2023年福建省莆田市城廂區(qū)重點(diǎn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  的相反數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  一個幾何體如圖水平放置，它的主視圖是(    )A.
B.
C.
D. 3.  廣東省市場監(jiān)督管理出臺了一系列政策促進(jìn)廣東餐飲行業(yè)的發(fā)展，據(jù)統(tǒng)計，年第一季度廣東省餐飲主體營收達(dá)億元，將“億”用科學(xué)記數(shù)法表示是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列計算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )A.  B.  C.  D. 6.  若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的值有可能是(    )A.  B.  C.  D. 7.  在一個不透明的袋中裝有個只有顏色不同的球，其中紅球個、黃球個和白球個，從袋中任意摸出一個球，是紅球的概率為(    )A.  B.  C.  D. 8.  如圖，在直徑為的中，點(diǎn)，在圓上，，若，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 9.  圖是一地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，雙翼展開時示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，，則雙翼邊緣端點(diǎn)與之間的距離為(    )

 A.  B.
C.  D. 10.  七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的清陸以活冷廬雜識卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之如圖，是一個用七巧板拼成的裝飾圖，放入長方形內(nèi)，裝飾圖中的三角形頂點(diǎn)，分別在邊，上，三角形的邊在邊上，則的值為(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  計算：______．12.  如圖，在中，，、、分別是、、的中點(diǎn)，若，則______．

 13.  不等式組的正整數(shù)解是______ ．14.  已知圓錐的底面半徑是，母線長為，側(cè)面積為______結(jié)果保留15.  已知，是方程的兩個根，則代數(shù)式的值等于______ ．16.  已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是          ．三、計算題（本大題共1小題，共8.0分）17.  解分式方程：．四、解答題（本大題共8小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.  本小題分
如圖，，，．
求證：．
19.  本小題分
先化簡，再求值，其中．20.  本小題分
如圖，中，，，．
用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線；保留作圖痕跡，不要求寫作法
若中所作的垂直平分線交于點(diǎn)，求的長．

 21.  本小題分
為了扎實(shí)推進(jìn)精準(zhǔn)扶貧工作，某地區(qū)出臺了民生兜底、醫(yī)保脫貧、教育救助、產(chǎn)業(yè)扶持、養(yǎng)老托管和易地搬遷這六種幫扶措施，每戶貧困戶都享受了到種幫扶措施，現(xiàn)把享受了種、種、種和種幫扶措施的貧困戶分別稱為，，，類貧困戶，為檢查幫扶措施是否落實(shí)，隨機(jī)抽取了若干貧困戶進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)將收集的數(shù)據(jù)繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請根據(jù)圖中信息回答下面的問題：
本次抽樣調(diào)查了______ 戶貧困戶；
抽查了多少戶類貧困戶？并補(bǔ)全統(tǒng)計圖；
若該地共有戶貧困戶，請估計至少得到項(xiàng)幫扶措施的大約有多少戶？22.  本小題分
端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗市場上豆沙粽的進(jìn)價比豬肉粽的進(jìn)價每盒便宜元，某商家用元購進(jìn)的豬肉粽和用元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價元時，每天可售出盒；每盒售價提高元時，每天少售出盒．
求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價；
設(shè)豬肉粽每盒售價元，表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤單位：元，求關(guān)于的函數(shù)解析式并求最大利潤．23.  本小題分
如圖，以的邊為直徑的恰為的外接圓，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)
求證：是的切線；
若，，求的長．
24.  本小題分
如圖，點(diǎn)在正方形邊上，以為對線作正方形，連接，點(diǎn)是線段中點(diǎn)，連，，．
試判斷線段線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
將正方形；繞點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)度，連接，，如圖．
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，，，求的長；
求證：．

