2022學年第二學期期末調研測試卷高二數(shù)學本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.2.作答選擇題時，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上.不按以上要求作答的答案無效.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式化簡集合，再由交集運算求解即可.【詳解】由，故，∴，故選：B.2. 已知復數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則復數(shù)的共軛復數(shù)（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法得到復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)即可求得結果.【詳解】∵，∴，∴復數(shù)的共軛復數(shù)為.故選：D．3. 設，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質化簡可得，結合對數(shù)函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】由對數(shù)的運算性質，可得：，，，因為，則，所以.故選：A．4. 國家于2021年8月20日表決通過了關于修改人口與計劃生育法的決定，修改后的人口計生法規(guī)定，國家提倡適齡婚育?優(yōu)生優(yōu)育，一對夫妻可以生育三個子女，該政策被稱為三孩政策.某個家庭積極響應該政策，一共生育了三個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩.則下列說法正確的是（    ）A. 事件與事件互斥但不對立 B. 事件與事件互斥且對立C. 事件與事件相互獨立 D. 事件與事件相互獨立【答案】D【解析】【分析】利用互斥事件、對立事件的意義可判斷選項A，B；利用獨立事件的定義可判斷C,D【詳解】有三個小孩的家庭的樣本空間可記為：={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，對于A，,且，所以事件B與事件C互斥且對立，故A不正確；對于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件與事件不互斥，故B不正確；對于C，事件有4個樣本點，事件有4個樣本點，事件有0個樣本點，，顯然有，即事件與事件不相互獨立，故C不正確；對于D，事件有6個樣本點，事件有4個樣本點，事件有3個樣本點，，顯然有，即事件與事件相互獨立，故D正確；故選：D5. 已知函數(shù)對任意都有，則當取到最大值時，函數(shù)圖象的一條對稱軸是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)，得到，結合，得到的范圍，求出的范圍，進而得到的最大值，再利用整體法求出函數(shù)的對稱軸，得到答案.【詳解】，,，，，，所以的最大值為，當時，令，解得，當時，對稱軸為，故A正確；若，則，故B錯誤；若，則，故C錯誤；若，則，故D錯誤；故選：A.6. 已知單位向量，滿足，則在上的投影向量是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先將兩邊平方得到向量的數(shù)量積，再根據(jù)在方向上的投影向量公式得出結果.【詳解】由已知得， 因為，所以，即.所以在方向上投影向量為.故選：D．7. 7個人站成一排準備照一張合影，其中甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開，則不同的排法有（    ）A. 400種 B. 720種 C. 960種 D. 1200種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結合捆綁法分別計算甲、乙要求相鄰的排法和甲、乙要求相鄰且丙、丁也相鄰的排法，再相減即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可知甲、乙要求相鄰的排法有種，而甲、乙要求相鄰且丙、丁也相鄰的排法有種，故甲、乙要求相鄰，丙、丁分開的排法有種.故選：C.8. 已知函數(shù)的定義域為，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性可求得函數(shù)是以4為周期函數(shù)，再利用賦值法求函數(shù)值，即可判斷.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，所以，即，即，即，故函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，由，令，得，知，則，故C正確；其它選項，根據(jù)題目中的條件無法確定函數(shù)值的結果，故ABD不一定成立.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9. 2023年6月18日，很多商場都在搞“618”促銷活動.市物價局派人對5個商場某商品同一天的銷售量及其價格進行調查，得到該商品的售價元和銷售量件之間的一組數(shù)據(jù)（如表所示），用最小二乘法求得關于的經驗回歸直線是，相關系數(shù)，則下列說法正確的有（    ）90951001051101110865 A. 變量與負相關且相關性較強 B. C. 當時，的估計值為14.5 D. 相應于點的殘差為0.4【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)相關性、相關系數(shù)判斷A，利用樣本中心點判斷B，將代入回歸直線方程判斷C，求得時的估計值，進而求得對應的殘差，從而判斷D.【詳解】對A，由回歸直線可得變量，線性負相關，且由相關系數(shù)可知相關性強，故A正確；對B，由題可得，，故回歸直線恒過點，故，即，故B正確；對C，當時，，故C錯誤；對D，相應于點的殘差，故D正確.故選：ABD.10. 已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，則（    ）A. 的最小正周期為πB. 在區(qū)間上單調遞增C. 的圖象關于直線對稱D. 的圖象關于點對稱【答案】AD【解析】【分析】用二倍角公式化簡，向右平移后得，分別代入正弦函數(shù)的單調區(qū)間，對稱軸，對稱中心分別對四個選項判斷即可.