?2022年上海市浦東新區(qū)進才中學高考數(shù)學二模試卷
一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）
1．（4分）集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}，那么A∩B＝　 ?。?br /> 2．（4分）已知一個關于x，y的二元一次方程組的增廣矩陣是，則x+y＝　 　．
3．（4分）不等式＜1的解集為　 ?。?br /> 4．（4分）已知，且，則tanθ＝　 ?。?br /> 5．（4分）已知雙曲線x2+my2＝1的一條漸近線方程為y＝2x，則該雙曲線的焦距為 　 ?。?br /> 6．（4分）在復數(shù)范圍內分解因式：x2﹣2x+2＝　 　．
7．（5分）若將函數(shù)f（x）＝x6表示成f（x）＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，則a3的值等于　 　
8．（5分）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的邊長AB＝AA1＝1，AD＝，它的外接球是球O，則A、A1這兩點的球面距離等于　 ?。?br />
9．（5分）設函數(shù)f（x）＝2x，若存在x∈[0，4]使不等式f（a+x）﹣f（2x）≥2成立，則實數(shù)a的取值范圍為 　 　．
10．（5分）設數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其首項a1＝1，公差d＜0，{an}的前n項和為Sn，且對任意n∈N*，總存在m∈N*，使得Sn＝am，則d＝　 ?。?br /> 11．（5分）△ABC中，，，O是△ABC外接圓圓心，則的最大值為 　 ?。?br /> 12．（5分）定義域為集合{1，2，3，…，12}上的函數(shù)f（x）滿足：①f（1）＝1；②|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11）；③f（1）、f（6）、f（12）成等比數(shù)列；這樣的不同函數(shù)f（x）的個數(shù)為　 ?。?br /> 二、選擇題（本大題共4題，滿分20分）
13．（5分）關于x、y的二元一次方程組的系數(shù)行列式D＝0是該方程組有解的（　　）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分且必要條件 D．既非充分也非必要條件
14．（5分）設l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，下列命題中的真命題為（　?。?br /> A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α∥β
C．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α∥β
15．（5分）已知直線l：y＝m（x﹣2）+2與圓C：x2+y2＝9交于A，B兩點，則使弦長|AB|為整數(shù)的直線l共有（　?。?br /> A．6條 B．7條 C．8條 D．9條
16．（5分）設S是整數(shù)集Z的非空子集，如果任意的a，b∈S，有ab∈S，則稱S關于數(shù)的乘法是封閉的．若T、V是Z的兩個沒有公共元素的非空子集，T∪V＝Z．若任意的a，b，c∈T，有abc∈T，同時，任意的x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結論恒成立的是（　?。?br /> A．T、V中至少有一個關于乘法是封閉的
B．T、V中至多有一個關于乘法是封閉的
C．T、V中有且只有一個關于乘法是封閉的
D．T、V中每一個關于乘法都是封閉的
三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）
17．（15分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E、F分別是AB、BC的中點．
（1）證明：A1、C1、F、E四點共面；
（2）求直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大?。?br />
18．（15分）在△ABC中，記∠BAC＝x（角的單位是弧度制），△ABC的面積為S，且?＝8，4≤S≤4．
（1）求x的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）中x的取值范圍，求函數(shù)f（x）＝2sin2（x+）+2cos2x﹣的最大值和最小值．
19．（15分）電視傳媒為了解某市100萬觀眾對足球節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查．如圖是根據(jù)調查結果繪制的觀眾每周平均收看足球節(jié)目時間的頻率分布直方圖，將每周平均收看足球節(jié)目時間不低于1.5小時的觀眾稱為“足球迷”，并將其中每周平均收看足球節(jié)目時間不低于2.5小時的觀眾稱為“鐵桿足球迷”．
