?第2節(jié)　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
考試要求　1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過(guò)三次)；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并會(huì)解決與之有關(guān)的方程(不等式)問(wèn)題.


1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：
(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
(2)若f′(x)0(或0時(shí)，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；
當(dāng)f′(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)>0.(　　)
(2)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性.(　　)
(3)函數(shù)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減與函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a，b)是不同的.(　　)
(4)函數(shù)f(x)＝x－sin x在R上是增函數(shù).(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
解析　(1)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則有f′(x)≥0.
2.(易錯(cuò)題)函數(shù)f(x)＝x2－2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)
A.(0，1] B.[0，＋∞)
C.(－∞，－1] D.[－1，0)∪(0，1]
答案　A
解析　由題意知f′(x)＝2x－＝(x>0)，
由f′(x)≤0，得00，設(shè)F(x)＝f(x)－2x－4，則F′(x)＝f′(x)－2，因?yàn)閒′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上遞增，而F(－1)＝
f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等價(jià)于F(x)>F(－1)，所以x>－1，故選B.
5.(易錯(cuò)題)若函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax＋4的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，4]，則實(shí)數(shù)a的值為________.
答案　－4
解析　f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集為[－1，4]，
∴－1，4是方程f′(x)＝0的兩根，
則a＝(－1)×4＝－4.
6.(2021·青島檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝sin 2x＋4cos x－ax在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
答案　[3，＋∞)
解析　f′(x)＝2cos 2x－4sin x－a
＝2(1－2sin2x)－4sin x－a
＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.
由題設(shè)，f′(x)≤0在R上恒成立.
因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，則a≥3.

考點(diǎn)一　不含參函數(shù)的單調(diào)性
1.函數(shù)f(x)＝x＋＋2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)
A.(－3，1) B.(0，1)
C.(－1，3) D.(0，3)
答案　B
解析　法一　函數(shù)的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝1－＋，令f′(x)＝1－＋f(1)>f
D.f>f>f(1)
(2)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xc B.c>b>a
C.a>c>b D.c>a>b
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)因?yàn)閒(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f＝f.又當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，所以ff，故選A.
(2)設(shè)g(x)＝xf(x)，
則g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
又當(dāng)x

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