【詳解】因為，向右平移個單位得，則最小正周期為，故A選項正確；令，解得，所以單調遞增區(qū)間為，故B選項錯誤；令解得，故C選項錯誤；令解得所以函數(shù)的對稱中心為，故D選項正確.故選：AD11. 已知，，且，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】用特值法判斷A；推出范圍，結合指數(shù)函數(shù)的單調性判斷B；利用基本不等式判斷C；利用對數(shù)的運算性質結合基本不等式判斷D.【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，，，且，則，所以，則，故B正確；對于C，，僅當取等號，又，則，故C正確；對于D，，僅當取等號，故D錯誤.故選：BC.12. 已知函數(shù)，，，函數(shù)圖象在點處的切線與在點處的切線互相垂直，且分別與軸交于、兩點，則（    ）A. 為定值 B. 為定值C. 直線的斜率取值范圍是 D. 的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】結合導數(shù)的幾何意義可得，即可判斷AB；結合基本不等式可判斷C；結合直線方程及兩點間距離公式可得，化簡可判斷D.【詳解】當時，，導數(shù)為，可得在點處的斜率為，切線AM的方程為，令，可得，即，當時，，導數(shù)，可得在點處的斜率為，令，可得，即，由的圖象在A，B處的切線相互垂直，可得，即為，故A正確，B錯誤；直線的斜率，因為，所以上面不等式中的等號不成立 ，故C正確；，，故D正確.故答案為：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知的展開式中含有常數(shù)項，則的一個可能取值是______．【答案】4、8、12、16（任選一個為答案）【解析】【分析】根據(jù)二項式定理展開上述式子，找到滿足題意的關于的取值規(guī)律，即可求出答案.【詳解】根據(jù)二項式定理展開可得，因為展開式中含有常數(shù)項，所以，由此可得當為4的倍數(shù)時，即可滿足題意，又因，故可取4、8、12、16.故答案為：4、8、12、16（任選一個為答案）14. 設隨機變量服從正態(tài)分布，的分布密度曲線如圖所示，若，則______，______.  【答案】    ①.     ②. ##【解析】【分析】由密度曲線可知，，根據(jù)正態(tài)分布的性質計算可得.【詳解】由的分布密度曲線關于對稱，可知，，又，所以，.故答案為：；15. 湖州地區(qū)甲、乙、丙三所學科基地學校的數(shù)學強基小組人數(shù)之比為，三所學校共有數(shù)學強基學生48人，在一次統(tǒng)一考試中，所有學生的成績平均分為117，方差為21.5．已知甲、乙兩所學校的數(shù)學強基小組學生的平均分分別為118和114，方差分別為15和21，則丙學校的學生成績的方差是______.【答案】12【解析】【分析】根據(jù)按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數(shù)與方差的計算公式求解.【詳解】甲、乙、丙三所學科基地學校的數(shù)學強基小組人數(shù)之比為，三所學校共有數(shù)學強基學生48人，則甲校的數(shù)學強基小組人數(shù)24；乙校的數(shù)學強基小組人數(shù)為16；丙校的數(shù)學強基小組人數(shù)8，把甲校的數(shù)學強基小組學生的平均分記為，方差記為；把乙校的數(shù)學強基小組學生的平均分記為，方差記為；把丙校的數(shù)學強基小組學生的平均分記為，方差記為；把所有學生的平均分記為，方差記為．根據(jù)按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關系，可得，即，解得，因此，，即，解得.故答案為：12.16. 在四面體中，，，且，，異面直線，所成角為，則該四面體外接球的表面積是______.【答案】或【解析】【分析】由題意將四面體補成一個直三棱柱，由此可求出外接球的半徑，求得答案.【詳解】如圖：過B作且，連接，過A作且，連接，因為，所以，又，面 ，所以面，所以可以將四面體補成一個如圖所示的直三棱柱，所以四面體與直三棱柱有共同的外接球，且球心位于底面外心沿方向的處，即，（設四面體的外接球半徑為R， 的外接圓半徑為r，）.  因為異面直線，所成角為，所以或，當時， ，當時， ，則，則 ，所以該四面體外接球的半徑或，則外接球的表面積為.或，故答案為：或【點睛】幾何體外接球球心的求法：（1）將幾何體置入長方體或直棱柱中找球心；（2）利用幾何法找到幾何體各個頂點距離相等的點即為球心；（3）設球心坐標，根據(jù)到各頂點的距離相等解方程組得到球心坐標.四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 設袋子中裝有大小相同的6個紅球和4個白球，現(xiàn)從袋中任取4個小球（每球取出的機會均等）.（1）求取出的4個小球中紅球個數(shù)比白球個數(shù)多的概率；（2）若取出一個紅球記2分，取出一個白球記1分，記表示取出的4個球的總得分，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）    （2）分布列見解析，數(shù)學期望【解析】【分析】（1）取出的4個小球中紅球個數(shù)比白球個數(shù)多的事件分為：3個紅球1白球、4個紅球，結合古典概型公式求解；（2）由題意所有可能的取值為：，求出對應概率，得隨機變量的分布列，利用數(shù)學期望公式計算期望.【小問1詳解】取出的4個小球中紅球個數(shù)比白球個數(shù)多的事件分為：3個紅球1白球、4個紅球，則.【小問2詳解】由題意所有可能的取值為：，，所以隨機變量的分布列為45678隨機變量的數(shù)學期望為18. 已知函數(shù)（且）.（1）求函數(shù)的奇偶性；（2）若關于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）奇函數(shù)    （2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義可得出結論；（2）由可得出，求出函數(shù)在上的值域，可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：對于函數(shù)，有，則，解得，所以函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為奇函數(shù).【小問2詳解】解：由可得，則，令，其中，因為函數(shù)、在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，，因此，實數(shù)的取值范圍是.19. 