（1）試估算該市“足球迷”的人數(shù)，并指出其中“鐵桿足球迷”約為多少人；
（2）該市要舉辦一場足球比賽，已知該市的足球場可容納10萬名觀眾．根據(jù)調查，如果票價定為100元/張，則非“足球迷”均不會到現(xiàn)場觀看，而“足球迷”均愿意前往現(xiàn)場觀看．如果票價提高10x元/張（x∈N），則“足球迷”中非“鐵桿足球迷”愿意前往觀看的人數(shù)會減少10x%，“鐵桿足球迷”愿意前往觀看的人數(shù)會減少%．問票價至少定為多少元/張時，才能使前往現(xiàn)場觀看足球比賽的人數(shù)不超過10萬人？

20．（15分）已知橢圓Ω：9x2+y2＝m2（m＞0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與Ω有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．
（1）若m＝3，點K在橢圓Ω上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；
（2）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
（3）若l過點（），射線OM與Ω交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由．
21．（16分）設{an}是公差不為零的等差數(shù)列，滿足a1＝1，a6+a7＝a13，設正項數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且4Sn+2bn＝3．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）在b1和b2之間插入1個數(shù)x11，使b1、x11、b2成等差數(shù)列；在b2和b3之間插入2個數(shù)x21、x22，使b2、x21、x22、b3成等差數(shù)列；…；在bn和bn+1之間插入n個數(shù)xn1、xn2、…、xnn，使bn、xn1、xn2、…、xnn、bn+1成等差數(shù)列，求Tn＝x11+x21+x22+???+xn1+xn2+???+xnn；
（3）對于（2）中求得的Tn，是否存在正整數(shù)m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對（m，n）；若不存在，請說明理由．

2022年上海市浦東新區(qū)進才中學高考數(shù)學二模試卷
參考答案與試題解析
一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）
1．（4分）集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}，那么A∩B＝　{﹣2，0，2}?。?br /> 【分析】根據(jù)已知條件，結合交集及其運算，即可求解．
【解答】解：∵A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝，
∴A∩B＝{﹣2，0，2}．
故答案為：{﹣2，0，2}．
【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．
2．（4分）已知一個關于x，y的二元一次方程組的增廣矩陣是，則x+y＝　3　．
【分析】把二元一次方程組的增廣矩陣轉化為方程組，求出x、y的值即可得出結論．
【解答】解：關于x，y的二元一次方程組的增廣矩陣是，
所以，解得，
所以x+y＝2+1＝3．
故答案為：3．
【點評】本題考查了二元一次方程組與對應增廣矩陣的轉化問題，是基礎題．
3．（4分）不等式＜1的解集為?。?，+∞）∪（﹣∞，0）?。?br /> 【分析】首先移項通分，等價變形為整式不等式解之
【解答】解：原不等式等價于，即x（x﹣1）＞0，
所以不等式的解集為（1，+∞）∪（﹣∞，0）；
故答案為：（1，+∞）∪（﹣∞，0）
【點評】本題考查了分式不等式的解法；關鍵是正確轉化為整式不等式解之．
4．（4分）已知，且，則tanθ＝　7?。?br /> 【分析】利用正弦和角公式，結合同角三角函數(shù)關系，將已知條件轉化為tanθ的方程，即可求得結果．
【解答】解：因為，
故可得，
將上式兩邊平方整理可得，
即，
故，
即（7tanθ﹣1）（tanθ﹣7）＝0，
解得或tanθ＝7，
又因為，
故可得tanθ＞1，故tanθ＝7，
故答案為：7．
【點評】本題考查了同角三角函數(shù)關系式，兩角和正弦公式，屬于基礎題．
5．（4分）已知雙曲線x2+my2＝1的一條漸近線方程為y＝2x，則該雙曲線的焦距為 　2?。?br /> 【分析】由雙曲線的方程及漸近線的方程可得b2＝﹣＝4，從而可求得雙曲線的焦距2c．
【解答】解：因為x2+my2＝1為雙曲線，所以a2＝1，b2＝﹣，
