?七校聯(lián)考2022-2023學(xué)年度高三年級(jí)總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一）
數(shù)學(xué)（一）
本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）、第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.試卷滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.
第Ⅰ卷（本卷共9題，共45分）
參考公式：球的表面積、體積公式：，，為球的半徑.
一、選擇題（本大題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 集合，，則（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義求出，再根據(jù)交集定義即可求出．
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以或，
所以，
故選：A．
2. 若，則“”是“”的（ ）.
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】舉出反例，證明出充分性和必要性均不成立.
【詳解】不妨設(shè)，滿足，但不滿足，充分性不成立，
若，滿足，但不滿足，故必要性不成立，
所以是的既不充分也不必要條件.
故選：D
3. 設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值特征進(jìn)行鑒別即可解決.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?br />
則為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)AC；
又，則排除選項(xiàng)D.
故選：B
4. 某滑冰館統(tǒng)計(jì)了某小區(qū)居民在該滑冰館一個(gè)月的鍛煉天數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說法正確的是（ ）

A. 該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最少
B. 估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)超過15天的概率為0.465
C. 估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的中位數(shù)為16
D. 估計(jì)小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的平均值為15
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直方圖寫出對(duì)應(yīng)該滑冰館的鍛煉天數(shù)區(qū)間的頻率，再結(jié)合各選項(xiàng)的描述及中位數(shù)、平均數(shù)的求法判斷正誤．
【詳解】由圖知：、、、、、頻率分別為、、、、、，
對(duì)于A：內(nèi)的天數(shù)最少，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：估計(jì)鍛煉天數(shù)超過15天的概率為，故B正確；
對(duì)于C：由、、頻率和為，設(shè)中位數(shù)為x，
則，可得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：平均天數(shù)為天，故D錯(cuò)誤；
故選：B．
5. 已知，，，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比較大小
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，
而單調(diào)遞增，故，
，
所以.
故選：D
6. 已知，且，則（ ）.
A. 3 B. 6 C. 12 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】先由指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，利用換底公式得到，從而得到，計(jì)算出.
【詳解】由得：，
由換底公式可得：，
則，所以，
因?yàn)?，所?br /> 故選：B
7. 攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，某園林建筑為四角攢尖，它主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若這個(gè)正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，則該正四棱錐的體積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)，即可求得、的長(zhǎng)，根據(jù)椎體體積公式，即可得答案.
【詳解】如圖所示，正四棱錐棱長(zhǎng)均2，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO
根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，可得平面ABCD.

所以，，
所以正四棱錐的體積.
故選：C
8. 已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，拋物線的準(zhǔn)線與交于M，N兩點(diǎn)，且為正三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出拋物線準(zhǔn)線方程，進(jìn)而得到，由等邊三角形得到邊長(zhǎng)之間的比例關(guān)系，得到齊次式，化為，求出離心率.
【詳解】的準(zhǔn)線方程為，經(jīng)過點(diǎn)，
中，令得，解得，
故，
因?yàn)闉檎切?，所以?br /> 即，聯(lián)立，解得，
方程兩邊同時(shí)除以得，解得或（舍去），
故雙曲線的離心率為.
故選：A
9. 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，有下面四個(gè)說法：（ ）
①函數(shù)的最小正周期可能為
②的取值范圍是；
③當(dāng)取最大值時(shí)，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；
④當(dāng)取最大值，是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心．
以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A. l B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知可得的取值范圍，然后根據(jù)的范圍逐一分析即可得解．
【詳解】由得，
因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒有最值，
所以，所以，所以，
所以或，
所以或，所以②錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
所以，故①正確；
所以，可知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故③正確；
又因?yàn)?，故④錯(cuò)誤，
所以正確的是①③，
故答案為：B．
第Ⅱ卷（本卷共11題，共105分）
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分）
10. 若復(fù)數(shù)z滿足（是虛數(shù)單位），則=________.
【答案】
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)得到，利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式求出答案.
【詳解】，
故.
故答案為：
11. 已知的展開式中的系數(shù)是，則__________．
【答案】2
【解析】
【分析】先由通項(xiàng)化簡(jiǎn)整理第k+1項(xiàng)，令x的指數(shù)等于3可得k，然后可解.
【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以，所以，解得．
故答案為：2
12. 已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長(zhǎng)_________．
【答案】
【解析】
【分析】將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得，接著計(jì)算到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】由題可知：
，即
且
由兩圓向外切可知，解得
所以
到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為
則直線被圓所截的弦長(zhǎng)為
故答案為：
13. 為了組建一支志愿者隊(duì)伍，欲從3名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)，則在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】令事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，由條件概率公式得出第一空，由X的可能取值以及對(duì)應(yīng)概率得出期望.
【詳解】設(shè)事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”
，則，
即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.
X可取，
，
則
故答案為：；
14. 在△ABC中，，，，，則___________，若動(dòng)點(diǎn)F在線段AC上，則的最小值為___________.
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】第一空：用分別表示出，再由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可求出；
第二空：設(shè)，用分別表示出，由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律表示出，結(jié)合二次函數(shù)求出最小值.
【詳解】
第一空：，則，則，又，，故，解得；
第二空：設(shè)，，，則
，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：；.
15. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性作出函數(shù)的圖像，利用換元法判斷函數(shù)的根的個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論．
【詳解】關(guān)于的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，
則當(dāng)，方程有個(gè)根，
當(dāng)，方程有個(gè)根，
當(dāng)或，方程有2個(gè)根，
當(dāng)，方程有4個(gè)根，
當(dāng)，方程有0個(gè)根；
則必有兩個(gè)根、，有兩種情況符合題意：
①，且，
此時(shí)，
則；
②，，
此時(shí)，
綜上可得的范圍是，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題處理思路：①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)；②分別作出內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或范圍；③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到復(fù)合函數(shù)在不同范圍下的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c（），已知，
（1）求；
（2）求a，c值；
（3）求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理的邊化角公式結(jié)合三角恒等變換得出；
（2）由三角形面積公式得出，再由余弦定理得出，進(jìn)而得出a，c的值；
（3）計(jì)算，再由差角公式求解即可.
【小問1詳解】
，，

