?專題 06 分式方程-2023年中考數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）

一．選擇題（共20小題）
1．（2023?齊齊哈爾）如果關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B．且 C． D．且
2．（2023?宜賓）分式方程的解為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023?隨州）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同修一條道路，其中甲工程隊(duì)需要修9千米，乙工程隊(duì)需要修12千米．已知乙工程隊(duì)每個(gè)月比甲工程隊(duì)多修1千米，最終用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月．若設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修千米，則可列出方程為　　
A． B． C． D．
4．（2023?深圳）某運(yùn)輸公司運(yùn)輸一批貨物，已知大貨車比小貨車每輛多運(yùn)輸5噸貨物，且大貨車運(yùn)輸75噸貨物所用車輛數(shù)與小貨車運(yùn)輸50噸貨物所用車輛數(shù)相同，設(shè)有大貨車輛，則所列方程正確的是　　
A． B． C． D．
5．（2023?聊城）若關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是　　
A．且 B．且 C．且 D．且
6．（2023?株洲）將關(guān)于的分式方程去分母可得　　
A． B． C． D．
7．（2023?宜昌）某校學(xué)生去距離學(xué)校的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過(guò)了后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，汽車的速度是　　
A． B． C． D．
8．（2023?十堰）為了落實(shí)“雙減”政策，進(jìn)一步豐富文體活動(dòng)，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球．已知每個(gè)籃球的價(jià)格比每個(gè)足球的價(jià)格多20元，用1500元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用800元購(gòu)進(jìn)足球的數(shù)量多5個(gè)．如果設(shè)每個(gè)足球的價(jià)格為元，那么可列方程為　　
A． B．
C． D．
9．（2023?達(dá)州）某鎮(zhèn)的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛(ài)，也是饋贈(zèng)親友的尚佳禮品，首批“脆紅李”成熟后，當(dāng)?shù)啬畴娚逃?2000元購(gòu)進(jìn)這種“脆紅李”進(jìn)行銷售，面市后，線上訂單猛增供不應(yīng)求，該電商又用11000元購(gòu)進(jìn)第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價(jià)比第一批每件便宜了5元，但數(shù)量比第一批多購(gòu)進(jìn)了40件，求購(gòu)進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià)，設(shè)購(gòu)進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià)為元件，根據(jù)題意可列方程為　　
A． B．
C． D．
10．（2023?張家界）《四元玉鑒》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)著作．該著作記載了“買椽多少”問(wèn)題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無(wú)錢準(zhǔn)與一株椽”，大意是：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的總售價(jià)為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問(wèn)6210文能買多少株椽？設(shè)6210文購(gòu)買椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是　　
A． B．
C． D．
11．（2023?廣元）近年來(lái)，我市大力發(fā)展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線為全程10千米的普通道路，路線包含快速通道，全程7千米，走路線比路線平均速度提高，時(shí)間節(jié)省10分鐘，求走路線和路線的平均速度分別是多少？設(shè)走路線的平均速度為千米小時(shí)，依題意，可列方程為　　
A． B．
C． D．
12．（2023?內(nèi)江）用計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，某研究室安排兩名程序操作員各輸入一遍，比較兩人的輸入是否一致，本次操作需輸入2640個(gè)數(shù)據(jù)，已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時(shí)輸完．這兩名操作員每分鐘各能輸入多少個(gè)數(shù)據(jù)？設(shè)乙每分鐘能輸入個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)題意得方程正確的是　　
A． B．
C． D．
13．（2023?上海）在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于的整式方程為　　
A． B． C． D．
14．（2023?黑龍江）已知關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)．則的取值范圍是　　
A． B． C．且 D．且
15．（2023?大連）將方程去分母，兩邊同乘后的式子為　　
A． B． C． D．
16．（2023?綏化）某運(yùn)輸公司，運(yùn)送一批貨物，甲車每天運(yùn)送貨物總量的．在甲車運(yùn)送1天貨物后，公司增派乙車運(yùn)送貨物，兩車又共同運(yùn)送貨物天，運(yùn)完全部貨物．求乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需天，由題意列方程，正確的是　　
A． B．
C． D．
17．（2023?郴州）小王從地開車去地，兩地相距．原計(jì)劃平均速度為，實(shí)際平均速度提高了，結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)．由此可建立方程為　　
A． B．
C． D．
18．（2023?金昌）方程的解為　　
A． B． C． D．
19．（2023?云南）閱讀，正如一束陽(yáng)光．孩子們無(wú)論在哪兒，都可以感受到陽(yáng)光的照耀，都可以通過(guò)閱讀觸及更廣闊的世界．某區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學(xué)生推出“童心讀書會(huì)”的分享活動(dòng)．甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動(dòng)地點(diǎn)800米和400米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加分享活動(dòng)．甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn)．若設(shè)乙同學(xué)的速度是米分，則下列方程正確的是　　
A． B．
C． D．
20．（2023?廣安）為了降低成本，某出租車公司實(shí)施了“油改氣”措施．如圖，、分別表示燃油汽車和燃?xì)馄囁栀M(fèi)用（單位：元）與行駛路程（單位：千米）的關(guān)系，已知燃油汽車每千米所需的費(fèi)用比燃?xì)馄嚸壳姿璧馁M(fèi)用的3倍少0.1元，設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿璧馁M(fèi)用為元，則可列方程為　　