又雙曲線x2+my2＝1的一條漸近線方程為y＝2x，
所以＝﹣＝22＝4，即b2＝4，
所以c2＝a2+b2＝5，c＝，
所以該雙曲線的焦距2c＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查雙曲線的基本性質，幾何量的計算，考查計算能力，屬基礎題．
6．（4分）在復數(shù)范圍內分解因式：x2﹣2x+2＝?。▁﹣1+i）（x﹣1﹣i）?。?br /> 【分析】配湊二次三項式，結合平方差公式，即可求出結果．
【解答】解：∵x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＝（x﹣1）2﹣i2＝（x﹣1+i）（x﹣1﹣i）．
故答案為：（x﹣1+i）（x﹣1﹣i）．
【點評】本題考復數(shù)范圍內要解因式的運算，考查二次三項式性質、平方差公式、復數(shù)運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
7．（5分）若將函數(shù)f（x）＝x6表示成f（x）＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，則a3的值等于　20　
【分析】由f（x）＝x6＝[（x﹣1）+1]6，展開即可求得a3的值．
【解答】解：∵f（x）＝x6＝[（x﹣1）+1]6，
∴a3（x﹣1）3＝，
則．
故答案為：20．
【點評】本題考查二項式系數(shù)的性質，考查數(shù)學轉化思想方法，是基礎題．
8．（5分）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的邊長AB＝AA1＝1，AD＝，它的外接球是球O，則A、A1這兩點的球面距離等于　?。?br />
【分析】求出球的半徑和∠AOA1，根據(jù)弧長公式得出答案．
【解答】解：A1C＝＝2，
∴外接球半徑為OA1＝A1C＝1，
∴△OAA1為等邊三角形，∴∠AOA1＝，
∴球A、A1這兩點的球面距離為＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了球面距離的計算，屬于基礎題．
9．（5分）設函數(shù)f（x）＝2x，若存在x∈[0，4]使不等式f（a+x）﹣f（2x）≥2成立，則實數(shù)a的取值范圍為 　[）?。?br /> 【分析】由已知不等式代入后先進行分離參數(shù)，然后結合基本不等式可求．
【解答】解：因為f（x）＝2x存在x∈[0，4]使不等式f（a+x）﹣f（2x）≥2成立，
所以2a+x﹣22x≥2，
即2a≥2x+2?2﹣x，
因為2x+2×2﹣x，當且僅當2x＝21﹣x，即x＝時取等號，
所以2a，
所以a，
故a的取值范圍為[）．
故答案為：[）．
【點評】本題主要考查了不等式的存在性問題與最值關系的相互轉化，基本不等式在求解最值中的應用，屬于中檔題．
10．（5分）設數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其首項a1＝1，公差d＜0，{an}的前n項和為Sn，且對任意n∈N*，總存在m∈N*，使得Sn＝am，則d＝　﹣1?。?br /> 【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式建立方程關系即可得到結論．
【解答】解：由Sn＝am，得n+＝1+（m﹣1）d，
則m＝1++（）為正整數(shù)，
∵對任意n∈N*，總存在m∈N*，
∴當d取﹣時，n＝2時，m＝0；
當d＝﹣時，n＝2時，m會取到負值，其它推理下都會取到負值，
∴d只能取﹣1
即任意n∈N*，也是整數(shù)，只有d＝﹣1滿足條件．
故答案為：﹣1
【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質的應用，比較基礎．
11．（5分）△ABC中，，，O是△ABC外接圓圓心，則的最大值為 　3　．
【分析】先由平面向量數(shù)量積運算可得＝，再由三角恒等變換及正弦定理可得＝1﹣2sin（A﹣B﹣），然后求解即可．
【解答】解：由O是△ABC外接圓圓心，，
則＝＝＝，
在△ABC中，不妨設AB＝c，AC＝b，BC＝a，
由正弦定理可得，
則a＝2sinA，b＝2sinB，
則＝2sin2B﹣2sin2A+2sinAsinB＝cos2A﹣cos2B+2sinAsinB＝﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）﹣[cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]＝﹣sin（A﹣B）+cos（A﹣B）+1＝1﹣2sin（A﹣B﹣），
又A﹣B﹣∈（﹣π，），
則當A，即A＝B﹣，即A＝，B＝時，取最大值1﹣2×（﹣1）＝3，
故答案為：3．
【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積運算，重點考查了三角恒等變換及正弦定理，屬中檔題．
