考點(diǎn)四十六  抽樣方法知識(shí)梳理1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就稱這樣的抽樣方法為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣特點(diǎn)①總體個(gè)數(shù)較少；②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是逐個(gè)不放回抽樣；③每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，都為．2．抽簽法一般地，抽簽法就是把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫(xiě)在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，充分?jǐn)嚢杈鶆蚝?/span>，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，這樣就得到一個(gè)容量為n的樣本．抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，一個(gè)抽樣實(shí)驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?/span>，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號(hào)簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法．3．隨機(jī)數(shù)法隨機(jī)數(shù)法也就是利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣．隨機(jī)數(shù)法的步驟：①將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；②在隨機(jī)數(shù)表中選擇開(kāi)始數(shù)字；③按某個(gè)方向讀數(shù)獲取樣本號(hào)碼．隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況，簡(jiǎn)單易行，它很好地解決了抽簽法在總體個(gè)數(shù)較多時(shí)制簽難的問(wèn)題，但是當(dāng)總體中的個(gè)體很多，需要的樣本容量也很大時(shí)，用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不方便．4．系統(tǒng)抽樣(1)步驟：①先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；②根據(jù)樣本容量n，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，取分段間隔k＝；③在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)；④按照一定的規(guī)則抽取樣本．(2)適用范圍：適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)．(3)系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣．5．分層抽樣(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)．(3) 分層抽樣中，每層抽取的個(gè)體的比例是相同的，即.6．三種抽樣方法的比較類別各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍共同點(diǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中逐個(gè)抽取最基本的抽樣方法總體中的個(gè)體數(shù)較少抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，按各層個(gè)體數(shù)之比抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成典例剖析題型一  簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣例1　(2013·高考江西卷)總體由編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為________． 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　01983204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481答案  01解析  由隨機(jī)數(shù)表法的隨機(jī)抽樣的過(guò)程可知選出的5個(gè)個(gè)體是08，02，14，07，01，所以第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)是01.變式訓(xùn)練  下列抽取樣本的方式是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的有________．①從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本；②箱子里有100支鉛筆，今從中選取10支進(jìn)行檢驗(yàn)．在抽樣操作時(shí)，從中任意拿出一支檢測(cè)后再放回箱子里；③從50個(gè)個(gè)體中一次性抽取5個(gè)個(gè)體作為樣本．答案  0個(gè)解析  ①不滿足樣本的總體數(shù)較少的特點(diǎn)；②不滿足不放回抽取的特點(diǎn)；③不滿足逐個(gè)抽取的特點(diǎn)．解題要點(diǎn)  簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣特點(diǎn)：①總體個(gè)數(shù)較少；②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是逐個(gè)不放回抽樣；③每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等．題型二  系統(tǒng)抽樣例2　為了檢查某超市貨架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要從編號(hào)依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進(jìn)行檢驗(yàn)，用系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號(hào)可能是________．(填序號(hào))①     5，10，15，20，25；② 2，4，8，16，32；③ 1，2，3，4，5；④ 7，17，27，37，47.答案  ④解析  利用系統(tǒng)抽樣，把編號(hào)分為5段，每段10袋，每段抽取一袋，號(hào)碼間隔為10，故選④.變式訓(xùn)練  將參加夏令營(yíng)的600名學(xué)生編號(hào)為：001，002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003.這600名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到300在A營(yíng)區(qū)，從301到495在B營(yíng)區(qū)，從496到600在C營(yíng)區(qū)，三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)依次為________．