A． B． C． D．
二．填空題（共8小題）
21．（2023?蘇州）分式方程的解為　　．
22．（2023?永州）若關(guān)于的分式方程為常數(shù)）有增根，則增根是 　　．
23．（2023?紹興）方程的解是 　?。?br /> 24．（2023?邵陽(yáng)）分式方程的解是 　?。?br /> 25．關(guān)于的方程的解為非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是 　?。?br /> 26．（2023?巴中）關(guān)于的分式方程有增根，則　　．
27．（2023?重慶）若關(guān)于的一元一次不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是 　?。?br /> 28．（2023?重慶）若關(guān)于的不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為 　?。?br /> 三．解答題（共15小題）
29．（2023?山西）解方程：．
30．（2023?廣西）解分式方程：．
31．（2023?岳陽(yáng)）水碧萬(wàn)物生，岳陽(yáng)龍蝦好．小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽(yáng)鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是，今年龍蝦的總產(chǎn)量是，且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．
32．（2023?樂(lè)山）為了踐行習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)種植梨樹6000棵．開始種植時(shí)，由于志愿者的加入，實(shí)際每天種植梨樹的數(shù)量比原計(jì)劃增加了，結(jié)果提前2天完成任務(wù)．問(wèn)原計(jì)劃每天種植梨樹多少棵？
33．（2023?連云港）解方程．
34．（2023?廣東）某學(xué)校開展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校，甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到，求乙同學(xué)騎自行車的速度．
35．（2023?煙臺(tái)）中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文明的智慧結(jié)晶．《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我國(guó)古代較為普及的算書，許多問(wèn)題淺顯有趣．某書店的《孫子算經(jīng)》單價(jià)是《周髀算經(jīng)》單價(jià)的，用600元購(gòu)買《孫子算經(jīng)》比購(gòu)買《周髀算經(jīng)》多買5本．
（1）求兩種圖書的單價(jià)分別為多少元？
（2）為等備“3.14數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，某校計(jì)劃到該書店購(gòu)買這兩種圖書共80本，且購(gòu)買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購(gòu)買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按八折出售，求兩種圖書分別購(gòu)買多少本時(shí)費(fèi)用最少？
36．小丁和小迪分別解方程過(guò)程如下：

你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“”，并寫出你的解答過(guò)程．
37．（2023?涼山州）解方程：．
38．（2023?常德）“六一”兒童節(jié)將至，張老板計(jì)劃購(gòu)買型玩具和型玩具進(jìn)行銷售，若用1200元購(gòu)買型玩具的數(shù)量比用1500元購(gòu)買型玩具的數(shù)量多20個(gè)，且一個(gè)型玩具的進(jìn)價(jià)是一個(gè)型玩具進(jìn)價(jià)的1.5倍．
（1）求型玩具和型玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少？
（2）若型玩具的售價(jià)為12元個(gè)，型玩具的售價(jià)為20元個(gè)，張老板購(gòu)進(jìn)，型玩具共75個(gè)，要使總利潤(rùn)不低于300元，則型玩具最多購(gòu)進(jìn)多少個(gè)？
39．（2023?黑龍江）2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神州十六號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)演播大廳觀看現(xiàn)場(chǎng)直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購(gòu)進(jìn)，兩款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用500元購(gòu)進(jìn)款和用400元購(gòu)進(jìn)款的文化衫的數(shù)量相同．
（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元，不少于14750元購(gòu)買文化衫，求有幾種購(gòu)買方案？
（3）在實(shí)際購(gòu)買時(shí)，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，款七折優(yōu)惠，款每件讓利元，采購(gòu)人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購(gòu)買方案所需資金恰好相同，試求值．
40．（2023?荊州）荊州古城旁“荊街”某商鋪打算購(gòu)進(jìn)，兩種文創(chuàng)飾品對(duì)游客銷售．已知1400元采購(gòu)種的件數(shù)是630元采購(gòu)種件數(shù)的2倍，種的進(jìn)價(jià)比種的進(jìn)價(jià)每件多1元，兩種飾品的售價(jià)均為每件15元；計(jì)劃采購(gòu)這兩種飾品共600件，采購(gòu)種的件數(shù)不低于390件，不超過(guò)種件數(shù)的4倍．
（1）求，飾品每件的進(jìn)價(jià)分別為多少元？
（2）若采購(gòu)這兩種飾品只有一種情況可優(yōu)惠，即一次性采購(gòu)種超過(guò)150件時(shí)，種超過(guò)的部分按進(jìn)價(jià)打6折．設(shè)購(gòu)進(jìn)種飾品件，
①求的取值范圍；
②設(shè)計(jì)能讓這次采購(gòu)的飾品獲利最大的方案，并求出最大利潤(rùn)．
41．（2023?揚(yáng)州）甲、乙兩名學(xué)生到離校的“人民公園”參加志愿者活動(dòng)，甲同學(xué)步行，乙同學(xué)騎自行車，騎自行車速度是步行速度的4倍，甲出發(fā)后乙同學(xué)出發(fā)，兩名同學(xué)同時(shí)到達(dá)，求乙同學(xué)騎自行車的速度．
42．（2023?濟(jì)寧）為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)買，兩種型號(hào)的充電樁．已知型充電樁比型充電樁的單價(jià)少0.3萬(wàn)元，且用15萬(wàn)元購(gòu)買型充電樁與用20萬(wàn)元購(gòu)買型充電樁的數(shù)量相等．
（1），兩種型號(hào)充電樁的單價(jià)各是多少？
（2）該停車場(chǎng)計(jì)劃共購(gòu)買25個(gè)，型充電樁，購(gòu)買總費(fèi)用不超過(guò)26萬(wàn)元，且型充電樁的購(gòu)買數(shù)量不少于型充電樁購(gòu)買數(shù)量的．問(wèn)：共有哪幾種購(gòu)買方案？哪種方案所需購(gòu)買總費(fèi)用最少？
43．（2023?瀘州）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．今年端午節(jié)來(lái)臨之際，某商場(chǎng)預(yù)測(cè)粽子能夠暢銷．根據(jù)預(yù)測(cè)，每千克粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少4千克．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）該商場(chǎng)節(jié)后每千克粽子的進(jìn)價(jià)是多少元？