又，.
【小問2詳解】
，又，
，①

，即②
又，由①②可得，
【小問3詳解】
，
，
.
17. 如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，，，．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值；
（3）線段上是否存在點(diǎn)G，使得平面？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）證明．然后證明平面．
（2）在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面的法向量，平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．
（3）求出平面法向量通過，說明平面與平面不可能垂直．
【小問1詳解】
∵，且，
∴ 四邊形為平行四邊形，
∴．
∵平面，平面，
∴平面．
【小問2詳解】
在平面內(nèi)，過作．
∵ 平面平面，平面平面，
又平面，，
∴平面，
∴，，．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系：

由題意得，
∴
設(shè)平面的法向量為，則
令，則，，∴．
平面的一個(gè)法向量為，
則．
∴ 平面與平面的夾角的余弦值．
【小問3詳解】
線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：
設(shè)平面的法向量為，則
令，則，，
∴．
∵，
∴平面與平面不可能垂直，
從而線段上不存在點(diǎn)，使得平面．
18. 已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且滿足，，.
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）求；
（3）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意的，都有.
【答案】（1），
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到結(jié)果；
（2）可轉(zhuǎn)化為等差乘等比類型，利用錯(cuò)位相減法可解；
（3）數(shù)列的前項(xiàng)和可利用裂項(xiàng)相消，然后用放縮可證.
小問1詳解】
設(shè)的公差為，的公比為，則，.
由題意知，，
所以，解之得，，
當(dāng)時(shí)，，則，，即與矛盾，故舍去；
當(dāng)時(shí)，，則，，
所以,，滿足題意；
所以，.
【小問2詳解】
設(shè)，
，
設(shè)，
則，，
兩式相減得，
所以，即.
【小問3詳解】
證明：，
，
，
因?yàn)?，易知隨著的增大而增大，
所以，，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
求數(shù)列前項(xiàng)和常見的方法：
公式法：適用于等差數(shù)列、等比數(shù)列以及其他特殊數(shù)列.
分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.
倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.
錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.
裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：
；
；
；
；
.
通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。
19. 已知橢圓，若橢圓的短軸長(zhǎng)為且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn).
（1）求橢圓方程；
（2）求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；
（3）若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）
（2）面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為或；
（3）存在，，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由短軸長(zhǎng)求出，將代入橢圓方程求出，得到答案；
（2）直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)共線，舍去，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出的面積為，利用基本不等式求出最值，并得到此時(shí)直線的方程；
（3）由角相等得到，轉(zhuǎn)化為，在第二問的基礎(chǔ)上，代入化簡(jiǎn)得到答案.
【小問1詳解】
由題意得，解得，
將代入橢圓方程，得到，故，
故橢圓方程為；
【小問2詳解】
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)共線，不合要求，舍去；
當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立，得，
設(shè)，則，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為或；
【小問3詳解】
在x軸上存在點(diǎn)使得恒成立，理由如下：
因?yàn)?，所以，即?br /> 整理得，即，
所以，
則，解得，
故在x軸上存在點(diǎn)，使得恒成立.
【點(diǎn)睛】處理定點(diǎn)問題的思路：
（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），
（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，
（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，
①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；
②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).
20. 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，令.
①證明：當(dāng)時(shí)，；
②若數(shù)列滿足，，證明：.
【答案】（1）答案見解析；
（2）①證明見解析；②證明見解析.
【解析】
【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再討論的符號(hào)即可計(jì)算作答.
(2)①等價(jià)變形所證不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性即可；
②由已知證明，由①分析探討，等價(jià)轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)，利用遞推變換即可作答.
【小問1詳解】
函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，，
令，，恒成立，則在上單調(diào)遞減，
，因此，成立，
所以當(dāng)時(shí)，.
②由①可知，當(dāng)時(shí)，，由得，即，由，可得，
而，又，即，則，
由于，只需證，
又當(dāng)時(shí)，，
令，，恒成立，則在上單調(diào)遞增，，
則當(dāng)時(shí)，恒有，而，即成立，不等式成立，
因此成立，即成立，
所以原不等式得證.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式造價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.



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天津市環(huán)城七校聯(lián)考2022屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)第二次質(zhì)量調(diào)查試卷及答案

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