 25.  本小題分
如圖，已知拋物線是常數(shù)的頂點(diǎn)為，直線：．
求證：點(diǎn)在直線上；
若，直線與拋物線的另一個交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，恰好是線段的中點(diǎn)，求的值；
如圖，當(dāng)時，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，、在拋物線上，滿足，判斷是否恒過一定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，說明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反數(shù)是．
故選：．
只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案．
本題考查相反數(shù)，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．
 2.【答案】 【解析】解：由題意知，該幾何體的主視圖為，
故選：．
根據(jù)簡單組合體的三視圖得出結(jié)論即可．
本題主要考查簡單組合體的三視圖，熟練掌握簡單組合體的三視圖的知識是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：億．
故選：．
用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：、與不屬于同類項(xiàng)，不能合并，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：．
利用合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方與積的乘方的法則對各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查合并同類項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 5.【答案】 【解析】解：點(diǎn)，
點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，
故選：．
兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反．由此可求點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題考查關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
，
解得：，
故選：．
根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解．
本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：從袋中任意摸出一個球，共有種等可能結(jié)果，其中是紅球的有種結(jié)果，
從袋中任意摸出一個球，是紅球的概率為．
故選：．
從袋中任意摸出一個球，共有種等可能結(jié)果，其中是紅球的有種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．
本題主要考查概率公式，掌握隨機(jī)事件的概率事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)是關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
，
是的直徑，
，
，
，
故選：．
根據(jù)等邊對等角求得的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理先求得的度數(shù)，繼而求得的度數(shù)．
本題考查圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件求得的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：如圖，作直線，交雙翼閘機(jī)于點(diǎn)、，則，，

由題意可得，，
在直角三角形中，
，
．
故選：．
作輔助線如圖，由題意可得，，解直角三角形求出，然后根據(jù)即可得出答案．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握銳角三角函數(shù)的知識是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：設(shè)七巧板正方形的邊長為，
，
，
，
，
，
故選：．
設(shè)七巧板正方形的邊長為，根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)分別表示出，的長，即可求解．
本題考查了矩形的性質(zhì)，七巧板，勾股定理，正方形的性質(zhì)，表示出，的長是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：

故答案為
注意題目的特征，有零指數(shù)冪，有負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，則有，
此題主要考查整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，熟記整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：如圖，在中，，是中線，
．
又、分別是、的中點(diǎn)，
是的中位線，
．
，
，
．
故答案是：．
由直角三角形斜邊上的中線求得斜邊的長度，然后根據(jù)三角形中位線定理求得．
考查了三角形中位線定理和直角三角形斜邊上的中線，解題時，利用三角形中位線定理和直角三角形斜邊上的中線得到是解題的突破點(diǎn)．
 13.【答案】，， 【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式組的解集為：，
正整數(shù)解為：，，．
故答案為：，，．
首先解不等式組，注意移項(xiàng)時要變號，不等式兩邊同時除以同一個負(fù)數(shù)時，要改變不等號的方向，求出不等式組的解集后，再寫出范圍內(nèi)的正整數(shù)．
此題主要考查了不等式組的解法并求出其整數(shù)解，解題過程中關(guān)鍵是要注意符號問題．
 14.【答案】 【解析】解：底面圓的半徑為，則底面周長，
側(cè)面面積
故答案為：．
根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式計算即可．
本題考查了圓錐計算，正確記憶圓錐的側(cè)面積底面周長母線長是解題關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：，是方程的兩個根，
，，




．
故答案為：．
將代入方程中可得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，原式可變形為，最后整體代入即可求解．
本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟知根與系數(shù)的關(guān)系：，是一元二次方程的兩根時，，．
 16.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式的關(guān)系，把方程的兩根轉(zhuǎn)化為拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
把關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，，轉(zhuǎn)化為拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，畫出大致圖象，由于時，，即；時，，即；時，，即，然后解不等式得到實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】
解：把關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，，轉(zhuǎn)化為拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，
拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，
拋物線開口向上，即，圖象大致如圖，

時，，即，解得；
時，，即，解得；
時，，即，解得；
實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為．  17.【答案】解：去分母，得
解方程，得
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解．
所以，原分式方程的解為． 【解析】按解分式方程的步驟求解即可，注意檢驗(yàn)．
本題考查了分式方程的解法．掌握解分式方程的一般步驟是解決本題的關(guān)鍵．
 18.【答案】證明：在和中，
，
≌，
，
，
． 【解析】由，，，根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明≌，得，根據(jù)等式的性質(zhì)得，所以．
此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等式的性質(zhì)等知識，正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明≌是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：原式

，
當(dāng)時，
原式． 【解析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將的值代入計算即可．
本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
 20.【答案】解：如圖直線即為所求．