（2）如果該商場(chǎng)在節(jié)前和節(jié)后共購(gòu)進(jìn)粽子400千克，且總費(fèi)用不超過(guò)4600元，并按照節(jié)前每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)多少千克粽子獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？




















參考答案
一．選擇題（共20小題）
1．（2023?齊齊哈爾）如果關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B．且 C． D．且
【分析】解含參的分式方程，結(jié)合已知條件及分式有意義的條件切得的取值范圍即可．
【解答】解：將分式方程兩邊同乘，去分母可得：，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，
原分式方程的解是負(fù)數(shù)，
，且，
解得：且，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)含參分式方程解的情況確定參數(shù)的取值范圍，特別注意解得的分式方程的解不能使最簡(jiǎn)公分母為0．
2．（2023?宜賓）分式方程的解為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先去分母化為整式方程，解出的值，再檢驗(yàn)即可．
【解答】解：兩邊同時(shí)乘以得：，
解得，
把代入最簡(jiǎn)公分母得：
，
是原方程的解，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握將分式方程化為整式方程的方法，注意要檢驗(yàn)．
3．（2023?隨州）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同修一條道路，其中甲工程隊(duì)需要修9千米，乙工程隊(duì)需要修12千米．已知乙工程隊(duì)每個(gè)月比甲工程隊(duì)多修1千米，最終用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月．若設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修千米，則可列出方程為　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)兩個(gè)工程隊(duì)工作效率間的關(guān)系，可得出乙工程隊(duì)每個(gè)月修千米，利用工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合乙工程隊(duì)所用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月，即可列出關(guān)于的分式方程，此題得解．
【解答】解：乙工程隊(duì)每個(gè)月比甲工程隊(duì)多修1千米，且甲工程隊(duì)每個(gè)月修千米，
乙工程隊(duì)每個(gè)月修千米．
根據(jù)題意得：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?深圳）某運(yùn)輸公司運(yùn)輸一批貨物，已知大貨車比小貨車每輛多運(yùn)輸5噸貨物，且大貨車運(yùn)輸75噸貨物所用車輛數(shù)與小貨車運(yùn)輸50噸貨物所用車輛數(shù)相同，設(shè)有大貨車輛，則所列方程正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】由每輛大貨車的貨運(yùn)量是噸，則每輛小貨車的貨運(yùn)量是噸，根據(jù)用大貨車運(yùn)送75噸貨物所需車輛數(shù)與小貨車運(yùn)送50噸貨物所需車輛數(shù)相同，即可得出關(guān)于的分式方程．
【解答】解：每輛大貨車的貨運(yùn)量是噸，
每輛小貨車的貨運(yùn)量是噸，
依題意得：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?聊城）若關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是　　
A．且 B．且 C．且 D．且
【分析】解含參的分式方程，然后結(jié)合已知條件及分式有意義的條件列得不等式并計(jì)算即可．
【解答】解：，
兩邊同乘，去分母得：，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，
系數(shù)化為1得：，
原分式方程的解為非負(fù)數(shù)，
，且
解得：且，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)含參分式方程解的情況確定參數(shù)的取值范圍，結(jié)合已知條件解含參分式方程求得是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?株洲）將關(guān)于的分式方程去分母可得　　
A． B． C． D．
【分析】方程兩邊同乘，然后整理即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．
【解答】解：，
去分母，得：，
整理，得：，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，解答本題的關(guān)鍵是找出最簡(jiǎn)公分母．
7．（2023?宜昌）某校學(xué)生去距離學(xué)校的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過(guò)了后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，汽車的速度是　　
A． B． C． D．
【分析】設(shè)學(xué)生的速度為，根據(jù)一部分學(xué)生騎自行車先走，過(guò)了后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．列出方程，即可求解．
【解答】解：設(shè)學(xué)生的速度為，
由題意可得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意；
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?十堰）為了落實(shí)“雙減”政策，進(jìn)一步豐富文體活動(dòng)，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球．已知每個(gè)籃球的價(jià)格比每個(gè)足球的價(jià)格多20元，用1500元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用800元購(gòu)進(jìn)足球的數(shù)量多5個(gè)．如果設(shè)每個(gè)足球的價(jià)格為元，那么可列方程為　　
A． B．
C． D．
【分析】直接利用根據(jù)單價(jià)，表示出籃球與足球價(jià)格，再利用1500元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用800元購(gòu)進(jìn)足球的數(shù)量多5個(gè)得出等式即可．
【解答】解：設(shè)每個(gè)足球的價(jià)格為元，可列方程為：
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
9．（2023?達(dá)州）某鎮(zhèn)的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛(ài)，也是饋贈(zèng)親友的尚佳禮品，首批“脆紅李”成熟后，當(dāng)?shù)啬畴娚逃?2000元購(gòu)進(jìn)這種“脆紅李”進(jìn)行銷售，面市后，線上訂單猛增供不應(yīng)求，該電商又用11000元購(gòu)進(jìn)第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價(jià)比第一批每件便宜了5元，但數(shù)量比第一批多購(gòu)進(jìn)了40件，求購(gòu)進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià)，設(shè)購(gòu)進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià)為元件，根據(jù)題意可列方程為　　
