1. 下列各式中一定是最簡二次根式的是( )
A. 7B. 9C. 18D. 12
2. 下列計算正確的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2? 3= 6C. 8=4D. (?3)2=?3
3. 一直角三角形的兩邊分別是2和3，則第三邊是( )
A. 2或3B. 13C. 5D. 13或 5
4. 如圖，在?ABCD中，一定正確的是( )
A. AD=CD
B. AC=BD
C. AB=CD
D. CD=BC
5. 如圖，在△ABC中，BC=4，點D，E分別為AB，AC的中點，則DE=( )
A. 14
B. 12
C. 1
D. 2
6. 依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是( )
A. B.
C. D.
7. 關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法不正確的是( )
A. 四條邊相等B. 對角線互相垂直C. 對角線相等D. 是中心對稱圖形
8. 如圖在△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，則CD的長度為( )
A. 3cm
B. 4cm
C. 5cm
D. 6cm
9. 如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于點E，點F是邊AB上一點，連接DF，若BE=AF，則∠CDF的度數(shù)為( )
A. 45°B. 60°C. 67.5°D. 77.5°
10. 《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為( )
A. x2?6=(10?x)2B. x2?62=(10?x)2
C. x2+6=(10?x)2D. x2+62=(10?x)2
二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）
11. 若 x?8在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是_____．
12. 計算： 12× 3= ______ ．
13. 如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，AD上，AF=EC.只需添加一個條件即可證明四邊形AECF是菱形，這個條件可以是______ (寫出一個即可)．
14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD對角線的交點坐標(biāo)是O(0,0)，點B的坐標(biāo)是(0,1)，且BC=5，則點A的坐標(biāo)是______ ．
15. 沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形(如圖所示)，則長方形的對角線長為______．
三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16. (本小題9.0分)
化簡：
(1) 9×49；(2) 16×7；(3) 1225；(4) 27；
(5) 18；(6) 313；(7) 950；(8)1 2．
17. (本小題10.0分)
計算下列各題：
(1) 32? 23；
(2)( 24? 16)÷ 3．
18. (本小題9.0分)
如圖是一個滑梯的示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長．已知滑梯的高度CE=DB=3m，CD=1m，求滑道AC的長．
19. (本小題8.0分)
如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡)．
(1)在圖1中作∠ABC的角平分線；
(2)在圖2中過點C作一條直線l，使點A，B到直線l的距離相等．
20. (本小題9.0分)
如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，圖中有幾個直角三角形，說出你的理由．
21. (本小題10.0分)
觀察下列各式：
223=2 23； 338=3 38； 4415=4 415
(1)通過計算判斷以上三個式子是否成立？(填“成立”或“不成立”)
(2)類比上述式子，請再寫出一個這樣的式子．
(3)這些式子蘊藏著某種規(guī)律，請用字母表示這個具有一般性的規(guī)律．
(4)請你證明這個規(guī)律的正確性．
22. (本小題10.0分)
(1)如圖1，平行四邊形紙片ABCD中，AD=5，S甲行四邊形紙片ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的形狀為_____

A.平行四邊形B.菱形C.矩形 D.正方形
(2)如圖2，在(1)中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF=4，剪下△AEF，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的位置，拼成四邊形AFF′D.求證：四邊形AFF′D是菱形．
23. (本小題10.0分)
在△ABC中，∠ACB=90°，D為△ABC內(nèi)一點，連接BD，DC，延長DC到點E，使得CE=DC．
(1)如圖1，延長BC到點F，使得CF=BC，連接AF，EF.若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；
(2)連接AE，交BD的延長線于點H，連接CH，依題意補全圖2.若AB2=AE2+BD2，用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 7是最簡二次根式，符合題意；
B、 9=3，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；
C、 18= 24，被開方數(shù)中含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；
D、 12= 4×3=2 3，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；
故選：A．
根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．
本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
2.【答案】B
【解析】解：A、 2與 3不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；
B、 2? 3= 2×3= 6，故本選項正確；
C、 8=2 2，故本選項錯誤；
D、 (?3)2=3，故本選項錯誤．
故選：B．
根據(jù)二次根式的運算法則進(jìn)行計算即可．
本題考查的是二次根式的運算法則，熟練掌握是解答此題的關(guān)鍵．
3.【答案】D
【解析】解：第三邊為x，
當(dāng)3為斜邊時，
即32=22+x2，解得：x= 5，
當(dāng)x為斜邊時，
即x2=32+22，
解得：x= 13，
即x為 13或 5，
