浙江省湖州市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試試題（Word版附解析）

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2021學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間里面點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.2. 已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，，則（    ）A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則由已知條件列方程組可求出【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），由題意得，且，即，，因?yàn)?/span>，所以，，故選：D3. 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，則正數(shù)的值是（    ）A. 3 B. 4 C. 9 D. 21【答案】A【解析】分析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因?yàn)?/span>，所以.故選：A4. 已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（    ）.A. 1 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】向量的垂直用坐標(biāo)表示為，代入即可求出答案.【詳解】，，因?yàn)?/span>與互相垂直，所以，所以，所以.故選：D.5. 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則數(shù)列（    ）A. 是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B. 是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C. 是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列 D. 既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列【答案】B【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系求出通項(xiàng)，然后可知答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的通項(xiàng)公式為，數(shù)列等差數(shù)列同理，由等比數(shù)列定義可判斷數(shù)列不是等比數(shù)列.故選：B6. 已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點(diǎn)有兩個(gè).故選：B.7. 在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)和的長(zhǎng)度都為最短時(shí)，的值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件確定點(diǎn)M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點(diǎn)M在平面內(nèi)，又，即，于得點(diǎn)N在直線上，棱長(zhǎng)為1的正四面體中，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)N是點(diǎn)D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點(diǎn)，，而，，所以.故選：A8. 已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，延長(zhǎng)交另一條漸近線于點(diǎn)A.已知為原點(diǎn)，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出圖象，結(jié)合漸近線方程得到，，進(jìn)而得到，結(jié)合漸近線的斜率及角度關(guān)系，列出方程，求出，從而求出.【詳解】漸近線為，如圖，過(guò)點(diǎn)F作FB垂直于點(diǎn)B，交于點(diǎn)A，則到漸近線距離為，則，又，由勾股定理得：，則，又，，所以，解得：，所以.故選：C二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 已知直線，其中，下列說(shuō)法正確的是（    ）A. 若直線與直線平行，則B. 當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直C. 直線過(guò)定點(diǎn)D. 當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線方程的相關(guān)性質(zhì)即可逐項(xiàng)求解.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若直線與直線平行，則或1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線為，斜率為1，而直線斜率為－1，∴兩條直線垂直，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，恒成立時(shí)，令y＝0，得x＝1，即直線過(guò)定點(diǎn)(1，0)，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線為，令，令，所以橫截距和縱截距互為相反數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10. 已知圓的半徑為定長(zhǎng)，A是圓所在平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和直線相交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列判斷正確的是（    ）A. 點(diǎn)的軌跡可能是橢圓 B. 點(diǎn)的軌跡可能是雙曲線的一支C. 點(diǎn)的軌跡可能是拋物線 D. 點(diǎn)的軌跡可能是一個(gè)定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)A的位置分類討論其軌跡.【詳解】①當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)時(shí)，且不為圓心連接，由已知得.∴.又∵點(diǎn)在圓內(nèi)，∴，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以O，A為焦點(diǎn)，r為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，故A正確；②當(dāng)點(diǎn)A在圓上時(shí)，點(diǎn)與圓心重合，軌跡為定點(diǎn)，故D正確；③點(diǎn)在圓外時(shí)，連接QA，由已知得.∴|，又∵A在圓外，∴|，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以O，A為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的一支(靠近O)，故B正確；④當(dāng)點(diǎn)與圓心重合時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓；故選：ABD.11. 如圖，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱彼此的夾角都是60°，且棱長(zhǎng)均為1，則下列選項(xiàng)中正確的是（    ）A. B. C. 直線與直線所成角的正該值是D. 直線與平面所成角的正弦值是【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理，將所求轉(zhuǎn)化為基底進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】記，則因?yàn)?/span>，所以，故A正確；因?yàn)?/span>，故B正確；因?yàn)?/span>，，，  所以，所以，故C不正確；易知，又，所以為平面的法向量，記直線與平面所成角為，則，故D不正確.故選：AB12. 設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則下列選項(xiàng)中正確的是（    ）A.  B. 和均為的最大值C. 存在正整數(shù)，使得 D. 存在正整數(shù)，使得【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)數(shù)列公差為d，根據(jù)已知條件和判斷公差正負(fù)，求出和d關(guān)系，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，由得，化簡(jiǎn)得；∵，∴，即，∴，∴，，∴d＜0，故數(shù)列為減數(shù)列，故A正確；，，，故為的最大值，故B錯(cuò)誤；，故，故C正確；時(shí)，，即，又由得，∴，解得，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則___________.【答案】或##或【解析】【分析】根據(jù)向量平行時(shí)坐標(biāo)的關(guān)系和向量的模公式即可求解.【詳解】，且，設(shè)，，解得，或.故答案為：或.14. 若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是___________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線的距離即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程為，所以準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離.故答案為：15. 已知數(shù)列中，，且數(shù)列為等差數(shù)列，則_____________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意得: 考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)16. 