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)單價(jià)比第一批每件便宜了5元，但數(shù)量比第一批多購(gòu)進(jìn)了40件，可以列出相應(yīng)的分式方程，本題得以解決．
【解答】解：由題意可得，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．
10．（2023?張家界）《四元玉鑒》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)著作．該著作記載了“買椽多少”問(wèn)題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無(wú)錢準(zhǔn)與一株椽”，大意是：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的總售價(jià)為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問(wèn)6210文能買多少株椽？設(shè)6210文購(gòu)買椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是　　
A． B．
C． D．
【分析】設(shè)6210元購(gòu)買椽的數(shù)量為株，根據(jù)單價(jià)總價(jià)數(shù)量，求出一株椽的價(jià)錢為，再根據(jù)少拿一株椽后剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，即可列出分式方程，得到答案．
【解答】解：設(shè)6210元購(gòu)買椽的數(shù)量為株，則一株椽的價(jià)錢為，
由題意得：，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出分式方程，正確理解題意找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
11．（2023?廣元）近年來(lái)，我市大力發(fā)展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線為全程10千米的普通道路，路線包含快速通道，全程7千米，走路線比路線平均速度提高，時(shí)間節(jié)省10分鐘，求走路線和路線的平均速度分別是多少？設(shè)走路線的平均速度為千米小時(shí)，依題意，可列方程為　　
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)走兩條路線速度間的關(guān)系，可得出走路線的平均速度為千米時(shí)，利用時(shí)間路程速度，結(jié)合走路線比走路線全程少用10分鐘，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．
【解答】解：走路線的平均車速比走路線能提高，且走路線的平均速度為千米時(shí)，
走路線的平均速度為千米時(shí)．
根據(jù)題意得：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
12．（2023?內(nèi)江）用計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，某研究室安排兩名程序操作員各輸入一遍，比較兩人的輸入是否一致，本次操作需輸入2640個(gè)數(shù)據(jù)，已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時(shí)輸完．這兩名操作員每分鐘各能輸入多少個(gè)數(shù)據(jù)？設(shè)乙每分鐘能輸入個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)題意得方程正確的是　　
A． B．
C． D．
【分析】有工作總量2640，求的是工作效率，那么一定是根據(jù)工作時(shí)間來(lái)列等量關(guān)系的．關(guān)鍵描述語(yǔ)是：“甲比乙少用2小時(shí)輸完”．等量關(guān)系為：甲用的時(shí)間乙用的時(shí)間．
【解答】解：乙每分鐘能輸入個(gè)數(shù)據(jù)，
根據(jù)題意得：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
13．（2023?上海）在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于的整式方程為　　
A． B． C． D．
【分析】設(shè)，則，原方程可變?yōu)椋?，再去分母得，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)，則，
分式方程可變?yōu)椋海?br /> 去分母得：，
整理得：，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查換元法解分式方程，熟練掌握換元法是解題的關(guān)鍵．
14．（2023?黑龍江）已知關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)．則的取值范圍是　　
A． B． C．且 D．且
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程的解是非負(fù)數(shù)，確定出的范圍即可．
【解答】解：分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程的解是非負(fù)數(shù)，得到，且，
解得：且，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
15．（2023?大連）將方程去分母，兩邊同乘后的式子為　　
A． B． C． D．
【分析】分式方程變形后，去分母得到結(jié)果，即可做出判斷．
【解答】解：分式方程去分母得：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．
16．（2023?綏化）某運(yùn)輸公司，運(yùn)送一批貨物，甲車每天運(yùn)送貨物總量的．在甲車運(yùn)送1天貨物后，公司增派乙車運(yùn)送貨物，兩車又共同運(yùn)送貨物天，運(yùn)完全部貨物．求乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需天，由題意列方程，正確的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)題意可知：甲單獨(dú)工作1天的工作量甲和乙合作天的工作單位”1“，列出相應(yīng)的方程即可．
【解答】解：由題意可得，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．
17．（2023?郴州）小王從地開車去地，兩地相距．原計(jì)劃平均速度為，實(shí)際平均速度提高了，結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)．由此可建立方程為　　
A． B．
C． D．
【分析】設(shè)原計(jì)劃平均速度為，實(shí)際平均速度為，根據(jù)走過(guò)相同的距離時(shí)間縮短了1小時(shí)，列方程即可．
【解答】解：設(shè)原計(jì)劃平均速度為，
由題意得，，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．
18．（2023?金昌）方程的解為　　
A． B． C． D．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，
故原方程的解是．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，掌握轉(zhuǎn)化思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解是關(guān)鍵．
