3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
(1)f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，且(f(x0))′＝0.(2)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)．周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．(4)曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點．(5)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡峭”．(6)在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中要分清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量的求導(dǎo)，不能混淆．
1．下列函數(shù)中滿足f(x)＝f′(x)的是(　 )A．f(x)＝3＋x B．f(x)＝－xC．f(x)＝ln x D．f(x)＝0解析：若f(x)＝0，則f′(x)＝0，從而有f(x)＝f′(x)．故選D.答案：D　
答案：D5．曲線y＝(ax＋1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為－2，則a＝________.解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴當(dāng)x＝0時，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－3
2．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)＝(　 )A．－e B．－1 C．1 D．e
解：(1)y′＝(cs x)′－(sin x)′＝－sin x－cs x.(2)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.
[一“點”就過](1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)運算、三角恒等式等對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，盡量避免不必要的商的求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯．(2)①若函數(shù)為根式形式，可先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)．②復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可進行換元．
基礎(chǔ)點(二)　求曲線在某點處的切線方程　[題點全訓(xùn)]1．曲線y＝ex－1＋x2在x＝1處的切線方程為(　 )A．y＝2x＋1 B．y＝2xC．y＝3x－1 D．y＝3x解析：對函數(shù)y＝ex－1＋x2求導(dǎo)得y′＝ex－1＋2x，故當(dāng)x＝1時，斜率k＝e1－1＋2＝3，又切線過點(1,2)，故切線方程為y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.答案：C　
[一“點”就過]正確選用求定積分的4個常用方法
層級二/ 重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)　求曲線過某點的切線方程　[典例]　若經(jīng)過點P(2,8)作曲線y＝x3的切線，則切線方程為(　 )A．12x－y－16＝0B．3x－y＋2＝0C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0
過點的切線方程的求解方法設(shè)切點為P(x0，y0)，則斜率k＝f′(x0)，過切點的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，又因為切線方程過點A(m，n)，所以n－y0＝f′(x0)(m－x0)，然后解出x0的值．(x0有幾個值，就有幾條切線)[提醒]　在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．　　
重難點(二)　求切點坐標(biāo)或參數(shù)　[典例]　(1)已知曲線y＝2ex－1在x0處的切線方程為2ex－y＋m＝0，則(　 )A．m＝－1 B．m＝－1－eC．m＝1 D．m＝e(2)函數(shù)f(x)＝ln x＋ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]　(1)因為y＝2ex－1，所以y′＝2ex，所以曲線y＝2ex－1在x0處的切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2ex0，又因為切線方程為2ex－y＋m＝0，即y＝2ex＋m，得k＝2e，
所以2ex0＝2e，解得x0＝1，所以當(dāng)x＝x0＝1時，y＝2ex0－1＝2e－1，即切點為(1,2e－1)，將其代入切線方程得2e×1－(2e－1)＋m＝0，得m＝－1.
求切點、參數(shù)問題的方法通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)，注意以下幾點：切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；切點在切線上；切點在曲線上．　　
2．曲線y＝sin x＋2x＋1在點P處的切線方程是3x－y＋1＝0，則切點P的坐標(biāo)是________．解析：由函數(shù)y＝sin x＋2x＋1，則y′＝cs x＋2，設(shè)切點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝cs x0＋2＝3，所以cs x0＝1，解得x0＝2kπ(k∈Z)，當(dāng)k＝0時，切點為(0,1)，此時切線方程為3x－y＋1＝0；當(dāng)k≠0，切點為(2kπ，4kπ＋1)(k∈Z)，不滿足題意．綜上可得，切點為(0,1)．答案：(0,1)
重難點(三)　公切線問題　[典例]　已知函數(shù)f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)與y＝g(x)在公共點處的切線相同，則m＝(　 )A．－3　　　B．1 C．2　　　D．5
確定兩曲線的公切線問題，切點是切線的核心，解決這類問題的關(guān)鍵是設(shè)出切點的坐標(biāo)，用好相切的特征，即若兩個函數(shù)的圖象有相同的切線，則需根據(jù)函數(shù)與切線在切點處的函數(shù)值相等以及兩函數(shù)在切點處的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值也相等，構(gòu)建方程(組)加以求解．　　
層級三/ 細微點——優(yōu)化完善(掃盲點)1.(忽略f′(x)的意義)如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(　 )解析：由y＝f′(x)的圖象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，說明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，故可排除A、C.又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.答案：D　
3．(不理解瞬時變化率的意義)已知曲線f(x)＝2x2＋1在點M(x0，f(x0))處的瞬時變化率為－8，則點M的坐標(biāo)為________．解析：∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，則x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴點M的坐標(biāo)是(－2,9)．答案：(－2,9)
4．(借助數(shù)學(xué)文化)我國魏晉時期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實施“以直代曲”的近似計算，用正n邊形進行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設(shè)f(x)＝ex2，則f′(x)＝________，其在點(0,1)處的切線方程為________．解析：∵f(x)＝ex2，故f′(x)＝(x2)′e x2＝2xex2，則f′(0)＝0.故曲線y＝f(x)在點(0,1)處的切線方程為y＝1.答案：2xex2　y＝1
6．(強化開放思維)請寫出與曲線f(x)＝x3＋1在點(0,1)處具有相同切線的一個函數(shù)(非常數(shù)函數(shù))的解析式為g(x)＝____________.解析：f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，曲線f(x)＝x3＋1在點(0,1)處的切線方程為y＝1，所有在點(0,1)處的切線方程為y＝1的函數(shù)都是正確答案．答案：x2＋1或－x2＋1或cs x等(答案不唯一)
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