2023年北京市大興區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共8小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  如圖所示的圓柱，其俯視圖是(    )A.
B.
C.
D.
 2.  年月日，“天宮課堂”第三課在距離地球約米的中國空間站開講，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，，，四點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是(    )
A.  B.
C. 比大 D. 與互補4.  實數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是(    )
A.  B.  C.  D. 5.  一個不透明的口袋中有三個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為，，，隨機摸出一個小球然后放回，再隨機摸出一個小球，求兩次摸出小球的標(biāo)號相同的概率是(    )A.  B.  C.  D. 6.  若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，在正方形網(wǎng)格中，，，，，，，，，，是網(wǎng)格線交點，與關(guān)于某點成中心對稱，則其對稱中心是(    )A. 點
B. 點
C. 點
D. 點8.  下面的三個問題中都有兩個變量：
面積一定的等腰三角形，底邊上的高與底邊長；
將泳池中的水勻速放出，直至放完，泳池中的剩余水量與放水時間；
計劃從地到地鋪設(shè)一段鐵軌，每日鋪設(shè)長度與鋪設(shè)天數(shù)．
其中，變量與變量滿足反比例函數(shù)關(guān)系的是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共8小題，共16.0分）9.  若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是______ ．10.  分解因式：            ．11.  分式方程的解為______．12.  在平面直角坐標(biāo)系中，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，則的值為______ ．13.  九年級班同學(xué)分個小組參加植樹活動，此活動個小組的植樹棵數(shù)的數(shù)據(jù)如下：，，，，，單位：株若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是______ ．14.  如圖，，，，是上的四個點，，若，則 ______
 15.  如圖，在矩形中，是邊上一點，且，連接交對角線于點若，則的長為______ ．
 16.  某校需要更換部分體育器材，打算用元購買足球和籃球，并且把元全部花完已知每個足球元，每個籃球元，根據(jù)需要，購買的足球數(shù)要超過籃球數(shù)，并且足球數(shù)不超過籃球數(shù)的倍，寫出一種滿足條件的購買方案______ ．三、解答題（本大題共12小題，共68.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算：．18.  本小題分
解不等式組：．19.  本小題分
已知，求代數(shù)式的值．20.  本小題分
下面是用面積關(guān)系證明勾股定理的兩種拼接圖形的方法，請選擇其中一種，完成證明． 勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
已知：如圖，直角三角形的直角邊長分別為，，斜邊長為．
求證：．
 方法一
如圖，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為．
證明：
 方法二
如圖，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為．
證明：

  21.  本小題分
如圖，在菱形中，對角線、的交于點，延長到，使得連接過點作，交于點，連接．
求證：四邊形是矩形；
若，，求的長．
22.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．
求該函數(shù)的解析式；
當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．23.  本小題分
某校為了解九年級學(xué)生周末家務(wù)勞動時長的情況，隨機抽取了名學(xué)生，調(diào)查了這些學(xué)生某一周末家務(wù)勞動時長單位：分鐘的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)保留整數(shù)進行整理、描述和分析，下面給出部分信息：
學(xué)生家務(wù)勞動時長的數(shù)據(jù)在這一組的具體數(shù)據(jù)如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，
學(xué)生家務(wù)勞動時長的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如圖：

根據(jù)以上信息，回答下列問題：
補全頻數(shù)分布直方圖；
學(xué)生家務(wù)勞動時長的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為______ ；
若該校九年級有學(xué)生人，估計該校九年級學(xué)生家務(wù)勞動時長至少分鐘的有______ 人24.  本小題分
如圖，是的直徑，為圓上一點，連接，，過點作于點過點作的切線交的延長線于點，連接．
求證：是的切線；
過點作于點，若，，求的長．
25.  本小題分
羽毛球作為國際球類競技比賽的一種，發(fā)球后羽毛球的飛行路線可以看作是拋物線的一部分建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，羽毛球從發(fā)出到落地的過程中豎直高度單位：與水平距離單位：近似滿足函數(shù)關(guān)系式：．