第19屆亞運會將于2023年9月23日在杭州開幕，本次亞運會共設40個大項，61個分項，482個小項．為調查學生對亞運會項目的了解情況，某大學進行了一次抽樣調查，若被調查的男女生人數(shù)均為，統(tǒng)計得到以下列聯(lián)表，經過計算可得. 男生女生合計了解  不了解  合計  （1）求的值，并判斷有多大的把握認為該校學生對亞運會項目的了解情況與性別有關；（2）①為弄清學生不了解亞運會項目的原因，采用分層抽樣的方法從抽取的不了解亞運會項目的學生中隨機抽取9人，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，“至少抽到一名女生”的概率；②將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學生中隨機抽取10人，記其中對亞運會項目了解的人數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學期望.附表：0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：.【答案】（1），有的把握認為該校學生對亞運會項目的了解情況與性別有關    （2）①；②【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，根據(jù)的計算可得出關于的等式，即可解得正整數(shù)的值，結合臨界值表可得出結論；（2）①分析可知，抽取的這9人中男生的人數(shù)為4，女生的人數(shù)為5，利用組合數(shù)結合古典概型和對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；②分析可知，利用二項分布的期望公式可求得的值.【小問1詳解】被調查的男女生人數(shù)均為，其中男生中了解的有，則不了解的有，其中女生中不了解的有，則了解的有，列聯(lián)表如下表所示： 男生女生合計了解不了解合計，又，可得，因為，所以有的把握認為該校學生對亞運會項目的了解情況與性別有關；【小問2詳解】①采用分層抽樣的方法從抽取的不了解亞運會項目的學生中隨機抽取9人，所以這9人中男生的人數(shù)為4，女生的人數(shù)為5，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，“至少抽到一名女生”的概率為；②由題意可知，故.20. 記的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）設的中點為，若，且，求的的面積．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)由可得，由正弦定理及輔助公式得,即可求得答案；(2) 在中，由余弦定理得，；在中，由余弦定理得，，從而得，再由，可得，，由三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】解：由已知得，，由正弦定理可得，，因為，所以,代入上式，整理得，又因為，，所以，即,又因為，所以，所以，解得；【小問2詳解】在中，由余弦定理得，．而，，所以，①在中，由余弦定理得，，②由①②兩式消去a，得，所以，又，解得，．所以的面積．21. 如圖，圓臺的上底面的半徑為1，下底面的半徑為，是圓臺下底面的一條直徑，是圓臺上底面的一條半徑，為圓上一點，點，在平面的同側，且，.  （1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為，求平面與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）取AC的中點M，先證明平面PAC，再利用即可得到證明；（2）建立空間直角坐標系，由體積得到圓臺的高，再求出兩個平面的法向量，利用坐標法計算即可.【小問1詳解】證明：如圖取中點，連接，  由題意，，，又為的中位線，故，又為直徑，所以，則. 由和，得，又，所以四邊形是平行四邊形，故，又平面，故，所以，又，又，所以平面，由，得平面.【小問2詳解】由三棱錐的體積為得，，以為原點，，，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，  則，，，，.得，，，.設平面的法向量，由，令得：，.得，設平面的法向量，由令得：，.得，則.所以平面與平面所成角的正弦值為.22. 已知函數(shù)，，.（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設函數(shù)的最小值為，求函數(shù)的最小值.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）在單調遞減，在單調遞增    （2）0【解析】【分析】（1）當時，，求導，利用導數(shù)與單調性的關系求解；（2）由題意得，，可求得，在上存在唯一零點，且，結合條件得，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的性質求得的最小值．小問1詳解】當時，，由題意得，所以，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故，則．故當時，，當時，，因此所求函數(shù)在單調遞減，在單調遞增．【小問2詳解】由題意得，，則，令，則，所以在上為增函數(shù)，又，所以在上存在唯一零點，且，，即．當時，，當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，因此，因為，所以，所以．由得，顯然在單調遞增．因為，所以，所以在上存在唯一零點，且，當時，，當時，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以的最小值為，因為，所以，所以，又，所以，又函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，因為，所以，即在上的最小值為0．【點睛】方法點睛：含參數(shù)的函數(shù)的最值，一般先討論函數(shù)的單調性，再根據(jù)單調性求出最值．含參數(shù)的函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動極值點定區(qū)間，二是定極值點動區(qū)間，這兩類問題一般根據(jù)區(qū)間與極值點的位置關系來分類討論．
 

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