垂直平分線段，
，設(shè)，
在中，，
，
解得，
． 【解析】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確做出圖形是解題的關(guān)鍵．
分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，，作直線即可．
設(shè)，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
 21.【答案】 【解析】解：本次抽樣調(diào)查貧困戶為：戶，
答：本次抽樣調(diào)查了戶貧困戶；
類：戶，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如圖所示．

類所占的百分比為：，戶，
答：估計類和類貧固戶大約有戶．
從兩個統(tǒng)計圖可知，“類”有戶，占調(diào)查人數(shù)的，可求出調(diào)查戶數(shù)；
總?cè)藬?shù)乘以類貧困戶所占的百分比即可求出類貧困戶的人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
求出得到項(xiàng)、項(xiàng)幫扶措施的貧困戶所占的百分比即可估計總體中得到答案．
本題考查條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，理解兩個統(tǒng)計圖中數(shù)量之間的關(guān)系是正確計算的前提，掌握頻率是解決問題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價元，則豆沙粽每盒進(jìn)價元，
則，
解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，
豬肉每盒進(jìn)價元，豆沙粽每盒進(jìn)價元，
答：豬肉每盒進(jìn)價元，豆沙粽每盒進(jìn)價元；
由題意得，當(dāng)時，每天可售出盒，
當(dāng)豬肉粽每盒售價元時，每天可售盒，
，
配方，得：，
時，隨的增大而增大，
當(dāng)時，取最大值，最大值為：元．
答：關(guān)于的函數(shù)解析式為，且最大利潤為元． 【解析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出每天銷售豬肉粽的利潤與豬肉粽每盒售價元的函數(shù)關(guān)系式．
設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價元，則豆沙粽每盒進(jìn)價元，根據(jù)商家用元購進(jìn)的豬肉粽和用元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同列出方程，解方程即可；
由題意得，當(dāng)時，，每天可售出盒，當(dāng)豬肉粽每盒售價元時，每天可售盒，列出每天銷售豬肉粽的利潤與豬肉粽每盒售價元的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及的取值范圍求利潤的最大值．
 23.【答案】證明：連接，
是的直徑，
，
平分，
，
，
，
，
是的切線；

解：在中，，，
，
，
過點(diǎn)作，垂足為，
則四邊形為正方形，
，
，
，
，
，即，
解得：，
． 【解析】直接利用圓周角定理以及結(jié)合切線的判定方法得出是的切線；
首先過點(diǎn)作，垂足為，則四邊形為正方形，得出，，即可求出答案．
此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，正確利用得出的長是解題關(guān)鍵．
 24.【答案】解：四邊形和四邊形是正方形，
，，
點(diǎn)在上，
，
是的中點(diǎn)，
，
，，
，，
，
，
，；
解：四邊形和四邊形是正方形，
，，，
，
≌，
，
設(shè)，則，
，
，
，舍去，
，
；
證明：如圖，

延長至，是，連接，延長，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
． 【解析】可推出在上，從而得出直角三角形，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；
可證得≌，從而，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，從而得出，求得的值，進(jìn)一步得出結(jié)果；
延長至，是，連接，延長，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，可證得≌，從而，，進(jìn)而證得，進(jìn)而得出≌，從而得出，，進(jìn)而得出，從而．
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．
 25.【答案】解：，
，
將代入，得，
點(diǎn)在直線上；
當(dāng)時，，
，
聯(lián)立，
，
，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
恰好是線段的中點(diǎn)，
，
；
存在，理由如下：
當(dāng)時，，
令，則，
，
設(shè)，，
設(shè)直線的解析式為，
聯(lián)立，
，
，，
過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
，
，，
，
∽，
，
，，，，
，
，
，
當(dāng)時，，
直線經(jīng)過定點(diǎn)． 【解析】求出，判斷點(diǎn)在直線上即可；
聯(lián)立，則，由韋達(dá)定理可得，可知點(diǎn)橫坐標(biāo)為，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即可求；
設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立，得到，由韋達(dá)定理可得，，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，可證明∽，則，即，可求與的關(guān)系為：，則直線的解析式為，當(dāng)時，，由此可知直線經(jīng)過定點(diǎn)．
本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會求函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，靈活應(yīng)用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．
 

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