某次發(fā)球時，羽毛球的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下： 水平距離豎直高度請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，解決問題：
直接寫出羽毛球飛行過程中豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系；
已知羽毛球場的球網(wǎng)高度為，當(dāng)發(fā)球點距離球網(wǎng)時羽毛球______ 填“能”或“不能”越過球網(wǎng)．26.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，點，，在拋物線上．
拋物線的對稱軸是直線用含的式子表示；
當(dāng)，求的值；
點在拋物線上，若，求取值范圍及的取值范圍．27.  本小題分
在中，，，點為射線上一動點不與，重合，連接，點為延長線上一點，且，作點關(guān)于射線的對稱點，連接，．
如圖，當(dāng)點在線段上時，
依題意補全圖形，求證：；
用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
如圖，當(dāng)點在線段的延長線上時，請直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．

 28.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，對于與，給出如下定義：若的一個頂點在上，除這個頂點外與存在且僅存在一個公共點，則稱為的“相關(guān)三角形”．
如圖，的半徑為，點，為的“相關(guān)三角形”．
在點，，這三個點中，點可以與______ 點重合；
如圖，的半徑為，點，點是軸上的一動點，且點的橫坐標(biāo)的取值范圍是，點在第一象限，若為直角三角形，且為的“相關(guān)三角形”求點的橫坐標(biāo)的取值范圍；
的半徑為，直線與在第一象限的交點為，點，若平面直角坐標(biāo)系中存在點點在軸下方，使得為等腰直角三角形，且為的“相關(guān)三角形”直接寫出的取值范圍．


答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，熟練掌握簡單幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．俯視圖為從上往下看物體的形狀，由此易得答案．
【解答】
解：根據(jù)題意可得，圓柱的俯視圖如圖，
．
故選：．  2.【答案】 【解析】解：．
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)整數(shù)．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：由圖可得，，那么A錯誤，故A不符合題意．
B.由圖可得，，那么B錯誤，故B不符合題意．
C.由圖可得，，，得與一樣大，那么C錯誤，故C不符合題意．
D.由圖可得，，，得，即兩個角互補，那么D正確，故D符合題意．
故選：．
根據(jù)量角器的使用、補角的定義解決此題．
本題主要考查量角器的使用、補角，熟練掌握量角器的使用、補角的定義是解決本題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)圖示，可得，，且，
，
選項A不符合題意；

，
選項B不符合題意；

，，
，
，
選項C不符合題意；

，，且，
，
，
選項D符合題意．
故選：．
根據(jù)圖示，可得，，且，據(jù)此逐項判斷即可．
此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，以及數(shù)軸的特征：一般來說，當(dāng)數(shù)軸正方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．
 5.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

共有種等可能結(jié)果，其中兩次摸出的小球標(biāo)號相同的有種，
兩次摸出的小球標(biāo)號相同的概率是；
故選：．
首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的小球標(biāo)號相同的情況，再利用概率公式即可求得答案．
本題考查樹狀圖法與列表法求概率，解題的關(guān)鍵是掌握概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 6.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得，
解得，
故選：．
根據(jù)判別式的意義得到，然后解關(guān)于的不等式即可．
本題考查了根的判別式，掌握一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：與關(guān)于某點成中心對稱，
對應(yīng)點和的連線與對應(yīng)點和的連線的交點是對稱中心．
故選：．
關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心，由此即可解決問題．
本題考查中心對稱，關(guān)鍵是掌握中心對稱的性質(zhì)．
 8.【答案】 【解析】解：由題意得，等腰三角形的面積一定，底邊上的高與底邊長是反比例函數(shù)，符合題意；
速度一定，泳池中的剩余水量與放水時間是正比例函數(shù)，不合題意；
從地到地的距離一定每日鋪設(shè)長度與鋪設(shè)天數(shù)是反比例函數(shù)，符合題意；
所以變量與變量滿足反比例函數(shù)關(guān)系的是．
故選：．
分別求出對應(yīng)的與的關(guān)系判斷即可．
本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，正確求出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：由題意可得，
，
，
故答案為：．
根據(jù)二次根式有意義的條件即可解得．
此題考查了二次根式的意義，解題的關(guān)鍵是列出不等式求解．
 10.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案為：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用乘法公式分解因式是解題關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
解得：，
檢驗：當(dāng)時，，
是原方程的根，
故答案為：．
按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．
本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，
，
解得，
即的值為，
故答案為：．
利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到，然后解關(guān)于的方程即可．
本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標(biāo)的積是定值，即是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，
，
則平均數(shù)為：．
故答案為：．
首先根據(jù)眾數(shù)為得出，然后根據(jù)平均數(shù)的概念求解．
本題考查了眾數(shù)和平均數(shù)的知識，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．
 14.【答案】 【解析】解：連接．