12．（5分）定義域為集合{1，2，3，…，12}上的函數(shù)f（x）滿足：①f（1）＝1；②|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11）；③f（1）、f（6）、f（12）成等比數(shù)列；這樣的不同函數(shù)f（x）的個數(shù)為　155?。?br /> 【分析】分析出f（x）的所有可能的取值，得到使f（x）中f（1）、f（6）、f（12）成等比數(shù)列時對應的項，再運用計數(shù)原理求出這樣的不同函數(shù)f（x）的個數(shù)即可．
【解答】解：經(jīng)分析，f（x）的取值的最大值為x，最小值為2﹣x，并且成以2為公差的等差數(shù)列，
故f（6）的取值為6，4，2，0，﹣2，﹣4．
f（12）的取值為12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，
所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比數(shù)列時，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有兩種情況：
①f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4；②f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4．
|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11），f（x+1）＝f（x）+1，或者f（x+1）＝f（x）﹣1，即得到后項時，把前項加1或者把前項減1．
（1）當f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4時；將要構造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6），第二步：從f（6）變化的f（12）．
從f（1）變化到f（6）時有5次變化，函數(shù)值從1變化到2，故應從5次中選擇3步加1，剩余的兩次減1．對應的方法數(shù)為＝10種．
從f（6）變化到f（12）時有6次變化，函數(shù)值從2變化到4，故應從6次變化中選擇4次增加1，剩余兩次減少1，對應的方法數(shù)為＝15種．
根據(jù)分步乘法原理，共有10×15＝150種方法．
（2）當f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4時，將要構造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6），第二步：從f（6）變化的f（12）．
從f（1）變化到f（6）時有5次變化，函數(shù)值從1變化到﹣2，故應從5次中選擇1步加1，剩余的4次減1．對應的方法數(shù)為＝5種．
從f（6）變化到f（12）時有6次變化，函數(shù)值從﹣2變化到4，故應從6次變化中選擇6次增加1，對應的方法數(shù)為＝1種．
根據(jù)分步乘法原理，共有5×1＝5種方法．
綜上，滿足條件的f（x）共有：150+5＝155種．
故填：155．
【點評】解決本題的難點在于發(fā)現(xiàn) f（x）的取值規(guī)律，并找到使f（1）、f（6）、f（12）成等比數(shù)列所對應的三項．然后用計數(shù)原理計算種類．本題屬于難題．
二、選擇題（本大題共4題，滿分20分）
13．（5分）關于x、y的二元一次方程組的系數(shù)行列式D＝0是該方程組有解的（　?。?br /> A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分且必要條件 D．既非充分也非必要條件
【分析】將原方程組寫成矩陣形式為Ax＝b，其中A為2×2方陣，x為2個變量構成列向量，b為2個常數(shù)項構成列向量． 而當它的系數(shù)矩陣可逆，或者說對應的行列式D不等于0的時候，它有唯一解．并不是說有解．
【解答】解：系數(shù)矩陣D非奇異時，或者說行列式D≠0時，方程組有唯一的解；
系數(shù)矩陣D奇異時，或者說行列式D＝0時，方程組有無數(shù)個解或無解．
∴系數(shù)行列式D＝0，方程可能有無數(shù)個解，也有可能無解，
反之，若方程組有解，可能有唯一解，也可能有無數(shù)解，則行列式D可能不為0，也可能為0．
總之，兩者之間互相推出的問題．
故選：D．
【點評】本題主要考查克萊姆法則，克萊姆法則不僅僅適用于實數(shù)域，它在任何域上面都可以成立．
14．（5分）設l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，下列命題中的真命題為（　?。?br /> A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α∥β
C．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α∥β