答案  25，17，8解析  依題意及系統(tǒng)抽樣的意義可知，將這600名學(xué)生按編號(hào)依次分成50組，每一組各有12名學(xué)生，第k(k∈N*)組抽中的號(hào)碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤，因此A營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得<k≤42，因此B營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)是42－25＝17.解題要點(diǎn)  系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，假設(shè)第1段抽取的個(gè)體編號(hào)為l(l≤k)，分段間隔為k(k∈N*)，則將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(l＋k)，再加上k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(l＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本． 題型三  分層抽樣例3　(1)某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查．已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取________名學(xué)生．(2) 某高級(jí)中學(xué)共有學(xué)生3 000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表： 高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)女生523xy男生487490z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到高二年級(jí)女生的概率是0.17.若現(xiàn)需對(duì)各年級(jí)用分層抽樣的方法在全校抽取300名學(xué)生，則應(yīng)在高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為________．答案  (1)60    (2) 99解析  (1)根據(jù)題意，應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取的人數(shù)為×300＝60.(2) 由題設(shè)可知＝0.17，∴  x＝510.∴高三年級(jí)人數(shù)為y＋z＝3 000－(523＋487＋490＋510)＝990，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取300名學(xué)生，應(yīng)在高三年級(jí)抽取的人數(shù)為×990＝99.變式訓(xùn)練  某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n＝________．答案  90解析  依題意得×n＝18，解得n＝90，即樣本容量為90.解題要點(diǎn)  分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式計(jì)算：(1)＝；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．題型四  抽樣方法選取問(wèn)題例4　某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名．為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是________．答案  分層抽樣法解析  從全體學(xué)生中抽取100名應(yīng)用分層抽樣法，按男、女學(xué)生所占的比例抽?。?/span>變式訓(xùn)練  某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150,120,180,150個(gè)銷售點(diǎn)．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)有20個(gè)大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①，②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是________．答案  分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法解析  一般甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)會(huì)存在差異，采用分層抽樣法較好．在丙地區(qū)中抽取的樣本個(gè)數(shù)較少，易采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法．解題要點(diǎn)  正確把握三種抽樣方法的適用范圍及特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．當(dāng)總體中的個(gè)體個(gè)數(shù)較少時(shí)，通常采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，一般可用從總體中逐個(gè)抽取的方法；當(dāng)總體中的個(gè)體個(gè)數(shù)較多且均衡時(shí)，通常采用系統(tǒng)抽樣，將總體平均分成幾部分，按一定的規(guī)則分別在各部分中抽取；當(dāng)總體是由差異明顯的幾部分組成時(shí)，則采用分層抽樣，將總體按差異分成幾層，按分層個(gè)體數(shù)之比抽?。?/span>當(dāng)堂練習(xí)1．（2015四川文）某學(xué)校為了了解三年級(jí)、六年級(jí)、九年級(jí)這三個(gè)年級(jí)之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，擬從這三個(gè)年級(jí)中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是________．答案　分層抽樣法解析　結(jié)合幾種抽樣的定義.2．（2015北京文）某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為________．類別人數(shù)老年教師900中年教師1 800青年教師1 600合計(jì)4 300答案　180解析　由題意抽樣比為＝，∴該樣本的老年教師人數(shù)為900×＝180(人)．3. （2015湖南文）在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是________．答案　4解析　由題意知，將1～35號(hào)分成7組，每組5名運(yùn)動(dòng)員，成績(jī)落在區(qū)間[139,151]的運(yùn)動(dòng)員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名.4．從編號(hào)為1～50的50枚最新研制的某種型號(hào)的導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取5枚來(lái)進(jìn)行發(fā)射實(shí)驗(yàn)，若采用每部分選取的號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導(dǎo)彈的編號(hào)可能是________．答案  3,13,23,33,43解析  間隔距離為10，故可能編號(hào)是3,13,23,33,43.5．甲校有3 600名學(xué)生，乙校有5 400名學(xué)生，丙校有1 800名學(xué)生．為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為90的樣本，應(yīng)該在這三校分別抽取的學(xué)生人數(shù)是________．答案  30,45,15解析  抽取比例是＝，故三校分別抽取的學(xué)生人數(shù)為3 600×＝30,5 400×＝45,1 800×＝15.