，
，
，
故答案為：．
連接，證明，可得結(jié)論．
本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理，屬于中考?？碱}型．
 15.【答案】 【解析】解：四邊形為矩形，
，．
∽，
．
，
，
，
，
．
，
．
故答案為：．
利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】購買個籃球，購買個足球或購買個籃球，購買個足球 【解析】解：設(shè)購買個籃球，則購買足球個足球，
依題意得：，
解得：，
又，均為正整數(shù)，
可以取，．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
有兩種購買方案：購買個籃球，購買個足球或購買個籃球，購買個足球．
故答案為：購買個籃球，購買個足球或購買個籃球，購買個足球．
設(shè)購買個籃球，則購買個足球，根據(jù)題意即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，則可得出答案．
本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．
此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
 18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式組的解集為：． 【解析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．
本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：，
，





． 【解析】由題意可得，再把所求的式子進行整理，代入相應(yīng)的值運算即可．
本題主要考查整式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
 20.【答案】證明：方法一，
由圖可得，
，
化簡，得：；
方法二，
由圖可得，
，
化簡，得：． 【解析】方法一，根據(jù)圖形可以得到，然后化簡即可得到結(jié)論成立；
方法二，根據(jù)圖形可以得到，然后化簡即可得到結(jié)論成立．
本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 21.【答案】證明：四邊形是菱形，
，，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
平行四邊形是矩形；
解：四邊形是菱形，
，，
由可知，四邊形是矩形，
，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
即的長為． 【解析】證四邊形是平行四邊形，再證，則，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；
由矩形的性質(zhì)得，，則，再證是等邊三角形，得，即可得出結(jié)論．
本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：將點，代入一次函數(shù)得：
，
解得：，
一次函數(shù)解析式：；

直線是過原點的一條直線，
當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，
即，
當(dāng)時，，
根據(jù)題意，可知當(dāng)時，，
解得：；
結(jié)合函數(shù)圖象，得到的取值范圍為：． 【解析】待定系數(shù)法求解析式；
當(dāng)時，求出的值，然后根據(jù)題意，得不等式，即可求出的取值范圍．
本題考查了一次函數(shù)解析式與圖象，熟練掌握待定系數(shù)法與函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】   【解析】解：學(xué)生家務(wù)勞動時長在的有人，
因此補全的頻數(shù)分布直方圖如下：