【分析】在A中，α與β相交或平行；在B中，α與β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】解：由l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，知：
在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α與β相交或平行，故A錯誤；
在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α與β相交或平行，故B錯誤；
在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；
在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系的應用，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查化歸轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．
15．（5分）已知直線l：y＝m（x﹣2）+2與圓C：x2+y2＝9交于A，B兩點，則使弦長|AB|為整數(shù)的直線l共有（　?。?br /> A．6條 B．7條 C．8條 D．9條
【分析】根據(jù)題意，直線過點M（2，2），圓C的圓心（0，0），半徑r＝3，則可得當直線與CM垂直時，即M為AB的中點時，弦長|AB|最短，求出直線CM的斜率，由直線垂直與斜率的關系分析可得直線AB的斜率，由直線的點斜式方程分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，直線恒過點M（2，2），圓C：x2+y2＝9的圓心C為（0，0），半徑r＝3，
則CM＝2
當直線與CM垂直時，M為|AB|中點，此時|AB|＝2＝2，符合題意，此時直線有一條，
當直線過圓心C時，|AB|＝2r＝6，滿足題意，此時直線有一條，
則當|AB|＝3，4，5時，各對應兩條直線，
綜上，共8條直線．
故選：C．
【點評】本題考查了直線與圓的方程的應用問題，考查點到直線距離公式，弦長公式，是綜合性題目．
16．（5分）設S是整數(shù)集Z的非空子集，如果任意的a，b∈S，有ab∈S，則稱S關于數(shù)的乘法是封閉的．若T、V是Z的兩個沒有公共元素的非空子集，T∪V＝Z．若任意的a，b，c∈T，有abc∈T，同時，任意的x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結論恒成立的是（　?。?br /> A．T、V中至少有一個關于乘法是封閉的
B．T、V中至多有一個關于乘法是封閉的
C．T、V中有且只有一個關于乘法是封閉的
D．T、V中每一個關于乘法都是封閉的
【分析】本題從正面解比較困難，可運用排除法進行作答．考慮把整數(shù)集Z折分成兩個互不相交的非空子集T、V的并集，如T為奇數(shù)集，V為偶數(shù)集，或T為負整數(shù)集，V為非員整數(shù)集進行分析排除即可．
【解答】解：若T為奇數(shù)集，V為偶數(shù)集，滿足題意，此時T與V關于乘法都是封閉的，排除B、C；
若T為負整數(shù)集，V為非負整數(shù)集，也滿足題意，此時只有V關于乘法是封閉的，排除D；
從而可得T、V中至少有一個關于乘法是封閉的，A正確．
故選：A．
【點評】本題考查了集合的新定義，屬于基礎題．
三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）
17．（15分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E、F分別是AB、BC的中點．
（1）證明：A1、C1、F、E四點共面；
（2）求直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大?。?br />
【分析】（1）連接AC，利用三角形中位線和直線平行傳遞性可證；
（2）建立空間直角坐標系，由向量法直接計算可得．
【解答】（1）證明：連接AC，

∵E，F(xiàn)分別為AB、BC的中點，
∴EF∥AC，
又∵AA1∥CC1，
∴四邊形ACC1A1為平行四邊形，
∴AlC1∥AC，∴Al?l∥EF，
所以A1，C1，F(xiàn)、E四點共面；
（2）解：如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，

可得有關點的坐標為A1（2，0，1），E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），
則，
設平面A1C1FE的法向量為＝（x，y，z），
故，取x＝1，得＝（1，1，1），
記直線CD1與平面A1C1FE所成的角為θ，
則，
直線CD1與平面A1C1FE所成的角為．
【點評】本題考查了四點共面的證明以及直線與平面所成的角的計算，屬于中檔題．