已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，的最小值是2，則的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】以，方向?yàn)?/span>軸，垂直于，方向?yàn)?/span>軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由二次函數(shù)求最值即可求得最小值.【詳解】以，方向?yàn)?/span>軸，垂直于，方向?yàn)?/span>軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，由可設(shè)，由是單位空間向量可得，由可設(shè)，，當(dāng)，的最小值是2，所以 ，取，，，當(dāng)時(shí)，最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)等比數(shù)列，且，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用分組求和的方法結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，且，依題意有，由，又，解得，∴，即， ；（2）∵，∴前項(xiàng)和.∴前項(xiàng)和，.18. 如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個(gè)點(diǎn)?，并修建兩段直線型道路?.規(guī)劃要求，線段?上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的距離均不小于圓的半徑.已知點(diǎn)到直線的距離分別為和（為垂足），測(cè)得，，（單位：百米）.（1）若道路與橋垂直，求道路的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，點(diǎn)能否選在處？并說(shuō)明理由.【答案】（1）15（百米）    （2）點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得圓及直線的方程，進(jìn)而得解.（2）不妨點(diǎn)選在處，求方程并求其與圓的交點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)不符合條件，得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】如圖，過(guò)作，垂足為.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)?/span>為圓的直徑，，所以圓的方程為.因?yàn)?/span>，，所以，故直線的方程為，則點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為3，從而，，直線的斜率為.因?yàn)?/span>，所以直線的斜率為，直線的方程為.令，得，，所以.因此道路的長(zhǎng)為15（百米）.【小問(wèn)2詳解】若點(diǎn)選在處，連結(jié)，可求出點(diǎn)，又，所以線段.由解得或，故不妨取，得到在線段上的點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以線段上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于圓的半徑5.因此點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求.19. 已知拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn).請(qǐng)判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）    （2）是定值，定值為【解析】【分析】(1)由拋物線的準(zhǔn)線求標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與拋物線相交求定值，解聯(lián)立方程消未知數(shù)，利用韋達(dá)定理，求線段長(zhǎng)，再求它們的倒數(shù)的平方和.【小問(wèn)1詳解】由題意，可得，即，故拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】為定值，且定值是.下面給出證明.證明：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線有，消去得，則，又，.得因此為定值，且定值是.20. 如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且滿足．（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；    （2）.【解析】【分析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的平面角.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，所以面.因?yàn)?/span>面,所以.因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，且滿足．所以，所以.因?yàn)?/span>，所以，即,所以.因?yàn)?/span>,面,面,所以平面.【小問(wèn)2詳解】∵面，∴直線與底面所成角為，即.因?yàn)?/span>，所以由（1）知，，因?yàn)?/span>，所以，.如圖示，以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,所以，設(shè)，由得，，即.則.設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為，則，不妨令，則.因?yàn)?/span>面，所以面的一個(gè)法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.21. 某企業(yè)為響應(yīng)“安全生產(chǎn)”號(hào)召，將全部生產(chǎn)設(shè)備按設(shè)備安全系數(shù)分為A，兩個(gè)等級(jí)，其中等設(shè)備安全系數(shù)低于A等設(shè)備.企業(yè)定時(shí)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修，并將部分等設(shè)備更新成A等設(shè)備.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年底該企業(yè)A等設(shè)備量已占全體設(shè)備總量的30%.從2021年開(kāi)始，企業(yè)決定加大更新力度，預(yù)計(jì)今后每年將16%的等設(shè)備更新成A等設(shè)備，與此同時(shí)，4%的A等設(shè)備由于設(shè)備老化將降級(jí)成等設(shè)備.（1）在這種更新制度下，在將來(lái)的某一年該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例能否超過(guò)80%？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）至少在哪一年底，該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例超過(guò)60%.（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）A等設(shè)備量不可能超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的80%，理由見(jiàn)解析；    （2）在2025年底實(shí)現(xiàn)A等設(shè)備量超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意表示出2020年開(kāi)始，經(jīng)過(guò)年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，求出，根據(jù)的范圍進(jìn)行判斷；(2)令＞即可求解.【小問(wèn)1詳解】記該企業(yè)全部生產(chǎn)設(shè)備總量為“1”，2020年開(kāi)始，經(jīng)過(guò)年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，則經(jīng)過(guò)1年即2021年底該企業(yè)A等設(shè)備量，，可得，又所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，可得，所以，顯然有，所以A等設(shè)備量不可能超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的80%.【小問(wèn)2詳解】由，得.因單調(diào)遞減，又，，所以在2025年底實(shí)現(xiàn)A等設(shè)備量超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.22. 已知橢圓的離心率是，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最大值.【答案】（1）；    （2）2.【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l和x軸垂直時(shí)，根據(jù)已知條件求出此時(shí)△AOB面積；直線l和x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為點(diǎn)斜式y＝kx＋t，代入橢圓方程得二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)得k和t的關(guān)系，表示出△AOB的面積，結(jié)合基本不等式即可求解三角形面積最值.【小問(wèn)1詳解】由題知，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)軸時(shí)，位于軸上，且，由可得，此時(shí)；當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓交于，，由，得.得，，從而已知，可得.∵.設(shè)到直線的距離為，則，結(jié)合化簡(jiǎn)得此時(shí)的面積最大，最大值為2.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，綜上，的面積的最大值為2.