19．（2023?云南）閱讀，正如一束陽(yáng)光．孩子們無(wú)論在哪兒，都可以感受到陽(yáng)光的照耀，都可以通過(guò)閱讀觸及更廣闊的世界．某區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學(xué)生推出“童心讀書會(huì)”的分享活動(dòng)．甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動(dòng)地點(diǎn)800米和400米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加分享活動(dòng)．甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn)．若設(shè)乙同學(xué)的速度是米分，則下列方程正確的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)“乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn)”列方程求解．
【解答】解：乙同學(xué)的速度是米分，
則甲同學(xué)的速度是米分，
由題意得：，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
20．（2023?廣安）為了降低成本，某出租車公司實(shí)施了“油改氣”措施．如圖，、分別表示燃油汽車和燃?xì)馄囁栀M(fèi)用（單位：元）與行駛路程（單位：千米）的關(guān)系，已知燃油汽車每千米所需的費(fèi)用比燃?xì)馄嚸壳姿璧馁M(fèi)用的3倍少0.1元，設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿璧馁M(fèi)用為元，則可列方程為　　

A． B． C． D．
【分析】設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿栀M(fèi)用為元，則燃油汽車每千米所需費(fèi)用為元，根據(jù)行駛路程所需費(fèi)用每千米所需費(fèi)用，結(jié)合行駛路程相等，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿栀M(fèi)用為元，則燃油汽車每千米所需費(fèi)用為元，
依題意得：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共8小題）
21．（2023?蘇州）分式方程的解為　?。?br /> 【分析】本題考查分式方程的運(yùn)算，其基本思路是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程再計(jì)算．
【解答】解：方程兩邊乘，得，
，
解得，
，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
所以，原分式方程的解為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式方程的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是去分母轉(zhuǎn)化成整式方程，解出來(lái)檢驗(yàn)最簡(jiǎn)公分母是否為零，再寫解．
22．（2023?永州）若關(guān)于的分式方程為常數(shù)）有增根，則增根是 　?。?br /> 【分析】根據(jù)關(guān)于的分式方程為常數(shù)）有增根，可知，進(jìn)一步計(jì)算即可．
【解答】解：關(guān)于的分式方程為常數(shù)）有增根，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，熟練掌握分式方程增根的含義是解題的關(guān)鍵．
23．（2023?紹興）方程的解是 　　．
【分析】解分式方程得結(jié)論．
【解答】解：去分母，得，
．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
24．（2023?邵陽(yáng)）分式方程的解是 　4　．
【分析】確定最簡(jiǎn)公分母去分母將分式方程化為一元一次方程即可得出結(jié)論．
【解答】解：
分式兩邊同乘以得：，
去括號(hào)得：，
合并化系數(shù)為1得：．
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
原分式方程的解為：．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，能正確找到最簡(jiǎn)公分母是解題的關(guān)鍵．
25．關(guān)于的方程的解為非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是 　且　．
【分析】根據(jù)解分式方程的方法，用含的式子表示的值，再根據(jù)解為非負(fù)數(shù)和分母不為0即可求解．
【解答】解：，
去分母得：，
去括號(hào)移項(xiàng)得：，
合并同類項(xiàng)得：，
系數(shù)化為1得：，
，
，即，
，
解為非負(fù)數(shù)，
，
，
且．
故答案為：且．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最簡(jiǎn)公分母不能為0．
26．（2023?巴中）關(guān)于的分式方程有增根，則　?。?br /> 【分析】先去分母，再根據(jù)增根的意義列方程求解．
【解答】解：方程兩邊同乘得：，
由題意得：是該整式方程的解，
，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，理解增根的意義是解題的關(guān)鍵．
27．（2023?重慶）若關(guān)于的一元一次不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是 　4　．
【分析】先解不等式組，根據(jù)至少有2個(gè)整數(shù)解求出的取值范圍，再解分式方程，根據(jù)解是非負(fù)整數(shù)，可求出滿足條件的的值，進(jìn)一步求解即可．
【解答】解：解不等式組，得，
至少有2個(gè)整數(shù)解，
，
，
解分式方程，
得，
的值是非負(fù)整數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
是分式方程的增根，
（舍去），
滿足條件的的值有3和1，
，
所有滿足條件的整數(shù)的值之和是4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程與一元一次不等式組的綜合，熟練掌握解一元一次不等式組和分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
28．（2023?重慶）若關(guān)于的不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為 　13?。?br /> 【分析】先通過(guò)不等式組的解確定的范圍，再根據(jù)分式方程的解求值即可得出答案．
【解答】解：解不等式組，
得：，
原不等式組的解集為：，
，
，
解分式方程，
得，
且，
且，
且，
，且，
符合條件的整數(shù)有：，0，2，3，4，5，
．
故答案為：13．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次不等式組、解分式方程，熟練掌握一元一次不等式組、分式方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
三．解答題（共15小題）
29．（2023?山西）解方程：．
【分析】由題意，根據(jù)分式方程的解題步驟先找出最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程，解方程后檢驗(yàn)即可得結(jié)果．
【解答】解：由題意得最簡(jiǎn)公分母為，
原方程可化為：
．
．
檢驗(yàn)：把代入，且原方程左邊右邊．
原方程的解為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的解法，解題時(shí)要能找準(zhǔn)最簡(jiǎn)公分母進(jìn)行變形化為整式方程是關(guān)鍵，同時(shí)注意檢驗(yàn)．
30．（2023?廣西）解分式方程：．
【分析】將分式方程兩邊同乘轉(zhuǎn)化為一元一次方程即可得出結(jié)論．
【解答】解：，
方程兩邊同乘得：，
移項(xiàng)解得：．
將代入，
是原分式方程的解．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解法，其中確定最簡(jiǎn)公分母是解題關(guān)鍵．
