考點(diǎn)三十三  空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識梳理1．平面的概念數(shù)學(xué)中的平面是一個不加定義的原始概念，常見的桌面、黑板面、海平面都給我們平面的形象．幾何里所說的平面就是從這樣的一些物體抽象出來的，平面是無限延展的，沒有厚度，也沒有大小、輕重之分．2．空間中的四個公理及其推論公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面．推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有與一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．3．等角定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．4．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線所成的角①定義：過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角．②范圍：.5．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系 圖形語言符號語言公共點(diǎn)直線與平面相交a∩α＝A1個平行a∥α0個在平面內(nèi)a?α無數(shù)個平面與平面平行α∥β0個相交α∩β＝l無數(shù)個典例剖析題型一  平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1　在下列命題中，不是公理的是________．①                                                                                                                                                       平行于同一個平面的兩個平面相互平行②                                                                                                                                                       過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面③                                                                                                                                                       如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)④                                                                                                                                                       如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線答案　①解析  由立體幾何基本知識知，②項(xiàng)為公理2，C項(xiàng)為公理1，④項(xiàng)為公理3, ①項(xiàng)不是公理．變式訓(xùn)練  下列結(jié)論正確的是________．①經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)可以確定一個平面②經(jīng)過兩條相交直線，可以確定一個平面③經(jīng)過兩條平行直線，可以確定一個平面④經(jīng)過空間任意三點(diǎn)可以確定一個平面答案  3個解析  當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時不能確定平面，故④不正確，①②③正確．解題要點(diǎn)  三點(diǎn)不一定確定一個平面．當(dāng)三點(diǎn)共線時，可確定無數(shù)個平面．題型二  空間直線的位置關(guān)系例2　正方體AC1中，E、F分別是線段BC、CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是________．答案  相交解析  如圖所示，直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交. 變式訓(xùn)練  如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個正四面體中，①GH與EF平行；            ②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；        ④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．答案　②③④解析　還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.解題要點(diǎn)  1.空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行，相交和異面，要正確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個平面內(nèi)”．2.對于較復(fù)雜幾何體的線面關(guān)系判定問題，應(yīng)注意借助圖形，考察各點(diǎn)、線在空間中的相對位置．3.正四面體的特性：對棱都異面且互相垂直，記住這個特性有助于快速解題．題型三  異面直線判定問題例3　如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為________．答案 3解析  AB，CD，EF和GH在原正方體中如圖所示，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有三對．變式訓(xùn)練  若直線l不平行于平面α，且l?α，則________．①                                                                                                                                                       α內(nèi)的所有直線與l異面②                                                                                                                                                       α內(nèi)不存在與l平行的直線③                                                                                                                                                       α內(nèi)存在唯一的直線與l平行④                                                                                                                                                       α內(nèi)的直線與l都相交答案  ②解析  依題意，直線l∩α＝A(如圖)．α內(nèi)的直線若經(jīng)過點(diǎn)A，則與直線l相交；若不經(jīng)過點(diǎn)A，則與直線l是異面直線，故選②.解題要點(diǎn)  判定異面直線有以下異面直線判定定理:平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線,與此平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.另外判定兩條直線異面,還可依據(jù)：①定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線；②既不平行也不相交的兩條直線是異面直線。題型四  異面直線所成角的求解例4　已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為________．答案  解析  如圖，連接DF，因?yàn)?/span>DF與AE平行，所以∠DFD1即為異面直線AE與D1F所成角的平面角，設(shè)正方體的棱長為2，則FD1＝FD＝，由余弦定理得cos∠DFD1＝＝.變式訓(xùn)練  直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于________．答案　60°解析　如圖，可補(bǔ)成一個正方體，∴AC1∥BD1.∴BA1與AC1所成角的大小為∠A1BD1.又易知△A1BD1為正三角形，∴∠A1BD1＝60°. 即BA1與AC1成60°的角．解題要點(diǎn)  求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無關(guān)，往往可以選在其中一條直線上(線面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解．當(dāng)堂練習(xí)1．下列四個結(jié)論：(1)兩條直線都和同一個平面平行，則這兩條直線平行．(2)兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行．(3)兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行．(4)一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn)，則這條直線和這個平面平行．