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22. 本小題分
已知雙曲線的左、右焦點分別為、，直線過右焦點且與雙曲線交于、兩點．
若雙曲線的離心率為，虛軸長為，求雙曲線的焦點坐標；
設，，若的斜率存在，且，求的斜率；
設的斜率為，，求雙曲線的方程．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：在中，，
所以““是““的充要條件．
故選：．
根據(jù)已知條件，結合充分條件、必要條件的定義，即可求解．
本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎題．
2.【答案】 【解析】【分析】
由誘導公式化簡后即可求值．
本題主要考察了誘導公式的應用，屬于基礎題．
【解答】
解：．
故選：． 3.【答案】 【解析】解：，
，
，
．
故選：．
根據(jù)向量的運算的幾何表示結合條件即得．
本題主要考查平面向量的基本定理，屬于基礎題．
4.【答案】 【解析】解：由題意可知，，，為等比數(shù)列，
則，
，
，解得，
．
故選：．
根據(jù)已知條件，結合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題．
5.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，命題：“，”是特稱命題，
其否定是，，
故選：．
根據(jù)題意，由全稱命題和特稱命題的關系，分析可得答案．
本題考查命題的否定，注意命題的否定方法，屬于基礎題．
6.【答案】 【解析】解：如圖，
連接 交于，設與平面所成角為，
，與平面所成角為，
由已知可得，，為的中點，則，
由長方體的結構特征可得，又，
平面，則平面平面，則在平面上的射影在上，
，即，
，，
．
即與平面所成角的正弦值為．
故選：．
由題意畫出圖形，把問題轉(zhuǎn)化為與平面所成角，再求解三角形得答案．
本題考查空間中直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題．
7.【答案】 【解析】解：因為直線：，：，，
所以，解得．
故選：．
根據(jù)直線垂直的性質(zhì)，建立關于的方程求出的值．
本題考查了直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎題．
8.【答案】 【解析】解：個吉祥物中，來自北京舉辦的運動會的有個，
故所求概率為 ．
故選：．
根據(jù)已知條件，結合古典概型的概率計算公式，即可求解．
本題主要考查古典概型的概率計算公式，屬于基礎題．
9.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，本程序框圖為求的和
循環(huán)體為“直到型“循環(huán)結構
第次循環(huán)：
第次循環(huán)：
第次循環(huán)：
第次循環(huán)：
規(guī)律為第次循環(huán)時，
第次循環(huán)：，
此時，不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出．
故選C．
首先分析程序框圖，循環(huán)體為“直到型“循環(huán)結構，按照循環(huán)結構進行運算，求出滿足題意時的．
本題為程序框圖題，考查對循環(huán)結構的理解和認識，按照循環(huán)結構運算后得出結果．屬于基礎題．
10.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用不等式的解法求出集合，是解決本題的關鍵，屬于基礎題．
求出不等式對應的解集，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．
【解答】
解：，
或，
“”是“”的充分非必要條件，則，
，
故選：． 11.【答案】 【解析】解：由題意知點到原點距離為，
由于點是曲線：上任意一點，可得，
當且僅當時取等號，即曲線上的點，到原點距離最小，最小值為；
又因為，，，所以，，
當且僅當時取等號，
故，即，當且僅當時取等號，
即點到原點距離的最大值為，
故選：．
由題設明確點到原點距離為，結合曲線方程：，利用基本不等式可得的最小值和最大值，即可得答案．
本題考查了基本不等式的應用，屬于中檔題．
12.【答案】 【解析】解：分別取，的中點，，
，平面，平面，
平面，同理可得平面，
，，平面，
點的軌跡為線段，
正方體的棱長為，，，
當與點或重合時，，
當為線段的中點時，，
線段長度最大值為，最小值為．
故選：．
分別取，的中點，，根據(jù)面面平的判定定理可得平面平面，故點的軌跡為線段，當與點或重合時，線段最長，當為線段的中點時，線段長度最小，求解即可．
本題考查線段長的最值問題，屬中檔題．
13.【答案】 【解析】解：因為，且，
由基本不等式可得，
當且僅當且，即時等號成立，
即，
所以．
故答案為：．
由已知結合基本不等式及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解．
本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題．
14.【答案】 【解析】解：對于雙曲線，其漸近線方程為，
對于圓，有，
圓心為，半徑，
漸近線被圓截得的弦長為，所以圓心到漸近線的距離為，
由點到直線距離公式得：，，，
，．
故答案為：．
根據(jù)條件，將弦長轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離，算出與的關系即可．
本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查圓的方程的運用，考查離心率的求法，是中檔題．
15.【答案】 【解析】解：由已知可知雙曲線的焦點為，
設拋物線方程為，則，
所以，
所以拋物線方程為．
故答案為：．