31．（2023?岳陽(yáng)）水碧萬(wàn)物生，岳陽(yáng)龍蝦好．小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽(yáng)鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是，今年龍蝦的總產(chǎn)量是，且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．
【分析】設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量為，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量為，利用養(yǎng)殖面積總產(chǎn)量平均畝產(chǎn)量，結(jié)合去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量為，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量為，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意．
答：今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
32．（2023?樂(lè)山）為了踐行習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)種植梨樹6000棵．開始種植時(shí)，由于志愿者的加入，實(shí)際每天種植梨樹的數(shù)量比原計(jì)劃增加了，結(jié)果提前2天完成任務(wù)．問(wèn)原計(jì)劃每天種植梨樹多少棵？
【分析】設(shè)原計(jì)劃每天種植梨樹棵，則實(shí)際每天種植梨樹棵，利用工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)，可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天種植梨樹棵，則實(shí)際每天種植梨樹棵，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意．
答：原計(jì)劃每天種植梨樹500棵．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
33．（2023?連云港）解方程．
【分析】?jī)蛇呁瑫r(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母去分母，然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、把的系數(shù)化為1，即可算出的值，然后再檢驗(yàn)．
【解答】解：去分母得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)得：，
合并同類項(xiàng)得：，
把的系數(shù)化為1得：，
檢驗(yàn)：把代入最簡(jiǎn)公分母，
故原分式方程的解為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的解法，關(guān)鍵是不要忘記檢驗(yàn)，沒(méi)有分母的項(xiàng)不要漏乘，這是同學(xué)們最容易出錯(cuò)的地方．
34．（2023?廣東）某學(xué)校開展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校，甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到，求乙同學(xué)騎自行車的速度．
【分析】設(shè)乙步行的速度為分，則甲騎自行車的速度為分，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)乙步行的速度為分，則甲騎自行車的速度為分，
根據(jù)題意得，
解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，
答：乙騎自行車的速度為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
35．（2023?煙臺(tái)）中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文明的智慧結(jié)晶．《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我國(guó)古代較為普及的算書，許多問(wèn)題淺顯有趣．某書店的《孫子算經(jīng)》單價(jià)是《周髀算經(jīng)》單價(jià)的，用600元購(gòu)買《孫子算經(jīng)》比購(gòu)買《周髀算經(jīng)》多買5本．
（1）求兩種圖書的單價(jià)分別為多少元？
（2）為等備“3.14數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，某校計(jì)劃到該書店購(gòu)買這兩種圖書共80本，且購(gòu)買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購(gòu)買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按八折出售，求兩種圖書分別購(gòu)買多少本時(shí)費(fèi)用最少？
【分析】（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》的單價(jià)是元，則《孫子算經(jīng)》的單價(jià)是元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合用600元購(gòu)買《孫子算經(jīng)》比購(gòu)買《周髀算經(jīng)》多買5本，可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出《周髀算經(jīng)》的單價(jià)，再將其代入中，即可求出《孫子算經(jīng)》的單價(jià)；
（2）設(shè)購(gòu)買本《孫子算經(jīng)》，則購(gòu)買本《周髀算經(jīng)》，根據(jù)購(gòu)買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半，可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，設(shè)購(gòu)買這兩種圖書共花費(fèi)元，利用總費(fèi)用單價(jià)數(shù)量，可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．
【解答】解：（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》的單價(jià)是元，則《孫子算經(jīng)》的單價(jià)是元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，
．
答：《孫子算經(jīng)》的單價(jià)是30元，《周髀算經(jīng)》的單價(jià)是40元；
（2）設(shè)購(gòu)買本《孫子算經(jīng)》，則購(gòu)買本《周髀算經(jīng)》，
根據(jù)題意得：，
解得：．
設(shè)購(gòu)買這兩種圖書共花費(fèi)元，則，
，
，
隨的增大而減小，
又，且為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)．
答：當(dāng)購(gòu)買53本《孫子算經(jīng)》、27本《周髀算經(jīng)》時(shí)，總費(fèi)用最少．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
36．小丁和小迪分別解方程過(guò)程如下：

你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“”，并寫出你的解答過(guò)程．
【分析】根據(jù)解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算并判斷即可．
【解答】解：小丁和小迪的解法都不正確，正確步驟如下：
，
兩邊同乘，去分母得：，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，
檢驗(yàn)：將代入中可得：，
則是分式方程的解，
故原分式方程的解是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