18．（15分）在△ABC中，記∠BAC＝x（角的單位是弧度制），△ABC的面積為S，且?＝8，4≤S≤4．
（1）求x的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）中x的取值范圍，求函數(shù)f（x）＝2sin2（x+）+2cos2x﹣的最大值和最小值．
【分析】（1）利用三角形面積公式，退席已知中，我們易確定tanx的范圍，結合x為三角形的內角，我們易求出x的取值范圍；
（2）結合（1）的結論，利用降冪公式和輔助角公式，我們易將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質即可得到答案．
【解答】解：（1）∵，，
又，
∴bccosx＝8，S＝4tanx，即．（4分）
∴所求的x的取值范圍是．（7分）
（2）∵，（9分）
∴，．（11分）
∴．（14分）
【點評】本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，平面向量數(shù)量積的含義與物理意義，其中根據(jù)平面向量數(shù)理積的含義及三角形面積結合正切函數(shù)的性質，求出X的取值范圍是解答本題的關鍵．
19．（15分）電視傳媒為了解某市100萬觀眾對足球節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查．如圖是根據(jù)調查結果繪制的觀眾每周平均收看足球節(jié)目時間的頻率分布直方圖，將每周平均收看足球節(jié)目時間不低于1.5小時的觀眾稱為“足球迷”，并將其中每周平均收看足球節(jié)目時間不低于2.5小時的觀眾稱為“鐵桿足球迷”．
（1）試估算該市“足球迷”的人數(shù)，并指出其中“鐵桿足球迷”約為多少人；
（2）該市要舉辦一場足球比賽，已知該市的足球場可容納10萬名觀眾．根據(jù)調查，如果票價定為100元/張，則非“足球迷”均不會到現(xiàn)場觀看，而“足球迷”均愿意前往現(xiàn)場觀看．如果票價提高10x元/張（x∈N），則“足球迷”中非“鐵桿足球迷”愿意前往觀看的人數(shù)會減少10x%，“鐵桿足球迷”愿意前往觀看的人數(shù)會減少%．問票價至少定為多少元/張時，才能使前往現(xiàn)場觀看足球比賽的人數(shù)不超過10萬人？

【分析】（1）求出后三組數(shù)據(jù)的頻率之和，利用頻率乘以樣本容量得頻數(shù)求得“足球迷”的人數(shù)和“鐵桿足球迷”人數(shù)；
（2）設票價為100+10x元，求出一般“足球迷”和“鐵桿足球迷”中去現(xiàn)場看球的人數(shù)，根據(jù)現(xiàn)場觀看足球比賽的人數(shù)不超過10萬人，列出不等式．通過解不等式求得正整數(shù)x的值，可得答案．
【解答】解：（1）樣本中“足球迷”出現(xiàn)的頻率＝（0.16+0.10+0.06）×0.5＝16%，
“足球迷”的人數(shù)＝100×16%＝16（萬），
“鐵桿足球迷”＝100×（0.06×0.5）＝3（萬）
∴16萬“足球迷”中，“鐵桿足球迷”約有3萬人；
（2）設票價為100+10x元，則一般“足球迷”中約有13（1﹣10x%）萬人，
“鐵桿足球迷”約有萬人去現(xiàn)場看球，
令，
化簡得：13x2+113x﹣660≥0
解得：，由x∈N，∴x≥4，
即平均票價至少定為100+40＝140元，才能使前往現(xiàn)場觀看足球比賽的“足球迷”不超過10萬人．
【點評】本題考查了由頻率分布直方圖求頻率與頻數(shù)，考查了不等式的實際應用，列出關于票價x的不等式是解答本題的關鍵．
20．（15分）已知橢圓Ω：9x2+y2＝m2（m＞0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與Ω有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．
（1）若m＝3，點K在橢圓Ω上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；
（2）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
（3）若l過點（），射線OM與Ω交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由．
【分析】（1）設P（cosα，3sinα），用α表示出，得出結論；
（2）設直線l方程為y＝kx+b，聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達定理求出M點坐標得出結論；
（3）設直線l斜率為k，求出P點坐標，令M為OP的中點得出k的值．
【解答】解：（1）當m＝3時，橢圓方程為＝1，F(xiàn)1（0，2），F(xiàn)2（0，﹣2），
設K（cosα，3sinα），則＝（﹣cosα，2﹣3sinα），＝（﹣cosα，﹣2﹣3sinα），
∴＝cos2α+9sin2α﹣8＝8sin2α﹣7，