將這名學(xué)生家務(wù)勞動時長從小到大排列，處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為，因此中位數(shù)是，
故答案為：；
樣本中學(xué)生家務(wù)勞動時長至少分鐘的人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的，
所以該校九年級名學(xué)生中家務(wù)勞動時長至少分鐘的人數(shù)為：人，
故答案為：．
求出學(xué)生家務(wù)勞動時長在的人數(shù)即可補全頻數(shù)分布直方圖；
根據(jù)中位數(shù)的定義進行計算即可；
求出樣本中學(xué)生家務(wù)勞動時長至少分鐘的學(xué)生所占的百分比，進而根據(jù)總體中學(xué)生家務(wù)勞動時長至少分鐘的學(xué)生所占的百分比，再根據(jù)頻率進行計算即可．
本題考查頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，理解樣本估計總體，掌握頻率以及中位數(shù)的計算方法是正確解答的前提．
 24.【答案】證明：連接，如圖，
為的切線，為直徑，
，
，
，
，即垂直平分，
，
，
，
，
，
，
為的半徑，
是的切線；
解：為直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
為的中位線，
． 【解析】連接，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得，再根據(jù)垂徑定理證明垂直平分，則，接著證明，然后根據(jù)切線的判定方法得到結(jié)論；
根據(jù)圓周角定理，由為直徑得到，再證明，接著在中利用余弦的定義求出，然后證明為的中位線，從而得到的長．
本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了勾股定理、垂徑定理、圓周角定理和解直角三角形．
 25.【答案】能 【解析】解：根據(jù)表格可知，拋物線頂點坐標(biāo)為，
羽毛球飛行過程中豎直高度的最大值是，
把代入得：
，
解得，
；
把代入得：
，
，
羽毛球能越過球網(wǎng)，
故答案為：能．
根據(jù)表格羽毛球飛行過程中豎直高度的最大值是，用待定系數(shù)法可得；把代入求出值即可得到答案．
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．
 26.【答案】解：拋物線，
拋物線的對稱軸是直線；
點，，在拋物線上，且，
拋物線的對稱軸為直線，
；
點在拋物線上，
拋物線對稱軸為直線，
，
，即，
，即． 【解析】利用對稱軸公式即可求解；
根據(jù)拋物線的對稱性即可求解；
利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可．
本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 27.【答案】證明：如圖所示，
，
，
點與點關(guān)于射線對稱，
，，
，
≌，
，
；
解：；
證明：連接與射線交于，
點與點關(guān)于射線對稱，
，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
解：，
理由：點與點關(guān)于射線對稱，
，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
．
，
≌，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
． 【解析】如圖所示，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
連接與射線交于，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
連接與射線交于，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 28.【答案】 【解析】解：如圖，各點在圖中位置，

由于邊已與圓有個交點，且點、均不在圓上，故只有在圓上，且與與點除外只有一個交點，
由，，可知點在圓上，且與相切，可知與圓只有及兩個交點，滿足“相關(guān)三角形”條件，故點可與重合，
與有額外交點，不在圓上，均不滿足條件．
故答案為：．
為的“相關(guān)三角形”點在圓內(nèi)，點在圓外，與有一個交點，故點只能在圓上，且除點外與沒有其他交點．
為直角三角形，且點在第一象限，
當(dāng)時，點不在圓上；當(dāng)時，點不在第一象限，
故只有，又，
當(dāng)點在處，時，最小，但此時不合題意，的中點到點的距離為的一半，得到，
，在圓上，得到，解得，

當(dāng)與相切時，最大，因為繼續(xù)增大，則與會有個交點，此時點與原點重合，作于點，
則∽，
，
解得，
，

綜上所述，，
直線與在第一象限的交點為，直線與軸的交點為，
故最大時，在上，最大為，最小時，直線與相切，最小為，

頂點在上，當(dāng)與有兩個交點時，若點在圓上，與有個交點，不滿足“相關(guān)三角形”的條件；
若點在圓內(nèi)，則與無交點，與有一個交點，不滿足“相關(guān)三角形”的條件；
若點在圓外，則與有一個交點，與無交點，不滿足“相關(guān)三角形”的條件；
故AC與僅能有一個交點，

當(dāng)與相切時，，直線與軸的交點，
，，
恰有，，

當(dāng)時，與只有兩個交點，
當(dāng)點在圓內(nèi)，圓上，圓外時，與均只有兩個交點，滿足“相關(guān)三角形”的條件，

故．
利用相關(guān)三角形的定義逐個經(jīng)判斷即可；
由相關(guān)三角形有一個頂點在圓上，得到點在第一象限的圓上，再通過點的位置和點的位置，明確直角只有，先確定點，作，然后根據(jù)找到點符合條件的位置，得到對應(yīng)點符合條件的位置，分別計算即可．
通過點的位置及交點個數(shù)，明確與只能有一個交點，得到半徑最大值，再由與直線交點在第一象限，得到半徑最小值，畫圖確定無論點在圓上還是圓內(nèi)，圓外均存在滿足條件的等腰直角三角形，得到半徑的取值范圍．
本題為新定義類型的綜合題，需按照定義進行判斷，本題還涉及直角三角形，等腰直角三角形等知識，解題時還需注意分類討論．
 

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