37．（2023?涼山州）解方程：．
【分析】利用解分式方程的一般步驟解答即可．
【解答】解：去分母得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)得：，
，
或，
將代入原方程，原方程左右相等，
是原方程的解．
將代入，使分母為0，
是原方程的增根，
原方程的解為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的解法，驗(yàn)根是常常遺漏的步驟，熟練掌握解分式方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
38．（2023?常德）“六一”兒童節(jié)將至，張老板計(jì)劃購(gòu)買型玩具和型玩具進(jìn)行銷售，若用1200元購(gòu)買型玩具的數(shù)量比用1500元購(gòu)買型玩具的數(shù)量多20個(gè)，且一個(gè)型玩具的進(jìn)價(jià)是一個(gè)型玩具進(jìn)價(jià)的1.5倍．
（1）求型玩具和型玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少？
（2）若型玩具的售價(jià)為12元個(gè)，型玩具的售價(jià)為20元個(gè)，張老板購(gòu)進(jìn)，型玩具共75個(gè)，要使總利潤(rùn)不低于300元，則型玩具最多購(gòu)進(jìn)多少個(gè)？
【分析】（1）設(shè)型玩具的單價(jià)為元件．根據(jù)用1200元購(gòu)買型玩具的數(shù)量比用1500元購(gòu)買型玩具的數(shù)量多20個(gè)，列方程即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)買型玩具個(gè)．根據(jù)張老板購(gòu)進(jìn)，型玩具共75個(gè)，要使總利潤(rùn)不低于300元，列不等式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)型玩具的進(jìn)價(jià)為元個(gè)，則型玩具的進(jìn)價(jià)是元個(gè)．
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
型玩具的進(jìn)價(jià)為（元個(gè)），
答：型玩具的進(jìn)價(jià)是10元個(gè)，型玩具的進(jìn)價(jià)是15元個(gè)．
（2）設(shè)購(gòu)買型玩具個(gè)，則購(gòu)進(jìn)型玩具個(gè)．
根據(jù)題意得，，
解得：，
答：最多可購(gòu)進(jìn)型玩具25個(gè)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．
39．（2023?黑龍江）2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神州十六號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)演播大廳觀看現(xiàn)場(chǎng)直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購(gòu)進(jìn)，兩款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用500元購(gòu)進(jìn)款和用400元購(gòu)進(jìn)款的文化衫的數(shù)量相同．
（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元，不少于14750元購(gòu)買文化衫，求有幾種購(gòu)買方案？
（3）在實(shí)際購(gòu)買時(shí)，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，款七折優(yōu)惠，款每件讓利元，采購(gòu)人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購(gòu)買方案所需資金恰好相同，試求值．
【分析】（1）設(shè)款文化衫每件元，則款文化衫每件元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合用500元購(gòu)進(jìn)款和用400元購(gòu)進(jìn)款的文化衫的數(shù)量相同，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出款文化衫的單價(jià)，再將其代入中，可求出款文化衫的單價(jià)；
（2）設(shè)購(gòu)買件款文化衫，則購(gòu)買件款文化衫，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不多于14800元且不少于14750元，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)，即可得出共有6種購(gòu)買方案；
（3）設(shè)購(gòu)買300件兩款文化衫所需總費(fèi)用為元，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，由（2）中的所有購(gòu)買方案所需資金恰好相同（即的值與值無(wú)關(guān)），利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出，解之即可得出的值．
【解答】解：（1）設(shè)款文化衫每件元，則款文化衫每件元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，
．
答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元；
（2）設(shè)購(gòu)買件款文化衫，則購(gòu)買件款文化衫，
根據(jù)題意得：，
解得：，
又為正整數(shù)，
可以為275，276，277，278，279，280，
共有6種購(gòu)買方案；
（3）設(shè)購(gòu)買300件兩款文化衫所需總費(fèi)用為元，則，
（2）中的所有購(gòu)買方案所需資金恰好相同，
的值與值無(wú)關(guān)，
，
．
答：的值為5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
40．（2023?荊州）荊州古城旁“荊街”某商鋪打算購(gòu)進(jìn)，兩種文創(chuàng)飾品對(duì)游客銷售．已知1400元采購(gòu)種的件數(shù)是630元采購(gòu)種件數(shù)的2倍，種的進(jìn)價(jià)比種的進(jìn)價(jià)每件多1元，兩種飾品的售價(jià)均為每件15元；計(jì)劃采購(gòu)這兩種飾品共600件，采購(gòu)種的件數(shù)不低于390件，不超過(guò)種件數(shù)的4倍．
（1）求，飾品每件的進(jìn)價(jià)分別為多少元？
（2）若采購(gòu)這兩種飾品只有一種情況可優(yōu)惠，即一次性采購(gòu)種超過(guò)150件時(shí)，種超過(guò)的部分按進(jìn)價(jià)打6折．設(shè)購(gòu)進(jìn)種飾品件，
①求的取值范圍；
②設(shè)計(jì)能讓這次采購(gòu)的飾品獲利最大的方案，并求出最大利潤(rùn)．
【分析】（1）設(shè)種飾品每件的進(jìn)價(jià)為元，則種飾品每件的進(jìn)價(jià)為元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合用1400元采購(gòu)種的件數(shù)是630元采購(gòu)種件數(shù)的2倍，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出每臺(tái)種電器的進(jìn)價(jià)，再將其代入中即可求出每臺(tái)種電器的進(jìn)價(jià)；
（2）①利用“計(jì)劃采購(gòu)這兩種飾品共600件，采購(gòu)種的件數(shù)不低于390件，不超過(guò)種件數(shù)的4倍“列不等式組可得結(jié)論；
②設(shè)采購(gòu)種飾品件時(shí)的總利潤(rùn)為元，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別表示與的關(guān)系式根據(jù)增減性可解答．
【解答】解：（1）設(shè)種飾品每件的進(jìn)價(jià)為元，則種飾品每件的進(jìn)價(jià)為元，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，