故選：D．
設(shè)第三邊為x，分類討論當(dāng)3為斜邊時和x為斜邊時，利用勾股定理列出等式即可解題．
本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，中等難度，分類討論是解題關(guān)鍵．
4.【答案】C
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
故選：C．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形對邊相等的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
5.【答案】D
【解析】解：∵點D，E分別為AB，AC的中點，BC=4，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=12BC=12×4=2，
故選：D．
由題意可得DE是△ABC的中位線，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求出DE的長度．
本題考查了三角形中位線，熟練掌握三角形中位線的定義和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
6.【答案】D
【解析】解：A、80°+110°≠180°，故A選項不符合條件；
B、只有一組對邊平行不能確定是平行四邊形，故B選項不符合題意；
C、不能判斷出任何一組對邊是平行的，故C選項不符合題意；
D、有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D選項符合題意；
故選：D．
根據(jù)平行四邊形的判定定理做出判斷即可．
本題主要考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
7.【答案】C
【解析】解：A.菱形的四條邊相等，正確，不符合題意；
B.菱形的對角線互相垂直且平分，正確，不符合題意；
C.菱形的對角線互相垂直且平分，對角線不一定相等，不正確，符合題意；
D.菱形是軸對稱圖形，正確，不符合題意；
故選：C．
根據(jù)菱形的性質(zhì)逐一推理分析即可選出正確答案．
本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的基本性質(zhì)是關(guān)鍵．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB2=100，BC2+AC2=64+36=100，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，
∴12AC?BC=12AB?DE+12AC?DC，
∴12×6×8=12×10?DE+12×6?DC，
∴DC=3cm，
故選：A．
根據(jù)勾股定理的逆定理先證明△ABC是直角三角形，從而可得∠ACD=90°，然后利用角平分線的性質(zhì)可得DE=DC，再根據(jù)△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，可得12AC?BC=12AB?DE+12AC?DC，進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了勾股定理的逆定理，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】C
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠DAF=∠ABE=90°，
在△DAF和△ABE中，
AD=BA∠DAF=∠ABEAF=BE，
∴△DAF≌△ABE(SAS)，
∴∠ADF=∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAE=12∠BAC=22.5°，∠ADC=90°，
∴∠ADF=22.5°，
∴∠CDF=∠ADC?∠ADF=90°?22.5°=67.5°，
故選：C．
根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，可以得到∠ADF的度數(shù)，從而可以求得∠CDF的度數(shù)．
本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠ADF的度數(shù)．
10.【答案】D
【解析】解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則AB=10?x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10?x)2．
故選：D．
根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
11.【答案】x≥8
【解析】解：∵ x?8在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴x?8≥0，
解得：x≥8．
故答案為：x≥8．
根據(jù)二次根式有意義的條件，可得：x?8≥0，據(jù)此求出實數(shù)x的取值范圍即可．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，解答此題的關(guān)鍵是要明確：二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
12.【答案】6
【解析】解： 12× 3
= 12×3
= 36
=6，
故答案為：6．
根據(jù)二次根式的乘法運算法則計算即可．
本題考查二次根式的乘法運算，其相關(guān)運算法則是基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．
13.【答案】AE=AF
【解析】解：這個條件可以是AE=AF，
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
即AF//CE，
∵AF=EC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AE=AF，
∴四邊形AECF是菱形，
故答案為：AE=AF．
根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD//BC，即AF//CE，推出四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．
本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
14.【答案】(2 6,0)
【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，OC=OA，
∵點B的坐標(biāo)是(0,1)，
∴OB=1，
在直角三角形BOC中，BC=5，
∴OC= BC2?OB2= 52?12=2 6，
∴點C的坐標(biāo)(?2 6,0)，
∵點A與點C關(guān)于原點對稱，
∴點A的坐標(biāo)(2 6,0)．
故答案為：(2 6,0)．
