備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第四章 §4.4 簡(jiǎn)單的三角恒等變換

這是一份備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第四章 §4.4 簡(jiǎn)單的三角恒等變換，共16頁(yè)。試卷主要包含了二倍角的正弦、余弦、正切公式，常用的部分三角公式，化簡(jiǎn)eq \r的結(jié)果是，化簡(jiǎn)并求值，f滿足等內(nèi)容，歡迎下載使用。

知識(shí)梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2．常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝2sin2eq \f(α,2),1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2).(升冪公式)
(2)1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))2.(升冪公式)
(3)sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).(降冪公式)
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式實(shí)質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來(lái)的．( √ )
(2)存在實(shí)數(shù)α，使tan 2α＝2tan α.( √ )
(3)cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2).( √ )
(4)tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).( √ )
教材改編題
1．(2021·全國(guó)乙卷)cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 方法一 (公式法)因?yàn)閏s eq \f(5π,12)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(5π,12)))＝sin eq \f(π,12)，所以cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)))＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).
方法二 (代值法)因?yàn)閏s eq \f(π,12)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，cs eq \f(5π,12)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，所以cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),4)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)－\r(2),4)))2＝eq \f(\r(3),2).
2．若角α滿足sin α＋2cs α＝0，則tan 2α等于( )
A．－eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
答案 D
解析 由題意知，tan α＝－2，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(4,3).
3．化簡(jiǎn)eq \r(1＋cs 20°)的結(jié)果是( )
A.eq \r(2)cs 10° B．－eq \r(2)cs 10°
C.eq \r(2)sin 10° D．－eq \r(2)sin 10°
答案 A
解析 原式＝eq \r(1＋2cs210°－1)
＝eq \r(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs 10°))＝eq \r(2)cs 10°.
題型一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
例1 (1)(2021·全國(guó)甲卷)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，則tan α等于( )
A.eq \f(\r(15),15) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(15),3)
答案 A
解析 方法一 因?yàn)閠an 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)，
且tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，
所以eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)＝eq \f(cs α,2－sin α)，解得sin α＝eq \f(1,4).
因?yàn)棣痢蔱q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \f(\r(15),4)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\r(15),15).
方法二 因?yàn)閠an 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(\f(2sin α,cs α),1－\f(sin2α,cs2α))＝eq \f(2sin αcs α,cs2α－sin2α)＝eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)，且tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，所以eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)＝eq \f(cs α,2－sin α)，解得sin α＝eq \f(1,4).
因?yàn)棣痢蔱q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \f(\r(15),4)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\r(15),15).
(2)已知sin α＋cs α＝eq \f(2\r(3),3)，則sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ .
答案 eq \f(1,3)
解析 因?yàn)閟in α＋cs α＝eq \f(2\r(3),3)，
兩邊同時(shí)平方得sin2α＋2sin αcs α＋cs2α＝eq \f(4,3)，
即sin 2α＝eq \f(1,3)，
由降冪公式可知sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)sin 2α＝eq \f(1,3).
思維升華 (1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：
一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．
(2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點(diǎn)．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)若f(α)＝2tan α－eq \f(2sin2\f(α,2)－1,2sin \f(α,2)·cs \f(α,2))，則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))的值是 ．
答案 6－eq \r(3)
解析 依題意，f(α)＝2tan α－eq \f(－cs α,sin α)＝2tan α＋eq \f(1,tan α)，
而tan eq \f(π,12)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,4)))＝eq \f(tan \f(π,3)－tan \f(π,4),1＋tan \f(π,3)·tan \f(π,4))＝eq \f(\r(3)－1,1＋\r(3))＝2－eq \r(3)，
于是得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝2(2－eq \r(3))＋eq \f(1,2－\r(3))＝6－eq \r(3)，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))的值是6－eq \r(3).
(2)已知0