課后作業(yè)一、    填空題1．(2014·四川文)在“世界讀書(shū)日”前夕，為了了解某地5 000名居民某天的閱讀時(shí)間，從中抽取了200名居民的閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．在這個(gè)問(wèn)題中，5 000名居民的閱讀時(shí)間的全體是________．答案　總體解析　5 000名居民的閱讀時(shí)間的全體是總體，每名居民的閱讀時(shí)間是個(gè)體，200是樣本容量.2．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是________．答案  按學(xué)段分層抽樣解析  因?yàn)閷W(xué)段層次差異較大，所以在不同學(xué)段中抽取宜用分層抽樣．3． (2014年重慶卷)某中學(xué)有高中生3 500人，初中生1 500人．為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為________．答案  100解析 由分層抽樣的特點(diǎn)可知＝，得n＝100.4．為了檢查某超市貨架上的飲料是否含有塑化劑，要從編號(hào)依次為1到50的塑料瓶裝飲料中抽取5瓶進(jìn)行檢驗(yàn)，用每部分選取的號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5瓶飲料的編號(hào)可能是________．答案  7,17,27,37,47解析  利用系統(tǒng)抽樣，把編號(hào)分為5段，每段10個(gè)，每段抽取1個(gè)，號(hào)碼間隔為10.5．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n＝________．答案 90解析 依題意得×n＝18，解得n＝90，即樣本容量為90.6．用系統(tǒng)抽樣法(按等距離的規(guī)則)，要從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1～160編號(hào)．按編號(hào)順序平均分成20組(1～8號(hào)，9～16號(hào)，…，153～160號(hào))，若第16組應(yīng)抽出的號(hào)碼為125，則第一組中按抽簽方法確定的號(hào)碼是________．答案  5解析  設(shè)第一組確定的號(hào)碼是x，則x＋(16－1)×8＝125，解得x＝5.7．某校共有學(xué)生2 000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如表，已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到二年級(jí)女生的概率是0.19，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為________． 一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)女生373xy男生377370z答案  16解析  由題意得＝0.19，得x＝380.∴三年級(jí)的人數(shù)為2 000－373－377－380－370＝500，由分層抽樣的特點(diǎn)可知＝，得n＝16.8．采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9.抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問(wèn)卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問(wèn)卷B，其余的人做問(wèn)卷C，則抽到的人中，做問(wèn)卷B的人數(shù)為________．答案 10解析 由已知條件可知，應(yīng)該把總體分成32組，每組＝30人，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法可知，i＝9，k＝30，在第1組到第32組依次抽取到的是9,9＋30，9＋2×30，…，9＋31×30，由于9＋15×30＝459，而9＋24×30＝729，故而有24－15＋1＝10人.9．（2015福建文）某校高一年級(jí)有900名學(xué)生，其中女生400名．按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為________．答案　25解析　由題意知，男生共有500名，根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)，在容量為45的樣本中男生應(yīng)抽取人數(shù)：45×＝25.10．某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比是3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取__________名學(xué)生．答案 15解析 高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)占總學(xué)生人數(shù)的，樣本容量為50，則50×＝15，所以從高二年級(jí)抽取15名學(xué)生．11．已知某商場(chǎng)新進(jìn)3 000袋奶粉，為檢查某維生素是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取150袋檢查，若第1組抽出的號(hào)碼是11，則第61組抽出的號(hào)碼為________．答案 1 211解析 ∵＝20，∴需把3 000袋奶粉按0,1,2,3，…，2 999編號(hào)，然后分成150組，每組20個(gè)號(hào)碼．∴第61組抽出的號(hào)碼為11＋(61－1)×20＝1 211.二、解答題12．某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析．①列出所有可能的抽取結(jié)果；②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率．解析　(1)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.(2)①在抽取到的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5，大學(xué)記為A6，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．②從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件B)的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種．所以P(B)＝＝.13．某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品共3 000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，該企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量(件) 1 300 樣本容量(件) 130 由于不小心，表格中A、C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計(jì)員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，求C產(chǎn)品的數(shù)量．解析  設(shè)C產(chǎn)品的數(shù)量為x，則A產(chǎn)品的數(shù)量為1 700－x，C產(chǎn)品的樣本容量為a，則A產(chǎn)品的樣本容量為10＋a，由分層抽樣的定義可知＝＝，得x＝800.∴C產(chǎn)品的數(shù)量為800. 

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