而可得，
由，得，
所以估計此次競賽活動學生得分的中位數為82.5．
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖及（1）知：
數據落在，，，的頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.2，
，
此次競賽活動學生得分不低于82的頻率為，
則，
所以估計此次競賽活動得分的平均值為82，在參賽的1000名學生中估計有520名學生獲獎
18. 某電視臺舉行沖關直播活動，該活動共有三關，只有一等獎和二等獎兩個獎項，參加活動的選手從第一關開始依次通關，只有通過本關才能沖下一關.已知第一關的通過率為0.7，第二關通過率為0.5，第三關的通過率為0.3，三關全部通過可以獲得一等獎（獎金為300元），通過前兩關就可以獲得二等獎（獎金為200元），如果獲得二等獎又獲得一等獎，則獎金可以累加為500元.假設選手是否通過每一關相互獨立，現有甲、乙兩位選手參加本次活動.
（1）求甲最后沒有得獎的概率；
（2）已知甲和乙都通過了第一關，求甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）甲沒中獎分為第一關沒有通過，和第一關通過且第二關沒有通過兩種情況，分別求得兩個事件的概率再求和即可；
（2）根據最后獎金總和分析得甲和乙中一人獲得一等獎，一人獲得二等獎，根據概率乘法和加法公式即可求解．
【小問1詳解】
甲第一關沒通過的概率為，
第一關通過且第二關沒通過的概率為，
故甲沒有得獎的概率．
小問2詳解】
記甲和乙通過了第二關且最后獲得二等獎為事件，
通過了第二關且最后獲得一等獎為事件，
則，，
甲和乙最后所得獎金總和為700元，
甲和乙一人得一等獎，一人得二等獎，
若甲得了一等獎，乙得了二等獎的概率為，
若乙得了一等獎，甲得了二等獎的概率為，
甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率．
19. 已知為銳角三角形，且．
（1）若，求；
（2）已知點在邊上，且，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換可得，再利用三角函數的性質結合條件即得；
（2）利用正弦定理結合條件可得，然后根據條件及三角函數的性質即可求得其范圍.
【小問1詳解】
因為，
所以，即，
又，，
所以，
所以，即，又，，
所以，即；
【小問2詳解】
因為，所以，又，
可得，

在中，，
所以，
在中，，
因為為銳角三角形，
所以，得，
所以，
所以，即的取值范圍為.
20. 已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，，側面是正三角形，側棱長，如圖所示．

（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的邊角關系，可得線線垂直，進而可得線面垂直，由線面垂直即可得面面垂直，
（2）根據面面垂直得性質可得線面垂直，即可由線面角的幾何法結合三角形的邊角關系即可求解.
【小問1詳解】
證明：取的中點F，連接、、，
在直角梯形中，，
所以
又，,
又是邊長為2的正三角形，所以，，
所以，則．
由題意知，，且，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
【小問2詳解】
過D作交于H，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，則為直線與平面所成角，
設點D到平面的距離為d，
由于,
則，
連接，在中，因，，
由余弦定理可得．
又為直角三角形，于，
設直線與平面所成角為，則，
又，所以．
.
21. 在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足．
（1）當時，求的值；
（2）當，且取得最大值時，求的面積．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）將角化邊，代入余弦定理中，再邊化角得出將代入即可求得；
（2）由（1）知，代入中化簡，即可得出取最大值時，，，由正弦定理求得即可求得面積.
【小問1詳解】
由，
根據正弦定理得：，
又由余弦定理得，，
∴，
∴．
【小問2詳解】
由（1）知，若，則，則，與題設矛盾．
所以，于是有
，
當且僅當時，有最大值，此時最大．
此時，，，，
由正弦定理得．
所以．
22. 如圖，在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，為直角三角形，其中D為直角頂點，．E、F，G、H分別是線段、、、上的動點，且四邊形為平行四邊形．

（1）當二面角從增加到的過程中，求線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積；
（2）設，，且是以為底的等腰三角形，當為何值時，多面體的體積恰好為．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）畫出為、時的投影，由此判斷出線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域，進而求得區(qū)域的面積．
（2）先求得三棱錐的面積為，通過分割的方法，得到，分別求得，與的關系式，再由列方程，解方程求得的值．
【小問1詳解】
∵，
∴A在平面上的投影滿足，即A在平面上的投影在線段的中垂線上．
如圖所示，將補成邊長為2的正三角形，

當二面角為時，即點A在平面上，此時A為M，
當二面角為時，此時為中點N，
故在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域為，
而，
故線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積為．
【小問2詳解】
∵，，且為等腰三角形，∴．
取中點O，連接，，，

由題意得：，，，
滿足，根據勾股定理可知，
又平面
∴平面．
∴，
而多面體的體積恰好為，
即多面體的體積恰為四面體體積的一半．
設點F到平面的距離為，點C到平面的距離為，
因為四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，
因為平面，平面平面，所以，則，
所以，則，
則
又，所以
∴，
∴．
設點A到平面的距離為，

∴，
∴．
∴，
∴，整理得，
解得：或．
又因為，所以.


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