根據(jù)菱形性質(zhì)得OC的長，因而得點C的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性質(zhì)可得答案．
此題考查的是菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，掌握菱形的對稱性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．
15.【答案】 5
【解析】解：根據(jù)圖形可知：長方形的長是正方形的對角線為2，
長方形的寬是正方形對角線的一半為1，
則長方形的對角線長= 12+22= 5．
故答案為： 5．
根據(jù)圖形可得長方形的長是正方形的對角線為2，長方形的寬是正方形對角線的一半為1，然后利用勾股定理即可解決問題．
本題考查了正方形的性質(zhì)，七巧板，矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．
16.【答案】解：1) 9×49=3×7=21；
(2) 16×7=4 7；
(3) 1225=2 35；
(4) 27=3 3；
(5) 18=3 2；
(6) 313= 3913；
(7) 950=3 210；
(8)1 2= 22．
【解析】根據(jù)算術(shù)平方根化簡，即可解答．
本題考查了算術(shù)平方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記算術(shù)平方根的定義．
17.【答案】解：(1)原式= 62? 63
= 66；
(2)原式=(2 6? 66)÷ 3
=11 66÷ 3
=11 26．
【解析】(1)先化簡二次根式，再合并二次根式即可；
(2)先化簡，再合并，最后計算除法．
此題考查了二次根式的混合運算，關(guān)鍵是熟練化簡二次根式，能準(zhǔn)確確定運算順序和方法，并能進(jìn)行正確地計算．
18.【答案】解：設(shè)AC的長為x米，
∵AC=AB，
∴AB=AC=x米，
∵EB=CD=1米，
∴AE=(x?1)米，
在Rt△ACE中，
AC2=CE2+AE2，
即：x2=32+(x?1)2，
解得：x=5，
∴滑道AC的長為5米．
【解析】設(shè)AC的長為x米，表示出AE=(x?1)米，利用在Rt△ACE中AC2=CE2+AE2，列出方程求解即可．
本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出直角三角形，難度不大．
19.【答案】解：(1)如圖1中，射線BP即為所求；
(2)如圖2中，直線l即為所求．

【解析】(1)連接AC，取AC的中點P，作射線BP即可；
(2)利用是相結(jié)合的射線畫出圖形即可．
本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
20.【答案】解：圖中有4個直角三角形，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∴△EAB，△BCF，△EDF都是直角三角形，
∵AB=4，AE=2，
∴BE2=20，
∵DF=1，DE=4?AE=2，
∴EF2=5，
∵CF=4?DF=3，BC=4，
∴BF2=25，
∴BF2=EF2+BE2，
∴△BEF也是直角三角形，
∴圖中有4個直角三角形．
【解析】共有四個，由正方形的性質(zhì)可知△EAB，△BCF，△EDF都是直角三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△BEF也是直角三角形，問題得解．
本題考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理和其逆定理的運用，熟記正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
21.【答案】解：(1)∵ 223= 83= 4×23=2 23，
338= 278= 9×38=3 38，
4415= 6415= 16×415=4 415，
故式子成立；
(2) 6635=6 635(答案不唯一)；
(3)規(guī)律： nnn2?1=n nn2?1(n≥2且n是正整數(shù))；
(4) nnn2?1
= n(n2?1)+nn2?1
= n3n2?1
=n nn2?1．
【解析】(1)對式子進(jìn)行運算，再判斷即可；
(2)根據(jù)(1)中的式子的形式進(jìn)行求解即可；
(3)分析所給的式子，再總結(jié)出規(guī)律即可；
(4)對(3)中的等式的左邊進(jìn)行運算即可證明．
本題主要考查二次根式的化簡，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
22.【答案】解：(1)C
(2)證明：∵AD=5，S?ABCD=15，∴AE=3．
又∵在圖2中，EF=4，
∴在Rt△AEF中，AF= AE2+EF2= 32+42=5，．
∴AF=AD=5，
又∵AF//DF′，AF=DF′，
∴四邊形AFF′D是平行四邊形，
又∵AF=AD，
∴四邊形AFF′D是菱形．
【解析】
【分析】
本題考查圖形的拼剪，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
(1)根據(jù)矩形的定義即可判斷；
(2)首先證明四邊形AFF′D是平行四邊形，再證明AF=FF′即可．
【解答】
解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵BE=CE′，
∴BC=EE′，
∴AD=EE′，
∴四邊形AEE′D是平行四邊形，
∵∠AEE′=90°，
∴四邊形AEE′D是矩形．
故答案為C；
(2)見答案．
23.【答案】(1)證明：在△BCD和△FCE中，
BC=FC∠BCD=∠FCECD=CE,
∴△BCD≌△FCE(SAS)，
∴∠DBC=∠EFC，
∴BD//EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
(2)解：由題意補全圖形如下：
CD=CH．
證明：延長BC到F，使CF=BC，連接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC=CF，
∴AB=AF，
由(1)可知BD//EF，BD=EF，
∵AB2=AE2+BD2，
∴AF2=AE2+EF2，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE=90°，
又∵CD=CE，
∴CH=CD=CE．
【解析】(1)證明△BCD≌△FCE(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出∠DBC=∠EFC，證出BD//EF，則可得出結(jié)論；
(2)由題意畫出圖形，延長BC到F，使CF=BC，連接AF，EF，由(1)可知BD//EF，BD=EF，證出∠AEF=90°，得出∠DHE=90°，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，證明△BCD≌△FCE是解題的關(guān)鍵．

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