∵0≤sin2α≤1，
∴﹣7≤8sin2α﹣7≤1，
即的范圍是[﹣7，1]．
（2）設直線l的方程為：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），
聯(lián)立方程組，消元得：（9+k2）x2+2kbx+b2﹣m2＝0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
則x0＝（x1+x2）＝﹣，y0＝kx0+b＝．
∴kOM＝＝﹣．
∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值﹣9．
（3）∵直線l經(jīng)過點（，m），
直線l不過原點且與Ω有兩個交點的充要條件是k＞0，且k≠3．
設P（xp，yp），直線l的方程為：y＝k（x﹣）+m，即y＝kx﹣+m．
由（2）可知直線OM的方程為：y＝﹣x，
聯(lián)立方程組，解得xp2＝，
由（2）知M（﹣，），
若四邊形OAPB為平行四邊形，則M為OP的中點，
∴2x0＝xp，即4（）2＝，
解得k＝4±．
∴當k＝4+或k＝4﹣時，四邊形OAPB為平行四邊形．
【點評】本題考查了橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．
21．（16分）設{an}是公差不為零的等差數(shù)列，滿足a1＝1，a6+a7＝a13，設正項數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且4Sn+2bn＝3．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）在b1和b2之間插入1個數(shù)x11，使b1、x11、b2成等差數(shù)列；在b2和b3之間插入2個數(shù)x21、x22，使b2、x21、x22、b3成等差數(shù)列；…；在bn和bn+1之間插入n個數(shù)xn1、xn2、…、xnn，使bn、xn1、xn2、…、xnn、bn+1成等差數(shù)列，求Tn＝x11+x21+x22+???+xn1+xn2+???+xnn；
（3）對于（2）中求得的Tn，是否存在正整數(shù)m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對（m，n）；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）設數(shù)列{an}的公差為d，（d≠0），利用等差數(shù)列的通項公式求出d＝1，從而an＝n，再由4Sn+2bn＝3，當n?2時，4Sn﹣1+2bn﹣1＝3，推導出{bn}是首項為，公比為的等比數(shù)列，由此能求出bn．
（2）在bn和bn﹣1之間插入n個數(shù)xn1，xn2，…，xnn，推導出，從而，進而，由此利用錯位相減法能求出Tn．
（3），當n＝1時，，當n＝2時，，當n＝3時，m＝2+1＝3∈N*，再證明當n?4（n∈N*）時，3n﹣6n﹣9＞0，由此能求出所有的正整數(shù)對．
【解答】（1）解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，（d≠0），
則由a6+a7＝a13，得（a1+5d）+（a1+6d）＝a1+12d，
∴a1＝d＝1，
∴an＝1+（n﹣1）＝n；
由4Sn+2bn＝3，①
當n?2時，4Sn﹣1+2bn﹣1＝3，②
①﹣②，得4bn+2bn﹣2bn﹣1＝0，
∴，
又4b1+2b1＝3，∴，
∴{bn}是首項為，公比為的等比數(shù)列，
∴．
（2）在bn和bn﹣1之間插入n個數(shù)xn1，xn2，…，xnn，
∵bn，xn1，xn2，…xnn，bn+1成等差數(shù)列，設公差為dn，
∴，
則，
∴，
∴，①
則，②
①﹣②得，
∴．
（3）假設存在正整數(shù)m，n，使成立，
．
，
當n＝1時，，
當n＝2時，，
當n＝3時，m＝2+1＝3∈N*，
下證，當n?4（n∈N*）時，有3n﹣2n﹣3＞4n+6，即證3n﹣6n﹣9＞0，
設f（x）＝3x﹣6x﹣9，x?4，則f（x）＝3xln3﹣6＞3x﹣6＞0，
∴f（x）在[4，+∞）上單調遞增，
故n?4時，3n﹣6n﹣9＞34﹣6×4﹣9＝48＞0，
∴，
∴n?4時，m不是整數(shù)，
∴所有的正整數(shù)對（m，n）為（9，2）及（3，3）．
【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列的遞推關系，數(shù)列的求和以及數(shù)列與函數(shù)的綜合，屬于綜合題．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/8/4 19:09:57；用戶：李超；郵箱：lichao317807156@126.com；學號：19716718

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