其中正確的個數(shù)為________．答案  解析  對(1)，兩條直線都和同一個平面平行，這兩條直線三種位置關(guān)系都有可能;對(2)，兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面;對(3)，兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線三種位置關(guān)系都有可能;對(4)，一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn)，則這條直線也可在這個平面內(nèi).2．以下命題正確的是________．①兩個平面可以只有一個交點(diǎn)②一條直線與一個平面最多有一個公共點(diǎn)③兩個平面有一個公共點(diǎn)，它們可能相交⑤       兩個平面有三個公共點(diǎn)，它們一定重合答案  ③解析  對于①，兩個平面有一個交點(diǎn)就有過這個點(diǎn)的公共直線，故①錯．對于②，直線在平面內(nèi)時，可以有無數(shù)個公共點(diǎn)．對于④，當(dāng)三個公共點(diǎn)在同一直線上時，兩平面相交，故④錯．3. 正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是線段C1D，BC的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是________．答案  相交解析  直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．4．若兩條直線和一個平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是________．答案  平行、異面或相交解析  當(dāng)平行、異面或相交時，均有兩條直線和一個平面相交成等角的情況出現(xiàn).5．三個平面兩兩相交，則交線條數(shù)為________．答案  1或3課后作業(yè)一、    填空題1．四個命題：(1)空間三條直線兩兩平行，則三條直線可確定三個平面；(2)空間三點(diǎn)可確定一個平面；(3)空間一點(diǎn)和一條直線可確定一個平面；(4)A與B兩點(diǎn)到直線距離相等，則直線和AB確定一個平面．其中正確命題的個數(shù)為________．答案  0個解析  (1)若三條直線在同一個平面內(nèi)，則確定一個平面，故錯誤；(2)若三個點(diǎn)在同一條直線上則不能確定一個平面，故錯誤；(3)空間上一點(diǎn)若在直線上，則不能確定一個平面，故錯誤；(4)若過A、B兩點(diǎn)的直線與直線異面正方體的棱與底面的對角線異面A、B兩點(diǎn)為兩頂點(diǎn))，不能確定一個平面．2．給定四個命題：(1)一平面的面積可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四邊形形狀；(3)鋪得很平的一張白紙是一個平面；(4)20個平面重合在一起比一個平面厚20倍，其中正確的有________．答案  0解析  根據(jù)平面的概念知，四個命題都不正確．3．對于空間中的兩條直線，“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的________條件答案  充分不必要解析  ∵兩條直線為異面直線?這兩條直線沒有公共點(diǎn)，反之，當(dāng)兩條直線沒有公共點(diǎn)時，未必是異面直線，∴“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的充分不必要條件．4．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定______．(填序號)①與a，b都相交②只能與a，b中的一條相交③至少與a，b中的一條相交④與a，b都平行答案  ③解析  若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，則a∥b與a，b異面相矛盾．5．若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是________．(填序號)①l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3②l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3③l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面④l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面答案　②解析　當(dāng)l1⊥l2，l2⊥l3時，l1與l3也可能相交或異面，故①不正確；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故②正確；當(dāng)l1∥l2∥l3時，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故③不正確；l1，l2，l3共點(diǎn)時，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故④不正確．6．設(shè)P表示一個點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是________．(填序號)①P∈a，P∈α?a?α；                    ②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；        ④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b.答案　③④解析　當(dāng)a∩α＝P時，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯；a∩β＝P時，②錯；如圖，∵a∥b，P∈b，∴P?a.∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α.又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a與點(diǎn)P，∴β與α重合，∴b?α，故③正確；兩個平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故④正確．7．若兩個平面互相平行，則分別在這兩個平行平面內(nèi)的直線________． 答案  平行或異面解析  兩平行平面內(nèi)的直線可能平行，也可能異面，就是不可能相交．8．一個正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來的正方體中________．(填序號)．①AB∥CD    ②AB與CD相交   ③AB⊥CD     ④AB與CD所成的角為60°答案  ④解析  如圖，把展開圖中的各正方形按圖(a)所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖(b)所示的直觀圖，可見選項(xiàng)①、②、③不正確．∴正確選項(xiàng)為④．圖(b)中，DE∥AB，∠CDE為AB與CD所成的角，△CDE為等邊三角形，∴∠CDE＝60°．9．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn)，有以下四個結(jié)論：  ①直線AM與CC1是相交直線；    ②直線AM與BN是平行直線；  ③直線BN與MB1是異面直線；    ④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)．答案  ③④解析  直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤．10．如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________．答案  90°解析  如圖所示，取CN的中點(diǎn)K，連接MK，則MK為△CDN的中位線，所以MK∥DN.所以∠A1MK為異面直線A1M與DN所成的角(或其補(bǔ)角)．連接A1C1，AM.設(shè)正方體棱長為4，則A1K＝＝，MK＝DN＝＝，A1M＝＝6，故A1M2＋MK2＝A1K2，即∠A1MK＝90°.11．如圖所示，ABCDA1B1C1D1是長方體，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，則AB與A1C1所成的角為________，AA1與B1C所成的角為________．答案  30°　45°解析  ∵AB∥A1B1，∴∠B1A1C1是AB與A1C1所成的角，∴AB與A1C1所成的角為30°.∵AA1∥BB1，∴∠BB1C是AA1與B1C所成的角，由已知條件可以得出BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝a，∴B1C1＝BC＝a.∴四邊形BB1C1C是正方形，∴∠BB1C＝45°.二、解答題12． 直三棱柱 ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，求異面直線BA1與AC1所成的角．解析  分別取AB、AA1、A1C1的中點(diǎn)D、E、F，則BA1∥DE，AC1∥EF，所以異面直線BA1與AC1所成的角為∠DEF(或其補(bǔ)角)，設(shè)AB＝AC＝AA1＝2，則DE＝EF＝，DF＝，由余弦定理得，∠DEF＝120°.13．如圖，E，F，G，H分別是空間四邊形AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且EH與FG交于點(diǎn)O.求證：B，D，O三點(diǎn)共線．證明：∵E∈平面ABD，H∈平面ABD，∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理可證O∈平面BCD.∴O∈平面ABD∩平面BCD＝BD.即B，D，O三點(diǎn)共線．

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