設拋物線方程為，求出雙曲線的焦點，即拋物線的焦點，從而可得出答案．
本題主要考查拋物線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎題．
16.【答案】 【解析】解：設，，代入雙曲線可得：，兩式相減可得：，而由題意可得，，，
所以直線的斜率，所以直線的方程為：，即，代入雙曲線的方程可得：，
因為直線與雙曲線由兩個交點，所以，且，
即，解得：，
所以實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
設，的坐標代入雙曲線的方程，由點差法求出直線的斜率，進而由中點坐標球心直線的方程，與雙曲線聯(lián)立，再由直線與雙曲線由兩個交點可得判別式大于零，及雙曲線的方程中的范圍，求出的取值范圍．
考查雙曲線的性質(zhì)，及點差法求中點弦所在的直線方程，屬于中檔題．
17.【答案】解：，
由正弦定理角化邊得，即，
由余弦定理得，
又，；
由得，
，則，當且僅當時等號成立，
面積，
故面積的最大值為． 【解析】利用正弦定理化角為邊和余弦定理，可得，即可得出答案；
由得，利用基本不等式得，利用三角形的面積公式，即可得出答案．
本題考查正弦定理和余弦定理的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
18.【答案】解：設的公差為，的公比為，，，
聯(lián)立，整理可得，解得，
所以，．
解：由知，
則，，
，，
，得．
所以． 【解析】直接利用題中的已知條件，建立方程組，進一步求出數(shù)列的通項公式；
由的通項公式，進一步利用乘公比錯位相減法求出數(shù)列的和．
本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列的求和，乘公比錯位相減法的求和，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題和易錯題．
19.【答案】解：因為：，為真命題，
當時，恒成立，符合題意；
當時，，解得，
綜上所述，；
若：，為真，
當時，，，
設，則在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即，
因為為真命題，且為假命題，
所以真假或假真，
當真假時，有，解得；
當假真時，有，解得；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為． 【解析】分和兩種情況討論即可；
由題先求出為真時的取值范圍，然后分真假或假真兩種情況，分別解出即可．
本題主要考查命題的真假判斷與應用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題．
20.【答案】解：由題意，，
所以成績落在上的頻率為，在頻率分布直方圖中高為，補齊如圖：
由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)知及格率為：，
平均分：；
成績是分組有人，成績在分組有人，
按分層抽樣組抽人記為，，，，，，組抽人記為，，，，，
從這人中抽人有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種選法，
兩人來自同一組有有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種選法，
所以兩人來自同一組的概率為． 【解析】利用頻率和為計算得到答案，在頻率分布直方圖中高為頻率除以組距，補齊即可；
直接根據(jù)頻率分布直方圖數(shù)據(jù)計算求解，把每一組的組中值乘以面積相加即可得到平均分；
按分層抽樣確定兩個分數(shù)段人數(shù)，列出所有情況，統(tǒng)計滿足條件的的種數(shù)，計算得到答案．
本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題．
21.【答案】解：證明：因為是長方體，
所以側(cè)面，而平面，所以，
在中，，，，
所以，所以，
又，，平面，
因此平面；
如圖，以點為坐標原點，以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
，，，
設是平面的一個法向量，
則，所以，取，則，
所以，
設是平面的法向量，
則，所以，取，則，
所以，
所以，
因為二面角大于，
所以二面角的大小． 【解析】本題考查線面垂直的判定，以及利用空間向量研究二面角的大小，考查空間想象能力，屬于中檔題．
根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判斷定理，即可證明平面；
建立空間直角坐標系，求出坐標，寫出向量，求得平面的法向量，求得法向量的夾角，即可求得二面角的大?。?/span>
22.【答案】解：由題意可得：，，
解得，，，
雙曲線的焦點坐標為；
，，雙曲線的方程為，．
設直線的方程為，，，
把代入雙曲線的方程可得：，
則，，
，
，
，
，
，
化為：，解得．
由，
可得，，．
直線的方程為，，，
把直線的方程代入雙曲線方程可得：，
，，，
，，，
化為，
，
化為，，
，，
，，
，
解得，，
雙曲線的方程為． 【解析】由題意可得：，，解得，，，即可得出雙曲線的焦點坐標；
，，可得雙曲線的方程為，設直線的方程為，，，把代入雙曲線的方程可得關于的一元二次方程，由，可得，利用根與系數(shù)的關系即可得出結論．
由，可得，，直線的方程為，，，把直線的方程代入雙曲線方程可得：，利用根與系數(shù)的關系即可得出．
本題考查了雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、方程的解法、向量數(shù)量積性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
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