，
答：種飾品每件的進(jìn)價(jià)為10元，則種飾品每件的進(jìn)價(jià)為9元；
（2）①由題意得：，
解得：，
購(gòu)進(jìn)種飾品件數(shù)的取值范圍為：，且為整數(shù)；
②設(shè)采購(gòu)種飾品件時(shí)的總利潤(rùn)為元，
當(dāng)時(shí)，，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，有最大值是：，
當(dāng)時(shí)，，
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，有最大值是：，
，
的最大值是3630，此時(shí)，
即當(dāng)采購(gòu)種飾品210件，種飾品390件，商鋪獲利最大，最大利潤(rùn)為3630元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
41．（2023?揚(yáng)州）甲、乙兩名學(xué)生到離校的“人民公園”參加志愿者活動(dòng)，甲同學(xué)步行，乙同學(xué)騎自行車，騎自行車速度是步行速度的4倍，甲出發(fā)后乙同學(xué)出發(fā)，兩名同學(xué)同時(shí)到達(dá)，求乙同學(xué)騎自行車的速度．
【分析】設(shè)甲同學(xué)步行的速度為，則乙同學(xué)騎自行車的速度為，根據(jù)甲出發(fā)后乙同學(xué)出發(fā)，兩名同學(xué)同時(shí)到達(dá)，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：設(shè)甲同學(xué)步行的速度為，則乙同學(xué)騎自行車的速度為，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
，
答：乙同學(xué)騎自行車的速度為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
42．（2023?濟(jì)寧）為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)買，兩種型號(hào)的充電樁．已知型充電樁比型充電樁的單價(jià)少0.3萬(wàn)元，且用15萬(wàn)元購(gòu)買型充電樁與用20萬(wàn)元購(gòu)買型充電樁的數(shù)量相等．
（1），兩種型號(hào)充電樁的單價(jià)各是多少？
（2）該停車場(chǎng)計(jì)劃共購(gòu)買25個(gè)，型充電樁，購(gòu)買總費(fèi)用不超過(guò)26萬(wàn)元，且型充電樁的購(gòu)買數(shù)量不少于型充電樁購(gòu)買數(shù)量的．問(wèn)：共有哪幾種購(gòu)買方案？哪種方案所需購(gòu)買總費(fèi)用最少？
【分析】（1）設(shè)型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元，則型充電樁的單價(jià)少萬(wàn)元，根據(jù)“用15萬(wàn)元購(gòu)買型充電樁與用20萬(wàn)元購(gòu)買型充電樁的數(shù)量相等”列出分式方程，求解即可；
（2）設(shè)購(gòu)買型充電樁個(gè)，則購(gòu)買型充電樁個(gè)，根據(jù)購(gòu)買總費(fèi)用不超過(guò)26萬(wàn)元且且型充電樁的購(gòu)買數(shù)量不少于型充電樁購(gòu)買數(shù)量的，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)即可得出各購(gòu)買方案，再由兩種機(jī)床的單價(jià)之間的關(guān)系可找出購(gòu)買方案總費(fèi)用最少的方案及最少總費(fèi)用．
【解答】解：（1）設(shè)型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元，則型充電樁的單價(jià)少萬(wàn)元，根據(jù)題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，．
答：型充電樁的單價(jià)為0.9萬(wàn)元，則型充電樁的單價(jià)為1.2萬(wàn)元；
（2）設(shè)購(gòu)買型充電樁個(gè)，則購(gòu)買型充電樁個(gè)，
根據(jù)題意，得：，
解得：．
為整數(shù)，
，15，16．
該停車場(chǎng)有3種購(gòu)買機(jī)床方案，方案一：購(gòu)買14個(gè)型充電樁、36個(gè)型充電樁；方案二：購(gòu)買15個(gè)型充電樁、35個(gè)型充電樁；方案三：購(gòu)買16個(gè)型充電樁、34個(gè)型充電樁．
型機(jī)床的單價(jià)低于型機(jī)床的單價(jià)，
購(gòu)買方案三總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用（萬(wàn)元）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
43．（2023?瀘州）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．今年端午節(jié)來(lái)臨之際，某商場(chǎng)預(yù)測(cè)粽子能夠暢銷．根據(jù)預(yù)測(cè)，每千克粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少4千克．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）該商場(chǎng)節(jié)后每千克粽子的進(jìn)價(jià)是多少元？
（2）如果該商場(chǎng)在節(jié)前和節(jié)后共購(gòu)進(jìn)粽子400千克，且總費(fèi)用不超過(guò)4600元，并按照節(jié)前每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)多少千克粽子獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【分析】（1）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)后每千克粽子的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少4千克，列分式方程，求解即可；
（2）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)千克粽子，總利潤(rùn)為元，根據(jù)該商場(chǎng)在節(jié)前和節(jié)后共購(gòu)進(jìn)粽子400千克，且總費(fèi)用不超過(guò)4600元，列一元一次不等式，求出的取值范圍，再表示出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可確定如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)，并求出最大利潤(rùn)即可．
【解答】解：（1）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)后每千克粽子的進(jìn)價(jià)為元，
根據(jù)題意，得，
解得或（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的根，且符合題意，
答：該商場(chǎng)節(jié)后每千克粽子的進(jìn)價(jià)是10元；
（2）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)千克粽子，總利潤(rùn)為元，
根據(jù)題意，得，
解得，
，
，
隨著增大而增大，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大利潤(rùn)為（元，
答：該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)300千克粽子獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立相應(yīng)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．

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